安徽省皖南八校2024屆高三4月第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷 含解析

第1頁(yè)/共1頁(yè)2024屆“皖南八?！备呷谌未舐?lián)考數(shù)學(xué)考生注意：1本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效，在試題卷?草稿紙上作答無(wú)效.3.本卷命題范圍：高考范圍.一?選擇題：共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接根據(jù)集合定義求出，，再求交集.【詳解】由于，.故.故選：D.2.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再求焦點(diǎn)坐標(biāo)即可.【詳解】由可得，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：B3.已知向量，向量，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積以及模的坐標(biāo)表示，求出數(shù)量積以及模，然后根據(jù)投影向量的概念，即可得出答案.【詳解】向量在向量上的投影向量為.故選：B.4.2024年3月22日國(guó)家文物局在北京公布2023年《全國(guó)十大考古新發(fā)現(xiàn)》，安徽省皖南地區(qū)郎溪縣磨盤山遺址成功入選并排名第三，經(jīng)初步確認(rèn)，該遺址現(xiàn)存馬家浜文化區(qū)?崧澤文化區(qū)?良渚文化區(qū)?錢山漾文化區(qū)四大區(qū)域，總面積約6萬(wàn)平方米.該遺址延續(xù)時(shí)間長(zhǎng)?譜系完整，是長(zhǎng)江下游地區(qū)少有的連續(xù)時(shí)間近4000年的中心性聚落.對(duì)認(rèn)識(shí)多元化一體中華文明在皖南地區(qū)的演進(jìn)方式具有重要的價(jià)值，南京大學(xué)歷史學(xué)院趙東升教授團(tuán)隊(duì)現(xiàn)在對(duì)該遺址四大區(qū)域進(jìn)行考古發(fā)掘，現(xiàn)安排包含甲?乙在內(nèi)的6名研究生同學(xué)到這4個(gè)區(qū)域做考古志愿者，每人去1個(gè)區(qū)域，每個(gè)區(qū)域至少安排1個(gè)人，則甲?乙兩人安排在相同區(qū)域的方法種數(shù)為（）A.96 B.144 C.240 D.360【答案】C【解析】【分析】6名同學(xué)分成4組，再把4組人分到4個(gè)區(qū)域，【詳解】先將6名同學(xué)分成4組，則4個(gè)組的人數(shù)為或，當(dāng)甲?乙在2人組，再?gòu)牧硗?人任選2人組成一組，其余的一人一組，有種分組方法；當(dāng)甲?乙在3人組，甲?乙與另外4人中的1人組成一組，其余的一人一組，有種分組方法，再把4組人分到4個(gè)區(qū)域，所以安排方法種數(shù)為.故選：C.5.“”是“函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】若函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，根據(jù)正切函數(shù)的對(duì)稱性可得，再根據(jù)充分、必要條件結(jié)合包含關(guān)系分析求解.【詳解】若函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，則，解得，因?yàn)槭堑恼孀蛹浴啊笔恰昂瘮?shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱”的充分不必要條件.故選：A.6.托馬斯?貝葉斯在研究“逆向概率”的問(wèn)題中得到了一個(gè)公式：，這個(gè)公式被稱為貝葉斯公式（貝葉斯定理），其中稱為的全概率.春夏換季是流行性感冒爆發(fā)期，已知三個(gè)地區(qū)分別有的人患了流感，且這三個(gè)地區(qū)的人口數(shù)之比是，現(xiàn)從這三個(gè)地區(qū)中任意選取1人，若選取的這人患了流感，則這人來(lái)自地區(qū)的概率是（）A.0.25 B.0.27 C.0.48 D.0.52【答案】C【解析】【分析】本題利用題目信息給出的貝葉斯公式，結(jié)合全概率公式即可求解.【詳解】記事件表示“這人患了流感”，事件分別表示“這人來(lái)自地區(qū)”，由題意可知：，，故.故選：C.7.如圖，在棱長(zhǎng)為2正方體中，內(nèi)部有一個(gè)底面垂直于的圓錐，當(dāng)該圓錐底面積最大時(shí)，圓錐體積最大為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】取的中點(diǎn)，記為，當(dāng)圓錐底面內(nèi)切于正六邊形時(shí)該圓錐的底面積最大，結(jié)合圓錐體積公式計(jì)算即可得解.【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)，記為，易知六邊形為正六邊形，此時(shí)的中點(diǎn)在正六邊形的中心，當(dāng)圓錐底面內(nèi)切于正六邊形時(shí)該圓錐的底面積最大，設(shè)此時(shí)圓錐底面圓半徑為，因?yàn)?，所以，圓錐底面積為，圓錐頂點(diǎn)為（或）處，此時(shí)圓錐體積最大，此時(shí).故選：C.8.丹麥數(shù)學(xué)家琴生是19世紀(jì)對(duì)數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻(xiàn)的巨人，特別在函數(shù)的凹凸性與不等式方面留下了很多寶貴的成果.若為上任意個(gè)實(shí)數(shù)，滿足，則稱函數(shù)在上為“凹函數(shù)”.也可設(shè)可導(dǎo)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為在上的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為“凹函數(shù)”.已知，且，令的最小值為，則為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】記函數(shù)，先判斷函數(shù)的凹凸性，然后利用琴生不等式得，即可求解.【詳解】記函數(shù)，首先證明其凹凸性：，在上為“凹函數(shù)”.由琴生不等式，得，即所以，即當(dāng)時(shí)，取最小值，所以.故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列關(guān)于概率統(tǒng)計(jì)的說(shuō)法中正確的是（）A.某人在10次答題中，答對(duì)題數(shù)為，則答對(duì)7題的概率最大B.設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則C.已知回歸直線方程為，若樣本中心為，則D.兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)為，則越小，與之間的相關(guān)性越弱【答案】AC【解析】【分析】對(duì)于A，可利用不等式法求解；對(duì)于B，根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性即可驗(yàn)算；對(duì)于C，將樣本中心坐標(biāo)代入回歸方程即可驗(yàn)算；對(duì)于D，由相關(guān)系數(shù)的意義即可判斷.【詳解】對(duì)于，故，令，解得，故，故A正確；對(duì)于，故錯(cuò)誤；對(duì)于，回歸直線必過(guò)樣本中心，可得，解得，故C正確；對(duì)于，兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)為越小，與之間的相關(guān)性越弱，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則下列為真命題的是（）A.若，則點(diǎn)在圓上B.若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是橢圓C.若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線D.若，則點(diǎn)在拋物線上【答案】BD【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的模的幾何意義，結(jié)合垂直平分線的定義，橢圓，雙曲線的定義可判斷，，，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入，可得軌跡方程判斷.【詳解】，表示點(diǎn)與之間的距離，表示點(diǎn)與之間的距離.對(duì)于，記，表示點(diǎn)到距離相等，則點(diǎn)在線段的中垂線上，故錯(cuò)誤；對(duì)于，記，由，得，這符合橢圓定義，故正確；對(duì)于，記，若，這符合雙曲線的一支，故錯(cuò)誤；對(duì)于，若，則，整理得，為拋物線，故正確.故選：BD.11.已知定義在上的函數(shù)滿足，且是奇函數(shù)，則（）A.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B.C.D.若，則【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)A：由是奇函數(shù)可得，即可得；對(duì)B：由，借助賦值法計(jì)算即可得解；對(duì)C：結(jié)合所得可得函數(shù)的周期性，結(jié)合周期性與賦值法計(jì)算即可得；對(duì)D：結(jié)合函數(shù)周期性，借助賦值法算出一個(gè)周期內(nèi)的值即可得.【詳解】對(duì)A：由題意知，，則，所以圖象的對(duì)稱中心為，故A正確；對(duì)B：，兩式相減得，所以，故B正確；對(duì)C：由B選項(xiàng)可得，的周期為4，又，故，令得，，得0，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：因?yàn)?，又，故中，令得，，由，得，又的周期?，則，所以，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：解決抽象函數(shù)的求值、性質(zhì)判斷等問(wèn)題，常見(jiàn)結(jié)論：（1）關(guān)于對(duì)稱：若函數(shù)關(guān)于直線軸對(duì)稱，則，若函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則，反之也成立；（2）關(guān)于周期：若，或，或，可知函數(shù)的周期為.三?填空題：共3小題，每小題5分，共15分.12.從安徽省體育局獲悉：第四屆長(zhǎng)三角體育節(jié)將于4月至9月在安徽省宣城市舉辦.據(jù)介紹，本屆體育節(jié)以“綠色?健康?融合?共享”為主題，共設(shè)置山水生態(tài)類?快樂(lè)時(shí)尚類?傳統(tǒng)體育類共21項(xiàng)賽事.下表是4月8日安徽代表隊(duì)傳統(tǒng)跳繩項(xiàng)目8位選手每分鐘跳繩個(gè)數(shù)：選手選手1選手2選手3選手4選手5選手6選手7選手8個(gè)數(shù)141171161147145171170172則跳繩個(gè)數(shù)的第60百分位數(shù)是__________.【答案】170【解析】【分析】本題依據(jù)百分位數(shù)的概念，先把數(shù)據(jù)從小到大排好，然后計(jì)算其位置數(shù)，取整數(shù)5，即第5位數(shù)據(jù)即為所求.【詳解】先把8位選手跳繩個(gè)數(shù)的數(shù)據(jù)按從小到大排列：，然后計(jì)算，取整數(shù)5，故跳繩個(gè)數(shù)的第60百分位數(shù)是從小到大排列的第5個(gè)數(shù)，即170.故答案為：170.13.的展開(kāi)式中，的系數(shù)為_(kāi)_____．【答案】30【解析】【分析】建立組合模型求解【詳解】表示5個(gè)因式的乘積，在這5個(gè)因式中，有2個(gè)因式選，其余的3個(gè)因式中有一個(gè)選，剩下的兩個(gè)因式選，即可得到含的項(xiàng)，即可算出答案．表示5個(gè)因式的乘積，在這5個(gè)因式中，有2個(gè)因式選，其余的3個(gè)因式中有一個(gè)選，剩下的兩個(gè)因式選，即可得到含的項(xiàng)，故含的項(xiàng)系數(shù)是.故答案為：3014.橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上第一象限內(nèi)，記，存在圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為_(kāi)_________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用和角的正切求得，再設(shè)出點(diǎn)，結(jié)合斜率的坐標(biāo)公式求出即可求出離心率.【詳解】顯然直線斜率都存在，且，由，得，則，而，于是，設(shè)，則，因此，解得，所以橢圓的離心率為.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的三種方法：①定義法：通過(guò)已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；②齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程求解；③特殊值法：通過(guò)取特殊值或特殊位置，求出離心率.四?解答題：共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角所對(duì)邊分別為，且.（1）求角；（2）射線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)交線段于點(diǎn)，且，求的面積的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）借助正弦定理將邊化角后，利用三角形內(nèi)角和公式及兩角和的正弦公式計(jì)算即可得；（2）借助等面積法計(jì)算可得，利用基本不等式可得，利用面積公式計(jì)算即可得.【小問(wèn)1詳解】，由正弦定理得，則，即則，且，，；【小問(wèn)2詳解】由和，可知，因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?，即，又，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以，所以的面積的最小值為.16.如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，底面是矩形，平面平面分別為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上（不包括端點(diǎn)）.（1）若，求證：點(diǎn)四點(diǎn)共面；（2）若，是否存在點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為，若存在，求出，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）存在，或【解析】【分析】（1）方法1：利用向量的線性運(yùn)算結(jié)合圖形關(guān)系得到，即可證明；方法2：過(guò)作直線與平行，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，連接，再利用平行線段對(duì)應(yīng)成比例得到即可證明；（2）先由面面垂直的性質(zhì)證明平面，再建系，找到平面的法向量和，再利用線面角的公式求出值即可.【小問(wèn)1詳解】證明：方法1：，系數(shù)和為1，根據(jù)平面向量共線定理可知四點(diǎn)共面.方法2：過(guò)作直線與平行，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，連接.因?yàn)榈酌媸蔷匦危堑闹悬c(diǎn)，所以，且.所以，則直線與直線相交，記交點(diǎn)為.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，可得，則，所以.因?yàn)椋渣c(diǎn)即點(diǎn)，所以四點(diǎn)共面.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面.取中點(diǎn)，連接，易知兩兩相互垂直，如圖，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，.設(shè)平面的法向量為，則即，令，則，所以.設(shè)，則.設(shè)與平面所成角為，則，解得或，則或.17.已知函數(shù).（1）若，求在處的切線方程；（2）若函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，試比較與的大小關(guān)系.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可求出切線的斜率，再求出切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)斜式方程即可求得切線方程；（2）將函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)的問(wèn)題，再通過(guò)構(gòu)造函數(shù)并求出其導(dǎo)數(shù)來(lái)確定極值和最值，結(jié)合函數(shù)圖像分析，得出不等式，從而解決問(wèn)題.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)，所以，又，所以切線方程為，即.【小問(wèn)2詳解】函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程有兩個(gè)根，即有兩個(gè)根，令，則，令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以要使得有兩個(gè)根，則，即，所以.18.現(xiàn)有甲?乙兩個(gè)不透明盒子，都裝有1個(gè)紅球和1個(gè)白球，這些球的大小?形狀?質(zhì)地完全相同.（1）若從甲?乙兩個(gè)盒子中各任取一個(gè)球交換放入另一個(gè)盒子中，次這樣的操作后，記甲盒子中紅球的個(gè)數(shù)為.求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）現(xiàn)從甲中有放回的抽取次，每次抽取1球，若抽取次數(shù)不超過(guò)次的情況下，抽取到2次紅球，則停止抽取，一直抽取不到2次紅球，第次抽取完也停止抽取，令抽取停止時(shí)，抽取的次數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望，并證明：.【答案】（1）分布列見(jiàn)解析，（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由題意可知的所有可能取值為，易求得，可得分布列，計(jì)算可求數(shù)學(xué)期望.（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，利用錯(cuò)位相減法可求，進(jìn)而利用單調(diào)性可證明結(jié)論【小問(wèn)1詳解】由題意可知的所有可能取值為，且，的概率分布表如下：012.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，記，則，兩式相減得，.所以，記，則，當(dāng)時(shí)，，所以，且，所以成立.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)的關(guān)鍵是利用錯(cuò)位相減法求出，代入得到，再計(jì)算得到其單調(diào)性即可.19.阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線論》一書中，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)的距離的比值是個(gè)常數(shù)，那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓，圓心在直線上.已知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，定點(diǎn)分別為橢圓的右焦點(diǎn)與右頂點(diǎn)，且橢圓的離心率為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)斜率為的直線與橢圓相交于（點(diǎn)在軸上方）兩點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上異于的兩