【八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)浙教版】第一章 二次根式（4類題型突破）

第一章二次根式（4類題型突破）題型一二次根式有意義的條件【例1】．（2023春?麗水期末）下列式子一定不是二次根式的是（）A． B． C． D．【例2】．（2023春?德州期末）要使得代數(shù)式有意義，則x的取值范圍是（）A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2【例3】．（2023春?柯橋區(qū)期末）當(dāng)a＝﹣2時(shí)，二次根式的值為（）A．2 B． C． D．±2【例4】．（2023?灞橋區(qū)校級(jí)模擬）若二次根式有意義，則x的取值范圍是__________．【例5】．（2022春?漳平市期中）已知|2022﹣a|+＝a，求a﹣20222的值．鞏固訓(xùn)練：1．（2021秋?麥積區(qū)期末）下列各式中，一定是二次根式的是（）A． B． C． D．2．（2022?西湖區(qū)校級(jí)開學(xué)）下列各式中，是二次根式有（）①；②；③；④；⑤；⑥．A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)3．（2023春?婺城區(qū)期末）當(dāng)a＝2時(shí)，二次根式的值是_______．4．（2023春?海曙區(qū)期中）當(dāng)x＝_______時(shí)，的值最?。?．（2022秋?岳麓區(qū)校級(jí)期末）要使二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）A． B． C．x≥ D．x≤6．（2023春?諸暨市期末）下列x的取值中，可以使有意義的是（）A．0 B．16 C．20 D．20237．（2023?寧波模擬）使有意義的x的取值，在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B．C． D．8．（2023?新都區(qū)模擬）代數(shù)式有意義的x的取值范圍是（）A．x≥﹣1且x≠0 B．x≥﹣1 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1且x≠09．（2022秋?新絳縣期末）已知a滿足|2021﹣a|+＝a，則a﹣20212＝（）A．0 B．1 C．2021 D．202210．（2023春?越城區(qū)期中）若x＝2能使下列二次根式有意義，則這個(gè)二次根式可以是（）A． B． C． D．11．（2023?梁山縣模擬）如果式子有意義，那么x的取值范圍是_______________．12．（2023春?溫州月考）已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則（y﹣x）2023的值為_________．13．（2021春?永嘉縣校級(jí)期中）計(jì)算（1）已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2﹣10x++25＝0，求（x+y）2018的值．（2）若x，y滿足y＜+4，化簡(jiǎn)：題型二二次根式的相關(guān)概念【例1】．（2023春?江陵縣期末）下列各式中是最簡(jiǎn)二次根式的是（）A． B． C． D．【例2】．（2023春?柯城區(qū)校級(jí)期中）將化簡(jiǎn)后的結(jié)果是（）A．2 B． C． D．【例3】．（2022秋?佛山校級(jí)期末）最簡(jiǎn)二次根式3與是同類二次根式，則x的值是_______．【例4】．（2022秋?晉江市期末）下列二次根式，化簡(jiǎn)后能與合并的是（）A． B． C． D．【例5】．（2023春?東陽(yáng)市期末）把化為最簡(jiǎn)二次根式，結(jié)果是______________________．【例6】．（2023春?鄞州區(qū)期中）已知ab＜0，則化簡(jiǎn)后為（）A．a(chǎn) B．﹣a C．a(chǎn) D．﹣a【例7】．（2023春?莘縣期末）若2＜a＜3，則等于（）A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣5 D．2a﹣1【例8】．（2023春?蘭陵縣期末）實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，化簡(jiǎn)﹣a+|b﹣a|+的結(jié)果是（）A．﹣b﹣c B．c﹣b C．2a﹣2b+2c D．2a+b+c【例9】．（2023春?鄞州區(qū)期末）【閱讀材料】小明在學(xué)習(xí)二次根式時(shí)，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以化成另一個(gè)式子的平方，如：；+2×1×＝（1+）2．【類比歸納】（1）請(qǐng)你仿照小明的方法將7+2化成另一個(gè)式子的平方；（2）請(qǐng)運(yùn)用小明的方法化簡(jiǎn)；．【變式探究】（3）若a+2＝，且a，m，n均為正整數(shù)，求a的值．鞏固訓(xùn)練1．（2022秋?蘆淞區(qū)期末）下列各式是最簡(jiǎn)二次根式的是（）A． B． C． D．2．（2023秋?拱墅區(qū)校級(jí)期中）下列運(yùn)算錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．3．（2023春?吳興區(qū)期中）下列根式中，不是最簡(jiǎn)二次根式的是（）A． B． C． D．4．（2022?杭州）計(jì)算：＝_______；（﹣2）2＝_______．5．（2023?淄川區(qū)二模）若二次根式是最簡(jiǎn)二次根式，則x可取的最小整數(shù)是_________．6．（2021春?潛山市期末）與最簡(jiǎn)二次根式是同類二次根式，則a＝_________．7．（2019春?惠山區(qū)期末）若最簡(jiǎn)二次根式與可以合并，則a＝_______．8．（2018?煙臺(tái)）與最簡(jiǎn)二次根式5是同類二次根式，則a＝_______．9．（2023春?柯橋區(qū)期中）如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為、k、，則化簡(jiǎn)﹣|2k﹣5|的結(jié)果是（）A．﹣k﹣1 B．k+1 C．3k﹣11 D．11﹣3k10．（2023春?鐵東區(qū)期末）化簡(jiǎn)：＝__________．11．（2023秋?拱墅區(qū)校級(jí)期中）先觀察下列等式．再回答問(wèn)題：①＝1＝1；②；③．（1）請(qǐng)按照上面各等式反映的規(guī)律，試寫出用n的式子表示的等式：___________________．（2）+…+＝______________________．12．（2023春?東陽(yáng)市期末）已知二次根式．（1）求使得該二次根式有意義的x的取值范圍；（2）已知是最簡(jiǎn)二次根式，且與可以合并．①求x的值；②求與的乘積．13．（2022秋?吉州區(qū)期末）定義：若兩個(gè)二次根式a，b滿足a?b＝c，且c是有理數(shù)，則稱a與b是關(guān)于c的共軛二次根式．（1）若a與是關(guān)于4的共軛二次根式，則a＝__________________；（2）若與是關(guān)于12的共軛二次根式，求m的值．題型三二次根式的運(yùn)算【例1】．（2022秋?達(dá)川區(qū)期末）下列運(yùn)算正確的是（）A． B．C． D．【例2】．（2022秋?玉門市期末）下列計(jì)算，正確的是（）A． B． C． D．【例3】．（2022春?環(huán)江縣期中）計(jì)算÷的結(jié)果是（）A． B． C． D．【例4】．（2023春?瑞安市月考）化簡(jiǎn)的結(jié)果是____________________．【例5】．（2023春?沭陽(yáng)縣期末）若等式＝成立，則字母x應(yīng)滿足條件__________【例6】．（2023秋?杭州期中）計(jì)算：1+（﹣）+|﹣|＝_______．【例7】．（2023春?玄武區(qū)期末）下列二次根式的運(yùn)算正確的是（）A． B． C． D．【例8】．（2023秋?杭州月考）2×（3+）+4﹣2×＝_________．【例9】．（2022春?衢江區(qū)校級(jí)期中）對(duì)于兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a，b，定義一種新運(yùn)算：a※b＝，則4※1＝_______．【例10】．（2023春?拱墅區(qū)期中）計(jì)算：（1）（3）+； （2）．【例11】．（2023春?柯橋區(qū)期末）計(jì)算：（1）； （2）．【例12】．（2022?普定縣模擬）閱讀以下材料：將分母中的根號(hào)化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一個(gè)適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式，使分母不含根號(hào)．例如：，（1）將分母有理化可得____________________；（2）關(guān)于x的方程3x﹣＝+++…+的解是_____________．鞏固訓(xùn)練1．（2021秋?連江縣期末）計(jì)算（）2的結(jié)果是（）A．5﹣2a B．﹣1 C．﹣1﹣2a D．12．（2023春?蕭山區(qū)期中）下列等式正確的是（）A．（）2＝3 B．＝﹣3 C．＝3 D．（﹣）2＝﹣33．（2023春?杭州期末）下列各式中，正確的是（）A． B． C． D．4．（2022?淳安縣一模）的值是（）A． B． C． D．5．（2022春?秭歸縣期中）代數(shù)式的值為_______．6．（2023?榆次區(qū)一模）計(jì)算：的結(jié)果為__________________．7．（2023春?西湖區(qū)校級(jí)期中）下列計(jì)算正確的是（）A． B． C． D．8．（2023?南崗區(qū)模擬）計(jì)算﹣2的結(jié)果是_________________．9．（2022秋?吉安縣期末）下列各式計(jì)算正確的是（）A． B． C． D．10．（2023春?柯城區(qū)校級(jí)期中）＝____________．11．（2021?婺城區(qū)校級(jí)模擬）計(jì)算：﹣﹣|﹣|．12．（2022春?萊州市期中）計(jì)算：（1） （2）÷﹣×+13．（2023春?高青縣期末）計(jì)算（1） （2）14．（2023秋?臥龍區(qū)期中）計(jì)算：（1）； （2）．15．（2023春?東陽(yáng)市期末）計(jì)算：（1）； （2）．16．（2023秋?偃師市校級(jí)月考）計(jì)算下列各式：（1）； （2）．17．（2022秋?惠陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）計(jì)算（1）；（2）．18．（2022春?義烏市期中）“分母有理化”是我們常用的一種化簡(jiǎn)的方法，如：，除此之外，我們也可以用平方之后再開方的方式來(lái)化簡(jiǎn)一些有特點(diǎn)的無(wú)理數(shù)，如：對(duì)于，設(shè)，易知，故x＞0，由x2＝（）2＝＝2，解得x＝，即．根據(jù)以上方法，化簡(jiǎn)后的結(jié)果為___________________．19．（2023春?西湖區(qū)校級(jí)期中）已知a＝，b＝．（1）求a+b的值；（2）設(shè)m是a小數(shù)部分，n是b整數(shù)部分，求代數(shù)式4m2+4mn+n2的值．20．（2022春?乳山市期末）【材料閱讀】把分母中的根號(hào)化去，將分母轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的過(guò)程，叫做分母有理化．例如：化簡(jiǎn)．解：．上述化簡(jiǎn)的過(guò)程，就是進(jìn)行分母有理化．【問(wèn)題解決】（1）化簡(jiǎn)的結(jié)果為：___________________；（2）猜想：若n是正整數(shù)，則進(jìn)行分母有理化的結(jié)果為：______________________；（3）若有理數(shù)a，b滿足，求a，b的值．題型四二次根式的簡(jiǎn)單應(yīng)用【例1】．（2023春?仙居縣期末）已知，則代數(shù)式a2+2a+1的值是（）A． B． C． D．2【例2】．（2023春?上城區(qū)期中）如圖，已知釣魚竿AC的長(zhǎng)為6m，露在水面上的魚線BC長(zhǎng)為3m，某釣者想看看魚鉤上的情況，把魚竿AC轉(zhuǎn)動(dòng)到AC′的位置，此時(shí)露在水面上的魚線B′C′為m，則BB′的長(zhǎng)為（）A．m B．2m C．m D．2m【例3】．（2023秋?鹿城區(qū)校級(jí)期中）如圖，在一個(gè)正方形的內(nèi)部放置大小不同的兩個(gè)小正方形，其中較大的正方形條的面積為15，重疊部分的面積為1，空白部分的面積為，則較小的正方形面積為（）A．4 B． C．9 D．【例4】．（2023?商水縣一模）我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何學(xué)家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，記，則其面積，這個(gè)公式也被稱為海倫一秦九韶公式．若p＝5，c＝2，則此三角形面積的最大值為（）A． B． C． D．5【例5】．（2023秋?晉州市期中）如圖所示，是一座建筑物的截面圖，高BC＝8m，坡面AB的坡度為，則斜坡AB的長(zhǎng)度為（）A．16m B． C． D．【例6】．（2023春?蕭山區(qū)期中）若a＝1+，b＝1﹣，則代數(shù)式a2﹣ab+b2的值為_______．【例7】．（2023秋?象山縣校級(jí)期中）化簡(jiǎn)求值：（1）x+6y2﹣4（2x﹣y2），其中x＝2，y＝﹣1；（2）3（x+y）﹣（x﹣y）﹣4（x+y）+（x﹣y），其中x＝﹣1，y＝1．【例8】．（2023春?湯陰縣期中）已知線段a，b，c，且線段a，b滿足|a﹣|+（b﹣）2＝0．（1）求a，b的值；（2）若a，b，c是某直角三角形的三條邊的長(zhǎng)度，求c的值．【例9】．（2023秋?紹興期中）我們規(guī)定，對(duì)數(shù)軸上的任意點(diǎn)P進(jìn)行如下操作：先將點(diǎn)P表示的數(shù)乘以﹣1，再把所得數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)向右平移2個(gè)單位，得到點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′．現(xiàn)對(duì)數(shù)軸上的點(diǎn)A，B進(jìn)行以上操作，分別得到點(diǎn)A′，B′．（1）若點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)是﹣2，則點(diǎn)A′對(duì)應(yīng)的數(shù)x＝_______．若點(diǎn)B'對(duì)應(yīng)的數(shù)是+2，則點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)y＝__________________．（2）在（1）的條件下，求代數(shù)式的值．鞏固訓(xùn)練1．（2023春?萊陽(yáng)市期中）當(dāng)時(shí)，代數(shù)式x2+2x+2的值是（）A．19 B．20 C．21 D．222．（2023春?拱墅區(qū)期末）方程的解為（）A． B． C． D．3．（2023春?德清縣期末）高空拋物極其危險(xiǎn)，是我們必須杜絕的行為．據(jù)研究，高空拋物下落的時(shí)間t（單位：s）和高度h（單位：m）近似滿足公式（不考慮風(fēng)速的影響）．記從50m高空拋物到落地所需時(shí)間為t1．從100m高空拋物到落地所需時(shí)間為t2，則t2：t1的值是（）A． B． C． D．24．（2023春?蕭山區(qū)期中）已知x＝+1，y＝﹣1，則x2y﹣xy2＝_______．5．（2023春?瑞安市期中）有一塊長(zhǎng)方形木板，木工采用如圖所示的方式，在木板上截出兩個(gè)面積分別為18dm2和32dm2的正方形木板，則剩余木料（陰影部分）的面積為_______dm2．6．（2022秋?臨清市期末）如圖，一位同學(xué)乘滑雪板沿坡度為i＝1：2的斜坡向下滑行30米，則他下降的高度為_______________米．7．（2023春?嵊州市期中）如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AD為BC邊上中線，若AD＝，△ABC周長(zhǎng)為6+2，則△ABC的面積為_______．8．（2023春?無(wú)為市校級(jí)期中）已知a＝3+2，b＝3﹣2，分別求下列代數(shù)式的值：（1）a2﹣b2； （2）a2﹣3ab+b2．9．（2021春?天河區(qū)校級(jí)月考）若矩形的長(zhǎng)a＝，寬b＝．（1）求矩形的面積和周長(zhǎng)；（2）求a2+b2﹣20+2ab的值．10．（2023春?溫州月考）如圖，長(zhǎng)500米的水庫(kù)大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬3m，壩高，斜坡AB的坡比i1＝1：2，斜坡CD的坡比i2＝1：3．（1）求壩底寬AD的長(zhǎng)；（2）修筑這個(gè)堤壩需要土方多少立方米？11．（2023秋?浙江期中）全球氣候變暖導(dǎo)致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一種低等植物苔蘚就開始在巖石上生長(zhǎng)．每一個(gè)苔蘚都會(huì)長(zhǎng)成近似的圓形，苔蘚的直徑和其生長(zhǎng)年限近似地滿足如下的關(guān)系式：，其中d表示苔蘚的直徑，單位是厘米，t代表冰川消失的時(shí)間（單位：年）．（1）計(jì)算冰川消失21年后苔蘚的直徑為多少厘米？（2）如果測(cè)得一些苔蘚的直徑是35厘米，問(wèn)冰川約是在多少年前消失的？12．（2023春?邗江區(qū)期末）定義：我們將與稱為一對(duì)“對(duì)偶式”，因?yàn)?，所以?gòu)造“對(duì)偶式”再將其相乘可以有效的將和中的“”去掉，于是二次根式除法可以這樣計(jì)算：如．像這樣，通過(guò)分子、分母同乘以一個(gè)式子把分母中的根號(hào)化去或把根號(hào)中的分母化去，叫做分母有理化．根據(jù)以上材料，理解并運(yùn)用材料提供的方法，解答以下問(wèn)題：（1）對(duì)偶式與之間的關(guān)系為_______A．互為相反數(shù)B．互為倒數(shù)C．絕對(duì)值相等D沒有任何關(guān)系（2）已知，，求的值；（3）解方程：（提示：利用“對(duì)偶式”相關(guān)知識(shí)，令）．

第一章二次根式（4類題型突破）答案全解全析題型一二次根式有意義的條件【例1】．（2023春?麗水期末）下列式子一定不是二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次根式的定義逐個(gè)判斷即可．【解答】解：A．是二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；B．是二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；C．是二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；D．中﹣2＜0，不是二次根式，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．【例2】．（2023春?德州期末）要使得代數(shù)式有意義，則x的取值范圍是（）A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由題意得：x﹣2≥0，解得：x≥2，故選：B．【例3】．（2023春?柯橋區(qū)期末）當(dāng)a＝﹣2時(shí)，二次根式的值為（）A．2 B． C． D．±2【分析】把a(bǔ)＝﹣2代入二次根式，即可解決問(wèn)題．【解答】解：當(dāng)a＝﹣2時(shí)，二次根式＝＝＝2．故選：A．【例4】．（2023?灞橋區(qū)校級(jí)模擬）若二次根式有意義，則x的取值范圍是x＜2．【分析】根據(jù)二次根式被開放數(shù)為非負(fù)數(shù)，分母不為零求解即可．【解答】解：∵二次根式有意義，∴2﹣x＞0，解得：x＜2．故答案為：x＜2．【例5】．（2022春?漳平市期中）已知|2022﹣a|+＝a，求a﹣20222的值．【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)求出a的范圍，去絕對(duì)值，化簡(jiǎn)即可得出答案．【解答】解：∵a﹣2023≥0，∴a≥2023，∴2022﹣a＜0，∴a﹣2022+＝a，∴＝2022，∴a﹣2023＝20222，∴a﹣20222＝2023．鞏固訓(xùn)練：1．（2021秋?麥積區(qū)期末）下列各式中，一定是二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)形如（a≥0）的式子叫做二次根式判斷即可．【解答】解：A、當(dāng)a+1＜0時(shí)，不是二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；B、當(dāng)a﹣1＜0時(shí)，不是二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；C、當(dāng)a＝0時(shí)，a2﹣1＝﹣1＜0，不是二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；D、∵a2≥0，∴a2+2＞0，是二次根式，故此選項(xiàng)符合題意；故選：D．2．（2022?西湖區(qū)校級(jí)開學(xué)）下列各式中，是二次根式有（）①；②；③；④；⑤；⑥．A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【分析】根據(jù)二次根式的概念進(jìn)行分析判斷．【解答】解：①是二次根式，②沒有意義，不是二次根式，③是三次根式，不是二次根式，④沒有意義，不是二次根式，⑤是二次根式，⑥是二次根式，∴①⑤⑥是二次根式，共3個(gè)，故選：B．3．（2023春?婺城區(qū)期末）當(dāng)a＝2時(shí)，二次根式的值是2．【分析】把a(bǔ)＝2代入二次根式，即可解決問(wèn)題．【解答】解：當(dāng)a＝2時(shí)，．故答案為：2．4．（2023春?海曙區(qū)期中）當(dāng)x＝3時(shí)，的值最?。痉治觥扛鶕?jù)二次根式的性質(zhì)即可求出答案．【解答】解：當(dāng)x＝3時(shí)，此時(shí)2x﹣6＝0，的最小值為0，故答案為：35．（2022秋?岳麓區(qū)校級(jí)期末）要使二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）A． B． C．x≥ D．x≤【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可得5x﹣2≥0，再解不等式即可．【解答】解：由題意得：5x﹣2≥0，解得：x≥，故選：C．6．（2023春?諸暨市期末）下列x的取值中，可以使有意義的是（）A．0 B．16 C．20 D．2023【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)列出不等式，解不等式求出x的范圍，判斷即可．【解答】解：由題意得：7﹣x≥0，解得：x≤7，則使有意義的x可以取0，故選：A．7．（2023?寧波模擬）使有意義的x的取值，在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．【分析】直接利用二次根式有意義的條件，二次根式的被開方數(shù)是負(fù)數(shù)，進(jìn)而得出答案．【解答】解：使有意義，則x+1≥0，解得：x≥﹣1，在數(shù)軸上表示為：．故選：A．8．（2023?新都區(qū)模擬）代數(shù)式有意義的x的取值范圍是（）A．x≥﹣1且x≠0 B．x≥﹣1 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1且x≠0【分析】根據(jù)二次根式和分式有意義的條件：被開方數(shù)大于等于0，分母不等于0，就可以求解．【解答】解：根據(jù)題意，得，解得：x≥﹣1且x≠0．故選：A．9．（2022秋?新絳縣期末）已知a滿足|2021﹣a|+＝a，則a﹣20212＝（）A．0 B．1 C．2021 D．2022【分析】根據(jù)二次根式（a≥0）確定a的范圍，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：由題意得：a﹣2022≥0，∴a≥2022，∴2021﹣a＜0，∵|2021﹣a|+＝a，∴a﹣2021+＝a，∴＝2021，∴a﹣2022＝20212，∴a﹣20212＝2022，故選：D．10．（2023春?越城區(qū)期中）若x＝2能使下列二次根式有意義，則這個(gè)二次根式可以是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件：被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)逐一判斷即可．【解答】解：A．當(dāng)x＝2時(shí)，x﹣1＝2﹣1＝1＞0，有意義，符合題意；B．當(dāng)x＝2時(shí)，1﹣x＝1﹣2＝﹣1＜0，無(wú)意義，不符合題意；C．當(dāng)x＝2時(shí)，x﹣3＝2﹣3＝﹣1＜0，無(wú)意義，不符合題意；D．當(dāng)x＝2時(shí)，﹣x＝﹣2＜0，無(wú)意義，不符合題意；故選：A．11．（2023?梁山縣模擬）如果式子有意義，那么x的取值范圍是x≤1且x≠﹣2．【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0，分母不等于0列式計(jì)算即可．【解答】解：根據(jù)題意得：，解得x≤1且x≠﹣2，故答案為：x≤1且x≠﹣2．12．（2023春?溫州月考）已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則（y﹣x）2023的值為﹣1．【分析】直接利用二次根式有意義的條件進(jìn)而分析得出答案．【解答】解：∵與都有意義，∴x＝3，則y＝2，故（y﹣x）2023＝﹣1．故答案為：﹣1．13．（2021春?永嘉縣校級(jí)期中）計(jì)算（1）已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2﹣10x++25＝0，求（x+y）2018的值．（2）若x，y滿足y＜+4，化簡(jiǎn)：【分析】（1）將等式左邊根號(hào)外的部分配方，根據(jù)偶次方的非負(fù)性和二次根式有意義的條件，可得x和y的值，問(wèn)題可解；（2）根據(jù)≥0，≥0可得x的值，從而得y的范圍，則可將所給式子化簡(jiǎn)．【解答】解（1）∵x2﹣10x++25＝0∴（x﹣5）2+＝0∵（x﹣5）2≥0，≥0∴x﹣5＝0，y+4＝0∴x＝5，y＝﹣4∴（x+y）2018＝（5﹣4）2018＝1∴（x+y）2018的值為1．（2）∵≥0，≥0∴x﹣2＝2﹣x＝0∴x＝2∵y＜+4，∴y＜0+0+4，∴y＜4∴＝2+4﹣y﹣|y﹣5|＝6﹣y﹣（5﹣y）＝6﹣y﹣5+y＝1題型二二次根式的相關(guān)概念【例1】．（2023春?江陵縣期末）下列各式中是最簡(jiǎn)二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義，逐一判斷即可解答．【解答】解：A、＝2，故A不符合題意；B、＝，故B不符合題意；C、＝＝，故C不符合題意；D、是最簡(jiǎn)二次根式，故D符合題意；故選：D．【例2】．（2023春?柯城區(qū)校級(jí)期中）將化簡(jiǎn)后的結(jié)果是（）A．2 B． C． D．【分析】根據(jù)二次根式的化簡(jiǎn)，可以解答本題．【解答】解：＝2．故選：B．【例3】．（2022秋?佛山校級(jí)期末）最簡(jiǎn)二次根式3與是同類二次根式，則x的值是4．【分析】根據(jù)同類二次根式：二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同列方程，解出即可．【解答】解：∵最簡(jiǎn)二次根式3與是同類二次根式，∴2x﹣5＝7﹣x，解得x＝4；故答案為：4．【例4】．（2022秋?晉江市期末）下列二次根式，化簡(jiǎn)后能與合并的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)同類二次根式的定義解答即可．【解答】解：A、＝2與2不能合并，不符合題意；B、＝3與2不能合并，不符合題意；C、＝與2不能合并，不符合題意；D、＝2與2能合并，符合題意．故選：D．【例5】．（2023春?東陽(yáng)市期末）把化為最簡(jiǎn)二次根式，結(jié)果是．【分析】原來(lái)利用二次根式化簡(jiǎn)公式計(jì)算即可得到結(jié)果．【解答】解：＝＝．故答案為：．【例6】．（2023春?鄞州區(qū)期中）已知ab＜0，則化簡(jiǎn)后為（）A．a(chǎn) B．﹣a C．a(chǎn) D．﹣a【分析】根據(jù)算術(shù)平方根和絕對(duì)值的性質(zhì)＝|a|，進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．【解答】解：∵a2≥0，ab＜0，∴a＜0，b＞0，∴＝|a|＝﹣a，故選：B．【例7】．（2023春?莘縣期末）若2＜a＜3，則等于（）A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣5 D．2a﹣1【分析】先根據(jù)2＜a＜3把二次根式開方，得到a﹣2﹣（3﹣a），再計(jì)算結(jié)果即可．【解答】解：∵2＜a＜3，∴＝a﹣2﹣（3﹣a）＝a﹣2﹣3+a＝2a﹣5．故選：C．【例8】．（2023春?蘭陵縣期末）實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，化簡(jiǎn)﹣a+|b﹣a|+的結(jié)果是（）A．﹣b﹣c B．c﹣b C．2a﹣2b+2c D．2a+b+c【分析】根據(jù)數(shù)軸，確定a、b、c的正負(fù)，確定b﹣a的正負(fù)，然后再化簡(jiǎn)．【解答】解：由數(shù)軸知：c＜0，b＜0＜a，∴b﹣a＜0，∴原式＝﹣a﹣（b﹣a）﹣c＝﹣a﹣b+a﹣c＝﹣b﹣c．故選：A．【例9】．（2023春?鄞州區(qū)期末）【閱讀材料】小明在學(xué)習(xí)二次根式時(shí)，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以化成另一個(gè)式子的平方，如：；+2×1×＝（1+）2．【類比歸納】（1）請(qǐng)你仿照小明的方法將7+2化成另一個(gè)式子的平方；（2）請(qǐng)運(yùn)用小明的方法化簡(jiǎn)；．【變式探究】（3）若a+2＝，且a，m，n均為正整數(shù)，求a的值．【分析】（1）根據(jù)所給的方法進(jìn)行求解即可；（2）利用所給的方法進(jìn)行求解即可；（3）利用所給的方法進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1）7+2＝（2+5）+2＝（）2+（）2+2＝（）2；（2）＝＝＝3﹣；（3）∵a+2＝，a，m，n均為正整數(shù)，∴a+2＝（）2，a+2××1＝（）2，∴m＝3，n＝7或m＝21，n＝1，∴a＝3+7＝10或a＝21+1＝22．鞏固訓(xùn)練1．（2022秋?蘆淞區(qū)期末）下列各式是最簡(jiǎn)二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的概念判斷即可．【解答】解：A、是最簡(jiǎn)二次根式；B、＝＝2，不是最簡(jiǎn)二次根式；C、＝|a|，不是最簡(jiǎn)二次根式；D、，被開方數(shù)的分母中含有字母，不是最簡(jiǎn)二次根式；故選：A．2．（2023秋?拱墅區(qū)校級(jí)期中）下列運(yùn)算錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)算術(shù)平方根和立方根的定義即可求解．【解答】解：A：負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根，故A錯(cuò)誤；B：，故B正確；C：，故C正確；D：，故D正確；故選：A．3．（2023春?吳興區(qū)期中）下列根式中，不是最簡(jiǎn)二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的概念判斷即可．【解答】解：A、是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；B、＝＝2，被開方數(shù)中含能開得盡方的因數(shù)，不是最簡(jiǎn)二次根式，符合題意；C、是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；D、是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；故選：B．4．（2022?杭州）計(jì)算：＝2；（﹣2）2＝4．【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)、有理數(shù)的乘方法則計(jì)算即可．【解答】解：＝2，（﹣2）2＝4，故答案為：2，4．5．（2023?淄川區(qū)二模）若二次根式是最簡(jiǎn)二次根式，則x可取的最小整數(shù)是﹣2．【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義解答即可．【解答】解：∵二次根式是最簡(jiǎn)二次根式，∴2x+7＞0，∴2x＞﹣7，∴x＞﹣3.5，∵x取整數(shù)值，當(dāng)x＝﹣3時(shí)，二次根式為＝1，不是最簡(jiǎn)二次根式，不合題意；當(dāng)x＝﹣2時(shí)，二次根式為，是最簡(jiǎn)二次根式，符合題意；∴若二次根式是最簡(jiǎn)二次根式，則x可取的最小整數(shù)是﹣2．故答案為：﹣2．6．（2021春?潛山市期末）與最簡(jiǎn)二次根式是同類二次根式，則a＝﹣9．【分析】幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式．如果一個(gè)二次根式符合下列兩個(gè)條件：1、被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式；2、被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式．那么，這個(gè)根式叫做最簡(jiǎn)二次根式．根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式以及同類二次根式的定義即可判斷．【解答】解：＝2，由題意可知：a+15＝6，∴a＝﹣9，故答案為：﹣9．7．（2019春?惠山區(qū)期末）若最簡(jiǎn)二次根式與可以合并，則a＝1．【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義，進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：∵最簡(jiǎn)二次根式與可以合并，∴1+2a＝5﹣2a，∴4a＝4，∴a＝1，故答案為1．8．（2018?煙臺(tái)）與最簡(jiǎn)二次根式5是同類二次根式，則a＝2．【分析】先將化成最簡(jiǎn)二次根式，然后根據(jù)同類二次根式得到被開方數(shù)相同可得出關(guān)于a的方程，解出即可．【解答】解：∵與最簡(jiǎn)二次根式是同類二次根式，且，∴a+1＝3，解得：a＝2．故答案為2．9．（2023春?柯橋區(qū)期中）如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為、k、，則化簡(jiǎn)﹣|2k﹣5|的結(jié)果是（）A．﹣k﹣1 B．k+1 C．3k﹣11 D．11﹣3k【分析】求出k的范圍，化簡(jiǎn)二次根式得出|k﹣6|﹣|2k﹣5|，根據(jù)絕對(duì)值性質(zhì)得出6﹣k﹣（2k﹣5），求出即可．【解答】解：∵一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為、k、，∴﹣＜k＜+，∴3＜k＜4，﹣|2k﹣5|，＝﹣|2k﹣5|，＝6﹣k﹣（2k﹣5），＝﹣3k+11，＝11﹣3k，故選：D．10．（2023春?鐵東區(qū)期末）化簡(jiǎn)：＝π﹣3．【分析】二次根式的性質(zhì)：＝a（a≥0），根據(jù)性質(zhì)可以對(duì)上式化簡(jiǎn)．【解答】解：＝＝π﹣3．故答案為：π﹣3．11．（2023秋?拱墅區(qū)校級(jí)期中）先觀察下列等式．再回答問(wèn)題：①＝1＝1；②；③．（1）請(qǐng)按照上面各等式反映的規(guī)律，試寫出用n的式子表示的等式：1．（2）+…+＝．【分析】（1）根據(jù)題意找出規(guī)律；（2）根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可．【解答】解：（1）第n個(gè)式子為：（2）原式＝1+（1﹣）+1+（）+1+（﹣）+…+1+（）＝1+1﹣+1++1+﹣+…+1+＝10﹣＝．故答案為：．12．（2023春?東陽(yáng)市期末）已知二次根式．（1）求使得該二次根式有意義的x的取值范圍；（2）已知是最簡(jiǎn)二次根式，且與可以合并．①求x的值；②求與的乘積．【分析】（1）根據(jù)二次根式有意義的條件是被開方數(shù)大于等于0進(jìn)行求解即可；（2）①根據(jù)最簡(jiǎn)根式和同類二次根式的定義可得x+2＝10，解方程即可得到答案；②根據(jù)①所求利用二次根式的乘法計(jì)算法則求解即可．【解答】解：（1）∵二次根式有意義，∴x+2≥0，解得x≥﹣2；（2）①，∵與能合并，并且是最簡(jiǎn)二次根式，∴x+2＝10，解得x＝8；②由①可得．13．（2022秋?吉州區(qū)期末）定義：若兩個(gè)二次根式a，b滿足a?b＝c，且c是有理數(shù)，則稱a與b是關(guān)于c的共軛二次根式．（1）若a與是關(guān)于4的共軛二次根式，則a＝2；（2）若與是關(guān)于12的共軛二次根式，求m的值．【分析】（1）根據(jù)共軛二次根式的定義，先列出關(guān)于a的等式，再求出a；（2）根據(jù)共軛二次根式的定義，先列出關(guān)于m的方程，求解即可．【解答】解：（1）∵a與是關(guān)于4的共軛二次根式，∴＝4．∴a＝＝2；故答案為：2；（2））∵與是關(guān)于12的共軛二次根式，∴．∴18+6+3m+3m＝12．∴m（3+3）＝﹣6﹣6．∴m＝﹣2．題型三二次根式的運(yùn)算【例1】．（2022秋?達(dá)川區(qū)期末）下列運(yùn)算正確的是（）A． B． C． D．【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)以及二次根式的乘除運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．【解答】解：A．＝2，故此選項(xiàng)不合題意；B．＝，故此選項(xiàng)不合題意；C．3×2＝6，故此選項(xiàng)不合題意；D．4÷＝2，故此選項(xiàng)符合題意．故選：D．【例2】．（2022秋?玉門市期末）下列計(jì)算，正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次根式的加減法則，以及二次根式的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．【解答】解：∵＝2，∴選項(xiàng)A不正確；∵＝2，∴選項(xiàng)B正確；∵3﹣＝2，∴選項(xiàng)C不正確；∵+＝3≠，∴選項(xiàng)D不正確．故選：B．【例3】．（2022春?環(huán)江縣期中）計(jì)算÷的結(jié)果是（）A． B． C． D．【分析】直接利用二次根式的除法運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．【解答】解：÷＝＝＝．故選：C．【例4】．（2023春?瑞安市月考）化簡(jiǎn)的結(jié)果是．【分析】根據(jù)二次根式的除法法則進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：原式＝＝＝．故答案為：．【例5】．（2023春?沭陽(yáng)縣期末）若等式＝成立，則字母x應(yīng)滿足條件x≥1【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可得（x﹣1）（x﹣2）≥0，（x﹣1）≥0，（x+2）≥0，由此可得出x滿足的條件．【解答】解：由題意得：（x﹣1）（x+2）≥0，（x﹣1）≥0，（x+2）≥0，解得：x≥1．故填x≥1．【例6】．（2023秋?杭州期中）計(jì)算：1+（﹣）+|﹣|＝1．【分析】根據(jù)二次根式的加減法法則進(jìn)行解題即可．【解答】解：原式＝1++＝1．故答案為：1．【例7】．（2023春?玄武區(qū)期末）下列二次根式的運(yùn)算正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次根式混合運(yùn)算的法則對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可．【解答】解：A、＝3，原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；B、÷＝＝，正確，符合題意；C、3+＝4，原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；D、2×5＝30，原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意．故選：B．【例8】．（2023秋?杭州月考）2×（3+）+4﹣2×＝10．【分析】先去括號(hào)，再合并即可得出結(jié)果．【解答】解：2×（3+）+4﹣2×＝．故答案為：10．【例9】．（2022春?衢江區(qū)校級(jí)期中）對(duì)于兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a，b，定義一種新運(yùn)算：a※b＝，則4※1＝3．【分析】按照定義的新運(yùn)算，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：由題意得：4※1＝＝＝3，故答案為：3．【例10】．（2023春?拱墅區(qū)期中）計(jì)算：（1）（3）+；（2）．【分析】（1）先去括號(hào)，再進(jìn)行加減運(yùn)算即可；（2）先化簡(jiǎn)，再進(jìn)行減法運(yùn)算即可．【解答】解：（1）（3）+＝3＝3；（2）＝2＝．【例11】．（2023春?柯橋區(qū)期末）計(jì)算：（1）；（2）．【分析】（1）先對(duì)二次根式化簡(jiǎn)，再合并即可；（2）先根據(jù)平方差公式，完全平方公式計(jì)算，再根據(jù)二次根式加減法法則計(jì)算即可．【解答】解：（1）原式＝＝＝0；（2）原式＝＝．【例12】．（2022?普定縣模擬）閱讀以下材料：將分母中的根號(hào)化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一個(gè)適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式，使分母不含根號(hào)．例如：，（1）將分母有理化可得﹣1_；（2）關(guān)于x的方程3x﹣＝+++…+的解是．【分析】（1）根據(jù)材料進(jìn)行分母有理化即可；（2）先分母有理化，再根據(jù)式子的規(guī)律即可求解．【解答】解：（1）＝＝﹣1故答案為：﹣1；（2）3x﹣＝+++…+，3x﹣＝+++…+，3x﹣＝+++…+，3x﹣＝（+），6x﹣1＝﹣1+，6x＝3，x＝，故答案為：．鞏固訓(xùn)練1．（2021秋?連江縣期末）計(jì)算（）2的結(jié)果是（）A．5﹣2a B．﹣1 C．﹣1﹣2a D．1【分析】直接利用二次根式有意義的條件得出a的取值范圍，進(jìn)而化簡(jiǎn)二次根式得出答案．【解答】解：∵有意義，∴2﹣a≥0，解得：a≤2，則a﹣3＜0，原式＝2﹣a+3﹣a＝5﹣2a．故選：A．2．（2023春?蕭山區(qū)期中）下列等式正確的是（）A．（）2＝3 B．＝﹣3 C．＝3 D．（﹣）2＝﹣3【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，二次根式的乘除法進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：A．（）2＝3，故A正確；B.＝3，故B錯(cuò)誤；C.＝，故C錯(cuò)誤；D．（﹣）2＝3，故D錯(cuò)誤；故選：A．3．（2023春?杭州期末）下列各式中，正確的是（）A． B． C． D．【分析】利用二次根式的乘法法則將各項(xiàng)計(jì)算后進(jìn)行判斷即可．【解答】解：＝＝2，則A不符合題意，C符合題意；是最簡(jiǎn)二次根式，無(wú)法再進(jìn)行化簡(jiǎn)，則B不符合題意；＝＝×＝6，則D不符合題意；故選：C．4．（2022?淳安縣一模）的值是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次根式的乘除運(yùn)算法則即可求出答案．【解答】解：原式＝2，故選：B．5．（2022春?秭歸縣期中）代數(shù)式的值為1．【分析】利用二次根式有意義的條件得出a的取值范圍，進(jìn)而化簡(jiǎn)得出答案．【解答】解：由二次根式有意義的條件，可得：2﹣a≥0，解得：a≤2，則原式＝3﹣a﹣（2﹣a）＝3﹣a﹣2+a＝1．故答案為：1．6．（2023?榆次區(qū)一模）計(jì)算：的結(jié)果為2．【分析】利用二次根式乘除法的法則計(jì)算．【解答】解：＝＝＝2．故答案為：2．7．（2023春?西湖區(qū)校級(jí)期中）下列計(jì)算正確的是（）A． B． C． D．【分析】利用二次根式的加減法的法則，二次根式化簡(jiǎn)的法則對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算即可．【解答】解：A、與不屬于同類二次根式，不能運(yùn)算，故A不符合題意；B、與﹣不屬于同類二次根式，不能運(yùn)算，故B不符合題意；C、，故C符合題意；D、，故D不符合題意；故選：C．8．（2023?南崗區(qū)模擬）計(jì)算﹣2的結(jié)果是．【分析】原式各項(xiàng)化為最簡(jiǎn)二次根式，合并即可得到結(jié)果．【解答】解：原式＝2﹣2×＝2﹣＝，故答案為：．9．（2022秋?吉安縣期末）下列各式計(jì)算正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次根式的加法法則可判斷A和B；根據(jù)二次根式的除法法則可判斷C；根據(jù)二次根式的乘法法則可判斷D；【解答】解：A、和不是同類二次根式，不能合并，錯(cuò)誤，不符合題意；B、和2不是同類二次根式，不能合并，錯(cuò)誤，不符合題意；C、，原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；D、，正確，符合題意．故選：D．10．（2023春?柯城區(qū)校級(jí)期中）＝+．【分析】先變形，然后根據(jù)平方差公式和有理數(shù)的乘方計(jì)算即可．【解答】解：＝[（﹣）（+）]2022?（+）＝（3﹣2）2022?（+）＝12022?（+）＝1×（+）＝+，故答案為：+．11．（2021?婺城區(qū)校級(jí)模擬）計(jì)算：﹣﹣|﹣|．【分析】先作開方運(yùn)算，再利用實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可．【解答】解：原式＝3﹣3﹣2＝4．12．（2022春?萊州市期中）計(jì)算：（1） （2）÷﹣×+【分析】（1）直接化簡(jiǎn)二次根式進(jìn)而合并得出答案；（2）直接利用二次根式的乘除運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，再利用二次根式的加減運(yùn)算法則得出答案．【解答】解：（1）原式＝＝；（2）原式＝﹣+2＝4﹣+2＝．13．（2023春?高青縣期末）計(jì)算（1） （2）【分析】（1）直接利用平方差公式計(jì)算得出答案；（2）首先化簡(jiǎn)二次根式進(jìn)而計(jì)算得出答案．【解答】解：（1）原式＝＝6﹣3＝3；（2）原式＝＝＝﹣1．14．（2023秋?臥龍區(qū)期中）計(jì)算：（1）； （2）．【分析】（1）先根據(jù)完全平方公式和二次根式的除法法則運(yùn)算，然后合并即可；（2）先利用二次根式的性質(zhì)、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和絕對(duì)值的意義計(jì)算，然后合并即可．【解答】解：（1）原式＝5﹣2+1+＝6﹣2+＝6﹣；（2）原式＝2﹣3+4+﹣1＝5﹣2．15．（2023春?東陽(yáng)市期末）計(jì)算：（1）； （2）．【分析】（1）先根據(jù)二次根式的乘法法則進(jìn)行計(jì)算，再根據(jù)二次根式的加法法則進(jìn)行計(jì)算即可；（2）先分母有理化，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，最后根據(jù)二次根式的加減法法則進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）+×＝+＝+4＝5；（2）﹣＝2﹣＝2﹣×﹣1）＝2﹣2+＝．16．（2023秋?偃師市校級(jí)月考）計(jì)算下列各式：（1）； （2）．【分析】（1）先利用二次根式的性質(zhì)計(jì)算，然后化簡(jiǎn)各二次根式后合并即可；（2）先根據(jù)完全平方公式計(jì)算，然后把各二次根式化簡(jiǎn)后合并即可．【解答】解：（1）原式＝3++3﹣＝3+；（2）原式＝3﹣4+4+2﹣+＝7﹣2﹣+．17．（2022秋?惠陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）計(jì)算（1）； （2）．【分析】（1）直接利用二次根式的性質(zhì)以及二次根式的混合運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，進(jìn)而得出答案；（2）直接利用乘法公式以及二次根式的混合運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，進(jìn)而得出答案．【解答】解：（1）原式＝（6﹣4）÷﹣+＝2÷﹣+＝2﹣+＝2﹣；（2）原式＝12+1﹣4﹣（12﹣18）＝12+1﹣4+6＝19﹣4．18．（2022春?義烏市期中）“分母有理化”是我們常用的一種化簡(jiǎn)的方法，如：，除此之外，我們也可以用平方之后再開方的方式來(lái)化簡(jiǎn)一些有特點(diǎn)的無(wú)理數(shù)，如：對(duì)于，設(shè)，易知，故x＞0，由x2＝（）2＝＝2，解得x＝，即．根據(jù)以上方法，化簡(jiǎn)后的結(jié)果為．【分析】令x＝﹣，可求x2＝6，再由x＜0，可得﹣＝﹣，再將所求式子化簡(jiǎn)即可．【解答】解：令x＝﹣，∴x2＝（﹣）2＝6﹣3+6+3﹣2＝12﹣6＝6，∵＜，∴x＝﹣，∴﹣＝﹣，∴＝﹣＝5+2﹣＝5+，故答案為：5+．19．（2023春?西湖區(qū)校級(jí)期中）已知a＝，b＝．（1）求a+b的值；（2）設(shè)m是a小數(shù)部分，n是b整數(shù)部分，求代數(shù)式4m2+4mn+n2的值．【分析】（1）將a、b的值代入計(jì)算即可；（2）求出m、n的值再代入求值．【解答】解：（1）a＝＝＝﹣2，b＝＝＝+2．a(chǎn)+b＝﹣2++2＝2，（2）∵2＜＜3，∴0＜﹣2＜1，4＜+2＜5，∴m＝﹣2，n＝4，∴4m2+4mn+n2＝（2m+n）2＝（2﹣4+4）2＝20．20．（2022春?乳山市期末）【材料閱讀】把分母中的根號(hào)化去，將分母轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的過(guò)程，叫做分母有理化．例如：化簡(jiǎn)．解：．上述化簡(jiǎn)的過(guò)程，就是進(jìn)行分母有理化．【問(wèn)題解決】（1）化簡(jiǎn)的結(jié)果為：2+；（2）猜想：若n是正整數(shù)，則進(jìn)行分母有理化的結(jié)果為：﹣；（3）若有理數(shù)a，b滿足，求a，b的值．【分析】（1）分子分母同乘以2+，化簡(jiǎn)即可．（2）分子分母同乘以，化簡(jiǎn)即可．（3）先化簡(jiǎn)右式，其結(jié)果應(yīng)等于左式，解方程即可．【解答】解：（1）＝＝＝2+，故答案為：2+；（2）＝＝＝﹣，故答案為：﹣；（3）化簡(jiǎn)得，＝（a+b）﹣（b﹣a），∵＝2﹣1，∴，得．題型四二次根式的簡(jiǎn)單應(yīng)用【例1】．（2023春?仙居縣期末）已知，則代數(shù)式a2+2a+1的值是（）A． B． C． D．2【分析】先求出a2+2a+1＝（a+1）2，再代入求出答案即可．【解答】解：∵，∴a2+2a+1＝（a+1）2＝（﹣1+1）2＝（）2＝2．故選：D．【例2】．（2023春?上城區(qū)期中）如圖，已知釣魚竿AC的長(zhǎng)為6m，露在水面上的魚線BC長(zhǎng)為3m，某釣者想看看魚鉤上的情況，把魚竿AC轉(zhuǎn)動(dòng)到AC′的位置，此時(shí)露在水面上的魚線B′C′為m，則BB′的長(zhǎng)為（）A．m B．2m C．m D．2m【分析】根據(jù)勾股定理分別求出AB和AB′，再根據(jù)BB′＝AB﹣AB′即可得出答案．【解答】解：∵AC＝6m，BC＝3m，∴AB＝＝＝3m，∵AC′＝6m，B′C′＝m，∴AB′＝＝＝m，∴BB′＝AB﹣AB′＝3﹣＝2m；故選：B．【例3】．（2023秋?鹿城區(qū)校級(jí)期中）如圖，在一個(gè)正方形的內(nèi)部放置大小不同的兩個(gè)小正方形，其中較大的正方形條的面積為15，重疊部分的面積為1，空白部分的面積為，則較小的正方形面積為（）A．4 B． C．9 D．【分析】根據(jù)面積可求得大正方形和陰影部分的邊長(zhǎng)，從而求得空白部分的長(zhǎng)；觀察可知兩塊空白部分全等，則可得到一塊空白的面積；通過(guò)長(zhǎng)方形面積公式渴求空白部分的寬，最后求出小正方形的邊長(zhǎng)即可求出面積．【解答】解：∵觀察可知，兩個(gè)空白部分的長(zhǎng)相等，寬也相等，∴重疊部分也為正方形，∵空白部分的面積為，∴一個(gè)空白長(zhǎng)方形面積＝2﹣2，∵大正方形面積為15，重疊部分面積為1，∴大正方形邊長(zhǎng)＝，重疊部分邊長(zhǎng)＝1，∴空白部分的長(zhǎng)＝﹣1，設(shè)空白部分寬為x，可得：（﹣1）x＝2﹣2，解得：x＝2，∴小正方形的邊長(zhǎng)＝空白部分的寬+陰影部分邊長(zhǎng)＝2+1＝3，∴小正方形面積＝32＝9，故選：C．【例4】．（2023?商水縣一模）我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何學(xué)家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，記，則其面積，這個(gè)公式也被稱為海倫一秦九韶公式．若p＝5，c＝2，則此三角形面積的最大值為（）A． B． C． D．5【分析】根據(jù)公式算出a+b的值，代入公式即可求出解．【解答】解：∵p＝，p＝5，c＝2，∴5＝，∴a+b＝8，∴a＝8﹣b，∴S＝＝＝＝＝＝＝當(dāng)b＝4時(shí)，S有最大值為．故選：C．【例5】．（2023秋?晉州市期中）如圖所示，是一座建筑物的截面圖，高BC＝8m，坡面AB的坡度為，則斜坡AB的長(zhǎng)度為（）A．16m B． C． D．【分析】由坡面AB的坡度為＝＝1：，可得AC＝8m，再根據(jù)勾股定理可得AB＝＝16m．【解答】解：∵坡面AB的坡度為＝＝1：，∴AC＝8m，∴AB＝＝16（m）．故選：A．【例6】．（2023春?蕭山區(qū)期中）若a＝1+，b＝1﹣，則代數(shù)式a2﹣ab+b2的值為7．【分析】根據(jù)完全平方公式把所求的式子變形為（a+b）2﹣3ab，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵a＝1+，b＝1﹣，∴a2﹣ab+b2＝（a+b）2﹣3ab＝（1++1﹣）2﹣3×（1+）×（1﹣）＝22﹣3×（﹣1）＝4+3＝7，故答案為：7．【例7】．（2023秋?象山縣校級(jí)期中）化簡(jiǎn)求值：（1）x+6y2﹣4（2x﹣y2），其中x＝2，y＝﹣1；（2）3（x+y）﹣（x﹣y）﹣4（x+y）+（x﹣y），其中x＝﹣1，y＝1．【分析】（1）先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)，然后把x，y的值代入化簡(jiǎn)后的式子，進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）把x+y與x﹣y看作是一個(gè)整體，先合并同類項(xiàng)，再去括號(hào)，然后把x，y的值代入化簡(jiǎn)后的式子，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）x+6y2﹣4（2x﹣y2）＝x+6y2﹣8x+4y2＝10y2﹣7x，當(dāng)x＝2，y＝﹣1時(shí)，原式＝10×（﹣1）2﹣7×2＝10﹣14＝﹣4；（2）3（x+y）﹣（x﹣y）﹣4（x+y）+（x﹣y）＝﹣（x+y）＝﹣x﹣y，當(dāng)x＝﹣1，y＝1時(shí)，原式＝﹣（﹣1）﹣1＝﹣+1﹣1＝﹣．【例8】．（2023春?湯陰縣期中）已知線段a，b，c，且線段a，b滿足|a﹣|+（b﹣）2＝0．（1）求a，b的值；（2）若a，b，c是某直角三角形的三條邊的長(zhǎng)度，求c的值．【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)性質(zhì)可得a、b的值；（2）根據(jù)勾股定理逆定理可解答．【解答】解：（1）因?yàn)榫€段a，b滿足|a﹣|+（b﹣）2＝0．所以a＝4，b＝；（2）因?yàn)閍，b，c是某直角三角形的三條邊的長(zhǎng)度，所以c＝或．【例9】．（2023秋?紹興期中）我們規(guī)定，對(duì)數(shù)軸上的任意點(diǎn)P進(jìn)行如下操作：先將點(diǎn)P表示的數(shù)乘以﹣1，再把所得數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)向右平移2個(gè)單位，得到點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′．現(xiàn)對(duì)數(shù)軸上的點(diǎn)A，B進(jìn)行以上操作，分別得到點(diǎn)A′，B′．（1）若點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)是﹣2，則點(diǎn)A′對(duì)應(yīng)的數(shù)x＝4．若點(diǎn)B'對(duì)應(yīng)的數(shù)是+2，則點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)y＝﹣．（2）在（1）的條件下，求代數(shù)式的值．【分析】（1）由已知可得：（﹣2）×（﹣1）+2＝4，可得A′為4．設(shè)B為m，則﹣m+2＝2+，解得m＝，（2）將x＝4，y＝代入所求式子化簡(jiǎn)即可．【解答】解：（1）由已知可得：x＝（﹣2）×（﹣1）+2＝4，∴A'對(duì)應(yīng)的數(shù)4；由題意﹣y+2＝2+，解得y＝，∴B對(duì)應(yīng)的數(shù)；（2）當(dāng)x＝4，y＝時(shí)，＝﹣（﹣+）＝+﹣＝．鞏固訓(xùn)練1．（2023春?萊陽(yáng)市期中）當(dāng)時(shí)，代數(shù)式x2+2x+2的值是（）A．19 B．20 C．21 D．22【分析】利用完全平方公式配方，再代入計(jì)算即可解答．【解答】解：當(dāng)時(shí)，x2+2x+2＝（x+1）2+1＝＝＝20．故選：B．2．（2023春?拱墅區(qū)期末）方程的解為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)解一元一次方程的解法即可得到結(jié)論．【解答】解：的解為x＝，故選：C．3．（2023春?德清縣期末）高空拋物極其危險(xiǎn)，是我們必須杜絕的行為．據(jù)研究，高空拋物下落的時(shí)間t（單位：s）和高度h（單位：m）近似滿足公式（不考慮風(fēng)速的影響）．記從50m高空拋物到落地所需時(shí)間為t1．從100m高空拋物到落地所需時(shí)間為t2，則t2：t1的值是（）A． B． C． D．2【分析】將h＝50代入進(jìn)行計(jì)算即可；將h＝100代入進(jìn)行計(jì)算，再計(jì)算t2與t1的比值即可得出結(jié)論．【解答】解：當(dāng)h＝50時(shí)，（秒）；當(dāng)h＝100時(shí)，（秒）；，故選：C．4．（2023春?蕭山區(qū)期中）已知x＝+1，y＝﹣1，則x2y﹣xy2＝4．【分析】由x與y的值，求出xy與x﹣y的值，原式提取公因式變形后，將各自的值代入計(jì)算即可求出值．【解答】解：∵x＝+1，y＝﹣1，∴xy＝（+1）（﹣1）＝3﹣1＝2，x﹣y＝（+1）+（﹣1）＝+1﹣+1＝2，則原式＝xy（x﹣y）＝4．故答案為：4．5．（2023春?瑞安市期中）有一塊長(zhǎng)方形木板，木工采用如圖所示的方式，在木板上截出兩個(gè)面積分別為18dm2和32dm2的正方形木板，則剩余木料（陰影部分）的面積為6dm2．【分析】根據(jù)正方形和矩形的面積公式可得到結(jié)論．【解答】解：剩余木料的面積＝（+）×﹣18﹣32＝56﹣18﹣32＝6（dm2）；故答案為：6．6．（2022秋?臨清市期末）如圖，一位同學(xué)乘滑雪板沿坡度為i＝1：2的斜坡向下滑行30米，則他下降的高度為米．【分析】根據(jù)坡度的概念、勾股定理列出方程，解方程得到答案．【解答】解：如圖，設(shè)他下降的高度AC＝x米，∵斜坡的坡度為i＝1：2，∴這位同學(xué)滑行的是水平距離BC＝2x米，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，即x2+（2x）2＝302，解得：（負(fù)值舍去），∴他下降的高度