安徽省淮北市2024屆高三上學期12月第一次質(zhì)量檢測數(shù)學試卷

安徽省淮北市2024屆高三上學期12月第一次質(zhì)量檢測數(shù)學試卷姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的.1．設集合A={x|?5<x<2}，B={x||x+3|<3}，則A∪B=（）A．(?5，0) B．(?6，2) C．2．已知復數(shù)z=7+i3+4i，則A．1+i B．?1?i C．1?i D．?1+i3．已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列說法正確的是（）A．若m∥n，且n?α，則m∥α B．若m⊥n，且n?α，則m⊥αC．若m∥α，且m∥β，則α∥β D．若m⊥α，且m⊥β，則α⊥β4．記Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，則“A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知定義在R上奇函數(shù)f(x)滿足f(1+x)=f(1?x)，當x∈(0，1)時，f(x)=2A．94 B．169 C．986．已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0A．2 B．3 C．2 D．57．已知a=6?24，A．a(chǎn)<b<c B．b<c<a C．c<a<b D．a(chǎn)<c<b8．已知方程(x?1)lnx?k(x+1)=0有兩個不等實數(shù)根x1A．k<0 B．k≥1 C．x1x2二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．已知a，b，c∈R，下列命題為真命題的是（）A．若a>b>c，則a+b>c B．若a>b>|c|，則aC．若a<b<c<0，則ca>cb 10．已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+πA．存在實數(shù)m使得f(x)在(0，B．若f(x)的圖象關(guān)于點(π3，C．若ω=2，將f(x)的圖象向右平移π6個單位可以得到g(x)D．若ω=2，f(x)+g(x)的最大值為311．如圖，邊長為2的正六邊形ABCDEF，點P是△DEF內(nèi)部（包括邊界）的動點，AP=xAB+yAD，A．AD?BE+CF=C．若y=34，則點P的軌跡長度為2 D．AP12．已知A，B，C，D四點在球心為O，半徑為5的球面上，且滿足AB=6，CD=8，設AB，CD的中點分別為M，N，則（）A．點N有可能在AB上B．線段MN的長有可能為7C．四面體OABC的體積的最大值為20D．四面體ABCD的體積的最大值為56三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知sinα+cosα=?15，14．正項等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若113，a1+215．已知拋物線y2=2px(p>0)準線為l，焦點為F，點A，B在拋物線上，點C在l上，滿足：AF=λFB，AB=μBC16．記不超過x的最大整數(shù)為[x].若函數(shù)f(x)=|2x?[2x+t]|既有最大值也有最小值，則實數(shù)t的值可以是（寫出滿足條件的一個t的值即可）.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2sin（1）求A；（2）若b=2，AD=2DB，且|CD|=2318．如圖，在三棱錐A?BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O為BD的中點.（1）求證：OA⊥BC；（2）若△OCD是邊長為2的等邊三角形，點E滿足AE=2ED，且平面BCE與平面BCD夾角的正切值為3519．某市隨著東部新城迅猛發(fā)展，從老城區(qū)到新城區(qū)的道路交通壓力變大.某高中數(shù)學建模小組調(diào)查了新城上班族S從居住地到工作地的平均用時，上班族S中的成員僅以公交或自駕的方式通勤，分析顯示：當S中x%（0<x<100）的成員自駕時，自駕群體的人均通勤時間與xf(x)=30而公交群體的人均通勤時間不受x影響，恒為40分鐘.（1）當x在什么范圍時，公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間？（2）求新城上班族S的人均通勤時間g(x)的表達式，討論g(x)的單調(diào)性，并說明其實際意義.20．已知數(shù)列{an}為遞增的等比數(shù)列，bn=an+2，n為奇數(shù)12a（1）求數(shù)列{a（2）證明：當n>5時，Sn21．已知橢圓Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為1（1）求橢圓的方程；（2）過點N(1，1)的直線與橢圓交于P，Q兩點，R為線段PQ中點，O為坐標原點，射線OR與橢圓交于點S，點G為直線OR上一動點，且OR?22．已知函數(shù)f(x)=xlnx?x，g(x)=?1（1）求函數(shù)f(x)的最小值；（2）若F(x)=f(x)+g(x)有兩個不同極值點，分別記為m，n，且m<n.（?。┣髮崝?shù)a的取值范圍；（ⅱ）若不等式mnk>ek+1

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】由|x+3|<3可得?3<x+3<3?x∈(?6，0)，即而A=(?5，2)，所以故選：B【分析】本題考查集合的并集運算.先根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)將不等式|x+3|<3轉(zhuǎn)化為：?3<x+3<3，解不等式可求出集合B，根據(jù)并集的概念可求出A∪B.2．【答案】A【解析】【解答】由z=7+i3+4i得故z=1+i故選：A【分析】本題考查復數(shù)的除法運算.根據(jù)復數(shù)除法運算：分子和分母同時乘以3?4i可得：z=(7+i)(3-4i)(3+4i)(3-4i)，括號展開再化簡可求出z，由共軛的定義可求出3．【答案】D【解析】【解答】如圖所示正方體，對于A，若m，n，α對應直線AB，對于B，若m，n，α對應直線AB，對于C，若m，α，β對應直線AB與平面HGCD，平面對于D，若m⊥α，且m⊥β，又α，β是兩個不同的平面，則α//故選：D【分析】本題考查直線與平面的位置關(guān)系，平面與平面的位置關(guān)系.先構(gòu)建正方體，m，n，α對應直線AB，CD與平面ABCD，顯然符合條件，據(jù)此判斷A選項；若m，n，α對應直線AB，CB與平面ABCD，顯然符合條件，據(jù)此判斷B選項；若m，α，4．【答案】C【解析】【解答】若{an}是遞增數(shù)列，則公差d>0故Sn+1n+1?若{Snn}為遞增數(shù)列，則故d>0，所以{a故“{an}故選：C【分析】本題考查充分必要條件的判斷，等差數(shù)列的通項公式和等差數(shù)列的前n項和公式.根據(jù)等差數(shù)列的求和公式可得Snn=d2n+a1?d2，Sn+1n+15．【答案】B【解析】【解答】因為f(x)為奇函數(shù)且滿足f(1+x)=f(1?x).所以f[(x+1)+1]=f[1?(x+1)]，即f(x+2)=f(?x)=?f(x)，所以f(x+4)=f[(x+2)+2]=?f(x+2)=?[?f(x)]=f(x)，所以f(x)是周期為4的周期函數(shù).因為5=log所以f(=f(4?lo故選：B【分析】本題考查函數(shù)的周期性.根據(jù)已知f(x)為奇函數(shù)且滿足f(1+x)=f(1?x)可推導出f(x+4)=f(x)，所以f(x)是周期為4的周期函數(shù).再推導出log236的范圍為：5=6．【答案】D【解析】【解答】由圓的方程(x?1)2+(y?2)2又由雙曲線C：x2a2因為雙曲線的漸近線交圓于A，B兩點，且所以圓心(1，2)在直線bx?ay=0，即則雙曲線C的離心率為e=c故選：D.【分析】本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì).根據(jù)題意：圓的方程(x?1)2+(y?2)2=1的圓心為(1，2)，得到雙曲線x7．【答案】A【解析】【解答】因為sinπ注意到a=6b=sin12<sin故選：A.【分析】本題考查三角函數(shù)的單調(diào)性和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.本題根據(jù)a=6?24，可想到：sinπ12=8．【答案】C【解析】【解答】由題知，方程轉(zhuǎn)化為(x?1)ln令f(x)=(x?1)lnx，則令h(x)=lnx?1因為x>0，所以h'所以f'(x)為增函數(shù)，且所以當0<x<1時，f'(x)<0，當x>1時，f'(x)>0，f(x)遞增，且x→0時，x?1→?1，lnx→?∞，f(x)=(x?1)x→+∞時，x?1→+∞，lnx→+∞，f(x)=(x?1)所以可得f(x)圖象如圖所示，方程有兩個不相等實根，即直線y=k(x+1)與函數(shù)f(x)圖象有兩交點，又直線y=k(x+1)過定點(?1，故k>0.AB錯誤；又方程轉(zhuǎn)化為k=(x?1)lnxg'而s(x)=2lnx+x?1x在故當0<x<1時，g'(x)<0即g(x)在當x>1時，g'(x)>0即g(x)在故又g(1又k=(x?1)lnxx+1有兩個解不妨設0<x1<1<x2所以x1=1由C知，x1所以x1故選：C【分析】本題考查函數(shù)與方程的綜合運用.已知方程(x?1)lnx?k(x+1)=0有兩個不等實數(shù)根，轉(zhuǎn)化為(x?1)lnx=k(x+1)有解，即函數(shù)f(x)=(x?1)lnx與y=k(x+1)圖象有兩個交點，結(jié)合y=k(x+1)過定點(?1，9．【答案】B,D【解析】【解答】A、當b為負數(shù)時A可能不成立，例如?2>?3>?4但?2+(?3)>?4，A錯誤.B、因為a>b>|c|≥0根據(jù)不等式性質(zhì)可得a2C、因為a<b<0，所以1ab>0，所以a1abD、因為a>b>c>0，所以ba?b+c故選：BD【分析】本題考查不等式的性質(zhì).A選項：取特殊值法：取a=?2，b?3，c=?4，則?2>?3>?4但?2+(?3)>?4是錯誤的；B選項：a>b>|c|≥0根據(jù)同向同正不等式兩邊可同時進行平方可得a210．【答案】B,C,D【解析】【解答】A、因為x∈(0，m)，ωx+π所以不存在實數(shù)m使得f(x)在(0，B、f(x)的圖象關(guān)于點(π所以ωπ3+π3=kπ(k∈Z)，所以所以ω的最小值為2，B正確；C、若ω=2，f(x)=sin將f(x)的圖象向右平移π6個單位可以得到g(x)則g(x)=2sinD、若ω=2，f(x)=sin(2x+πf(x)+g(x)=sin當sin(2x+π6)=1時，故選：BCD.【分析】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì).根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可得不存在實數(shù)m使得f(x)在(0，m)單調(diào)遞減；由中心對稱，可得ωπ11．【答案】A,D【解析】【解答】設O為正六邊形的中心，A、根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可得ED=AB，AD?B、假設存在存在點P，使x=y，則AP=xAB+yAD=x(所以P在直線AM上，這與點P是△DEF內(nèi)部（包括邊界）的動點矛盾，B錯誤，C、當y=34時，取AN=34AD，則AP?其中H，K分別為過點N作NH//由于N為OD的中點，所以HK//ED，D、由于DB⊥AB，AP?過F作FT⊥BA于T，則AT=12AF=1由于x，y分別為AB，AD上的分量，且點點P當P位于F時，此時x，y同時最小，故AP?故選：AD【分析】本題考查平面向量的基本定理的應用和平面向量數(shù)量積的應用.根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可得：ED=AB，EF=CB，CD=AF，結(jié)合四邊形OAFE，OCDE，OABC均為菱形，向量的線性運算即可求解A；假設存在存在點P，使x=y，則AP=xAB+yAD=x(AB+AD)=xAM，其中點12．【答案】B,C,D【解析】【解答】由題意，注意到點M、N軌跡分別為以O為球心，以4、3為半徑的兩同心球面上，AB、CD分別為兩球面的切線.A、點N在內(nèi)球面上，線段AB是中球面切線，所以點N不可能在線段AB上，A錯誤.B、MN最大，此時MN=7，B正確.C、∵S△OAB=12AB?OM=12∴VC?OABD、當AB⊥CD，MN最大時，四面體ABCD體積最大.連結(jié)CM，DM，注意到S△CDM=12×CD×MN=28故選：BCD.【分析】本題考查立體幾何的作圖，位置的變化，四面體體積的求法.A項，分析出點M、N軌跡即可得出點N是否能在AB上；B項，對點M、N位置進行變換，即可得出線段MN的長的可能值；C項，求出△OAB面積和點C到面OAB最大值，即可得出四面體OABC的體積的最大值；D項，作出四面體ABCD，即可得出四面體ABCD的體積的最大值.13．【答案】?【解析】【解答】由sinα+cosα=?15又sinαcosα=sinα由于sinαcosα=?1225又sinα+cosα=?15故tanα=?故答案為：?3【分析】本題考查同角三角函數(shù)的平方和關(guān)系和商數(shù)關(guān)系.將sinα+cosα=?15兩邊同時平方可求出：sinαcosα=?1225，用sinαcosα除以1，再將1進行替換可得：sin14．【答案】63【解析】【解答】設{an}的公差為d而an當且僅當a1故答案為：63【分析】本題考查等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)和等比中項的應用.已知113，a1+2，S13成等比數(shù)列，根據(jù)等比中項的定義可得：113×S13=(a1+2)2，再根據(jù)等差數(shù)列前15．【答案】2【解析】【解答】由題設知：A，B，作AD⊥l，BE⊥l，垂足分別為D，所以|AD|=3|BE所以|AB|+|BC故答案為：2【分析】本題考查拋物的定義.由題設A，B，C，F(xiàn)共線，作AD⊥l，BE⊥l，垂足分別為16．【答案】取[1【解析】【解答】取2x+t=m+n，m∈Z，n∈[0，則f(x)=|2x?[2x+t]|=|(m+n?t)?m|=|n?t|.題意等價于g(n)=|n?t|在區(qū)間[0，當t≤0時，g(n)=n?t在[0，1)上為增函數(shù)，只有最小值當0<t<12時，g(n)在(0，t)上遞減，在(t，當12≤t<1時，g(n)在(0，t)上遞減，在(t，1)上遞增，此時當t≥1時，g(n)=t?n在[0，1)上為減函數(shù)，有最大值綜上，t的取值范圍是[1故答案為：12（答案不唯一，取[【分析】本題考查函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最值.根據(jù)題意取2x+t=m+n，m∈Z，n∈[0，1)，則f(x)=|n?t|，將問題轉(zhuǎn)化為g(n)=|n?t|在區(qū)間[0，1)上既有最大值，又有最小值，然后t≤0，0<t<117．【答案】（1）解：由2sinB?sin即2b?c=2aa2+所以cosA=b2（2）解：在△ACD中，AC=2，CD=23，A=由余弦定理可得：CD化簡可得：AD2?2AD?8=0，解得：AD=4又因為AD=2DB，故在△ABC中，a2故a=27【解析】【分析】本題考查用正弦定理和余弦定理解三角形.（1）由正弦定理角化邊可得：2b?c=2acosC，再結(jié)合余弦定理將cosC（2）在△ACD由余弦定理求出AD=4，即可得出AB=6，在△ABC中由余弦定理求解即可得出答案.18．【答案】（1）證明：證明：因為AB=AD，O為BD中點，所以OA⊥BD，因為平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，OA?平面ABD，所以OA⊥平面BCD，又因為BC?平面BCD，所以OA⊥BC，（2）解：注意到△OCD是邊長為2的等邊三角形，易知，△BCD是以C為直角頂點的直角三角形.過O作OF⊥OD，交BC于F.結(jié)合題設，以O為原點，OA，OD，OF為坐標軸，建立如圖所示空間直角坐標系.平面BCE與平面BCD夾角正切值為35，所以余弦值為5則B(0，?2，0)，C(3，1所以BC=(3，3，0)，3x+3y=0103y+tz=0，令易知平面BCD法向量為n2故53434=所以OA=3，故VA?BCD【解析】【分析】本題考查平面與平面垂直的性質(zhì)，利用空間向量求平面與平面所成的角.（1）利用平面與平面垂直的性質(zhì)定理證明OA⊥BC；（2）以O為原點，建立空間直角坐標系，設E點坐標，計算平面BCE與平面BCD的法向量，根據(jù)平面BCE與平面BCD夾角正切值求得參數(shù)，得幾何體的高，計算體積.19．【答案】（1）解：由題意知，當30<x<100時，f(x)=2x+1800?90>40即x2?65x+900>0解得x<20或當x∈(45，（2）解：當0<x<30時g(x)=30?x%當30<x<100時g(x)=(2x+g(x)=當0<x<32.5時，當32.5<x<100時，說明該地上班族S中有小于32.5%的人自駕時，人均通勤時間是遞減的，有大于32.5%的人自駕時，人均通勤時間是遞增的.【解析】【分析】本題考查了分段函數(shù)的應用問題．（1）由題意知求出f（x）＞40可列出不等式：x2（2）分段求出g（x）的解析式，判斷g（x）的單調(diào)性，再說明其實際意義．20．【答案】（1）解：設數(shù)列{an}的公比為q把①式代入②式得a2=2，代入①式得2q+2q=5，得a1=1，所以（2）解：易知，Sn當n為偶數(shù)時，T=2(a此時，Sn當n>5時，2n?3n?13當n為奇數(shù)時，Tn檢驗知，當n=1時，上式也成立.此時，Sn當n>5時，2n?6n?86綜上所述，當n>5時，Sn【解析】【分析】本題考查等比數(shù)列的通項公式，分組求和.（1）設數(shù)列{an}的公比為q可得出方程：2q+2q=5，解方程可求得q=2，進而求得數(shù)列（2）由（1）求得Sn=1×(1?2n)1?221．【答案】（1）解：由題意得ca=又|MF1在△MF1化簡得a2?4a+4=0所以b2=a（2）證明：設lPQ：y=k(x?1)+1，由x24+y因N(1，1)在橢圓內(nèi)，所以直線得x1+又R為線段PQ中點，所以R(所以kOR=?由x24+y23設S點坐標(xS，y設G點坐標為(xG，x整理得：4k又yG=?3得4k2得xG4所以G點在定直線3x+4y?24=0上.

當直線PQ斜率為0時，則PQ//x軸，此時R(0，1)，S(0，3)，由OR?OG=2OS2可得|OG|=6，則G(0，6)，G點在定直線3x+4y?24=0上.

當直