廣東省廣東實(shí)驗(yàn)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期1月第二次調(diào)研數(shù)學(xué)試卷

廣東省廣東實(shí)驗(yàn)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期1月第二次調(diào)研數(shù)學(xué)試卷姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一二三四總分評(píng)分一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．設(shè)集合A={1}，A．1 B．2 C．3 D．42．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為SA．{an}為等差數(shù)列 C．{Sn}為等差數(shù)列 3．已知sinα>0，cosα<0，則A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限4．如圖，在△ABC中，滿足條件AD=DB，AE=A．8 B．4 C．2 D．15．若a∈R，z為純虛數(shù)，且2+(a?1)i=(2a+z)i，則|a+z|（）A．373 B．5 C．5 6．垃圾分類是指按一定規(guī)定或標(biāo)準(zhǔn)將垃圾分類儲(chǔ)存、投放和搬運(yùn)，從而轉(zhuǎn)變成公共資源的一系列活動(dòng)，做好垃圾分類是每一位公民應(yīng)盡的義務(wù).已知某種垃圾的分解率v與時(shí)間t（月）近似地滿足關(guān)系v=a?bt（其中a，b，為正常數(shù)），經(jīng)過6個(gè)月，這種垃圾的分解率為5%，經(jīng)過12個(gè)月，這種垃圾的分解率為10A．20 B．28 C．32 D．407．已知六棱錐的所有頂點(diǎn)都在半徑為2的球的球面上，當(dāng)六棱錐的體積最大時(shí)，其側(cè)棱長為（）A．463 B．26 C．78．已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，經(jīng)過FA．55 B．23 C．34二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9．亞洲奧林匹克理事會(huì)宣布，原定于2022年9月10日至25日舉行的杭州2022年第19屆亞運(yùn)會(huì)于2023年9月23日至10月8日舉行，名稱仍為杭州2022年第19屆亞運(yùn)會(huì)．為了加大宣傳力度，杭州某社區(qū)進(jìn)行了以“中國特色、浙江風(fēng)采、杭州韻味”為主題的知識(shí)競賽，現(xiàn)隨機(jī)抽取30名選手，其得分如圖所示．設(shè)得分的中位數(shù)為m，眾數(shù)為n，平均數(shù)為x，則（）

A．m=5 B．n=5 C．m>x D．10．下列說法不正確的是（）A．存在x∈R，使得1?B．函數(shù)y=sin2xC．函數(shù)y=cos2(x+D．若角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)(cos(?3)，sin11．如圖，拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)為F，過F的直線交C于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作A．若|AB|=10，則直線AB的方程為x?2y?2=0或x+2y?2=0B．PF⊥QFC．以線段AF為直徑的圓與y軸相切D．|PQ|12．已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f'(x)的定義域?yàn)镽，若f'(2)=8，函數(shù)A．函數(shù)f'B．函數(shù)f'(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)C．i=1D．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=3對(duì)稱三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13．已知二項(xiàng)式(1?ax)n的展開式中只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，且展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和為64，則正數(shù)a14．已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，an15．在空間直角坐標(biāo)系中，定義點(diǎn)A(x1，y1，z1)和點(diǎn)B(x2，y2，16．已知函數(shù)f(x)=sinx+ex?2(x<0)與四、解答題（本大題共6小題，共70.0分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．已知數(shù)列{an}（1）證明數(shù)列{an2（2）求數(shù)列{an}的前n18．在①(2?sinA)cosB?1=cosAsinB?2cosBsinC；②(2a?c)cosB=bcosC兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答該問題．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且____．（1）求角B的大?。唬?）若點(diǎn)D滿足BD=2BC，且線段AD=3，求19．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，且AB//CD，AB⊥AD，PA=AB=2，AD=DC=1，E為（1）若E為PB中點(diǎn)，求證：CE//平面PAD（2）若點(diǎn)E不與P和B重合，且二面角E-AC-P的余弦值為63，求AE與平面ABCD20．已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，記C的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，上下頂點(diǎn)為B1，B（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過點(diǎn)Q(0，2)的直線與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，且OM?21．已知甲、乙兩支登山隊(duì)均有n名隊(duì)員，現(xiàn)有新增的4名登山愛好者a，b，c，d將依次通過摸出小球的顏色來決定其加入哪支登山隊(duì)，規(guī)則如下：在一個(gè)不透明的箱中放有紅球和黑球各2個(gè)，小球除顏色不同之外，其余完全相同先由第一名新增登山愛好者從箱中不放回地摸出1個(gè)小球，再另取完全相同的紅球和黑球各1個(gè)放入箱中；接著由下一名新增登山愛好者摸出1個(gè)小球后，再放入完全相同的紅球和黑球各1個(gè)，如此重復(fù)，直至所有新增登山愛好者均摸球和放球完畢．新增登山愛好者若摸出紅球，則被分至甲隊(duì)，否則被分至乙隊(duì)．（1）求a，（2）記甲，乙兩隊(duì)的最終人數(shù)分別為n1，n2，設(shè)隨機(jī)變量X=|n22．已知函數(shù)f(x)=e（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）求證：x1

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：由x2?3x+2=0，解得x=1或x=2，則B={1，2}，則A∪B=故答案為：D.【分析】解一元二次方程求得集合B，再根據(jù)集合的并集運(yùn)算求A∪B，最后利用子集的個(gè)數(shù)公式求解即可.2．【答案】B【解析】【解答】解：因?yàn)閿?shù)列{an}滿足an+2=2Sn由an+2=2Sn(n∈N*①-②可得an?a所以數(shù)列{an}為2由于S1=2，S2=0，由于S2=0，故數(shù)列故答案為：B.【分析】根據(jù)an=S1,n=1S3．【答案】D【解析】【解答】解：因?yàn)閟inα>0，cosα<0，所以α為第二象限角，即所以π6當(dāng)k=3n時(shí)，π6+2×3nπ3<α3<π3+2×3nπ3,k∈Z，即α3位于第一象限；

故α3故答案為：D.【分析】先通過條件確定α的范圍，再求出α3的范圍，分k=3n，k=3n+1和k=3n+24．【答案】A【解析】【解答】解：由圖可知：DE=DA+AE，因?yàn)榧碊E=14BA+14故答案為：A.【分析】由圖，利用向量加法的三角形法則，結(jié)合已知條件，可得DE=145．【答案】B【解析】【解答】解：因?yàn)閦為純虛數(shù)，所以設(shè)z=mi(m∈R,由2+(a?1)i=(2a+z)i，得2+(a?1)i=?m+2ai，所以2=?ma?1=2a，解得a=?1m=?2，所以z=?2i，則故答案為：B．【分析】由題意，設(shè)z=mi(m∈R,6．【答案】C【解析】【解答】解：由題意可得0.1=a?b12由1=0.025?2t6，解得2故答案為：C.【分析】先由題給條件求得正常數(shù)a，b的值，得到分解率v與時(shí)間t（月）近似地滿足關(guān)系v=0.7．【答案】A【解析】【解答】解：由題意知，六棱錐的底面六邊形的頂點(diǎn)在同一個(gè)截面圓上，易知當(dāng)六邊形為正六邊形時(shí)，其面積最大，要使六棱錐的體積最大，則該六棱錐為正六棱錐，設(shè)正六邊形的邊長為a(0<a≤2)，六棱錐的高為h由球的性質(zhì)可知，(h?2)2所以正六棱錐的體積V=1設(shè)f(x)當(dāng)f'(x)>0時(shí)，x∈(0所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(當(dāng)x=83時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值，即h=所以正六棱錐的側(cè)棱長l=a故答案為：A．【分析】由該六棱錐為正六棱錐時(shí)，其體積最大結(jié)合體積公式得出V=38．【答案】A【解析】【解答】因?yàn)?IB+4IA如圖，在BF2上取一點(diǎn)M，使得|BM|：|MF則點(diǎn)I為AM上靠近點(diǎn)M的三等分點(diǎn)，所以S△IA所以|AF設(shè)|AF2|=3x由橢圓定義可知：|AF2|+|BF2所以|AF2|=a，故點(diǎn)A與上頂點(diǎn)重合，在△ABFcos∠BA在△AF1F解得：ca所以橢圓離心率為55故答案為：A

【分析】對(duì)3IB+4IA+5IF2=0變形得到38IB9．【答案】B,D【解析】【解答】解：A、由圖可知，30名選手得分的中位數(shù)為第15個(gè)數(shù)和第16個(gè)數(shù)（分別是5和6）的平均數(shù)，即中位數(shù)m=5.B、由圖可知，5出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以眾數(shù)n=5，故B正確；CD、因?yàn)槠骄鶖?shù)x=130故答案為：BD.【分析】根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)和平均數(shù)相關(guān)概念直接計(jì)算求解即可.【解析】【解答】解：A、因?yàn)閏osx∈[?1，1]又因?yàn)閘og2110<B、函數(shù)y=sin2xcosC、函數(shù)y=cos2(x+π3)，令2(x+所以函數(shù)y=cos2(x+π3)D、因?yàn)閏os(?3)=所以角α的終邊在第三象限，即角α是第三象限角，故D正確．故答案為：ABC．【分析】利用立方差公式即可判斷A；利用二倍角公式化簡求周期即可判斷B；根據(jù)余弦函數(shù)的對(duì)稱性即可判斷C；根據(jù)角的范圍判定符號(hào)即可判斷D.【解析】【解答】解：A、易知拋物線的焦點(diǎn)F(2,0)，顯然直線設(shè)直線AB的方程為x=my+2，A(x1,所以P(?2,y1)，Q(?2,y2)，聯(lián)立直線和拋物線方程y2=8xx=my+2，消元整理可得y2?8my?16=0，

由韋達(dá)定理可得y1+y2=8m，y1B、因?yàn)閗PF=y所以kPF?kC、由拋物線定義知，|AF|=x1+2，線段AF即線段AF的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離是12|AF|，所以以線段AF為直徑的圓與D、|PQ|2|AF||BF|=(x1+2)(故答案為：BCD.【分析】設(shè)直線AB方程x=my+2，聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達(dá)定理及焦半徑公式計(jì)算即可判斷A；通過計(jì)算kPF?kQF即可判斷B；通過計(jì)算線段AF的中點(diǎn)到12．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)f(2x+1)為偶函數(shù)，所以f(?2x+1)=f(2x+1)，兩邊求導(dǎo)可得?2f'(?2x+1)=2f'(2x+1)，所以?f'(?2x+1)=由f'(x)=?f'(2?x)，令x=1因?yàn)楹瘮?shù)f'(x+2)為偶函數(shù)，所以f'(?x+2)=f'(x+2)所以函數(shù)f'(x)=?f'(2?x)=?因?yàn)閒'(x)=f'(4?x)，令x=1令x=2，得f'所以i=12023因?yàn)閒'(x+4)=f所以f'(4+x)=?f'(2?x)再證明：若函數(shù)f(x)連續(xù)可導(dǎo)，且導(dǎo)函數(shù)f'(x)圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱，則函數(shù)若導(dǎo)函數(shù)f'(x)圖象關(guān)于點(diǎn)(a,即f'(x)+f則F'(x)=f'(x)+又因F(a)=f(a)?f(2a?a)=0，所以F(x)=0.所以f(x)?f(2a?x)=0，即f(x)=f(2a?x)，所以函數(shù)f(x)得圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱.所以函數(shù)f'(x)關(guān)于點(diǎn)(3,0)對(duì)稱，可得故答案為：BCD.【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，由周期函數(shù)的定義求解即可判斷A；結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性求解即可判斷B；根據(jù)函數(shù)周期性的性質(zhì)求解即可判斷C；根據(jù)原函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的對(duì)稱性關(guān)系求解即可判斷D.13．【答案】3【解析】【解答】解：因?yàn)槎?xiàng)式(1?ax所以展開式共有7項(xiàng)，即n=6，令x=1，展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為(1?a)6所以a=3或a=?1（舍去），所以正數(shù)a的值為3.故答案為：3.【分析】根據(jù)題意，推出二項(xiàng)式(1?ax)n展開式共有7項(xiàng)，求得n=614．【答案】81【解析】【解答】解：因?yàn)閿?shù)列滿足anan+1=3則an+1an+2所以數(shù)列{an}同理，各個(gè)偶數(shù)項(xiàng)a2,a4,故答案為：81.【分析】由數(shù)列滿足anan+1=3n(n∈N*15．【答案】[【解析】【解答】解：由題意可得AB=(所以設(shè)|x其中θ,φ∈[0==3因?yàn)棣取蔥0,π2]，所以設(shè)t=sin(θ+=6因?yàn)棣铡蔥0,π2因此當(dāng)t=1且φ+arctan12t=d(A,B)當(dāng)t=22且φ=0或φ=π此時(shí)arctan12t=arctan所以d(A,B)綜上，A和B兩點(diǎn)之間的“直角距離”的取值范圍是[3故答案為：[3【分析】根據(jù)空間兩點(diǎn)間距離公式，結(jié)合三角代換法、輔助角公式、正弦型函數(shù)的最值性質(zhì)求解即可.16．【答案】(?1【解析】【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=sinx+ex?2(x<0)與g(x)=sinx+1即當(dāng)且僅當(dāng)m=x?12?e因?yàn)閥=e?x在(0,+∞)上單調(diào)遞減，所以由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知所以y=?12?e又因?yàn)閥=x在(0,+∞)上單調(diào)遞增，所以y=h(x)=x?1且當(dāng)x→+∞時(shí)，y=x?12?e?x→+∞，所以若m=x?故m的取值范圍是(?1,故答案為：(?1,【分析】由題意得方程f(?x)+g(x)=0在(0,+∞)上有解，即m=x?117．【答案】（1）解：因?yàn)閍n+1=2a所以an+1所以{an2所以an2（2）解：由（1）知，an所以Sn所以2S所以?=4+3×4?所以S【解析】【分析】本題考查等差數(shù)列的定義，錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和.（1）已知an+1=2an+6?2n，等式兩邊同時(shí)除以2n+1可得：an+1（2）由（1）知，an=(3n?1)?2n，可寫出Sn=2×2+5×218．【答案】（1）解：選①，2cosB?1=sinAcosB+cosAsinB?2cosBsinC=sin(A+B)?2cosBsinC=(1?2cosB)sinC，所以(1+sinC)(2cosB?1)=0．因?yàn)?+sinC≠0，所以2cosB?1=0，即cosB=1所以B=π選②．由(2a?c)cosB=bcosC及正弦定理得sinBcosC=(2sinA?sinC)cosB，所以2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sinA．因?yàn)锳，B∈(0，π)，所以所以cosB=1所以B=（2）解：如圖，點(diǎn)D滿足BD=2BC，則BC=CD，故BD=2a，又故AD即c2+4a2?9=2ac≥4ac?9故S△ABC=12acsinB≤【解析】【分析】（1）選①：利用兩角和的正弦公式化簡即可求得角B；

選②：根據(jù)已知條件，利用正弦定理和兩角和正弦公式求解即可；（2）由余弦定理和基本不等式求出ac≤919．【答案】（1）解：取PA的中點(diǎn)F，連結(jié)DF，EF又∵E為PB中點(diǎn)，所以EF//AB，且又∵DC//AB，且∴EF//DC，∴四邊形CDFE為平行四邊形，∴CE//DF，又∵CE?平面PAD，DF?平面∴CE//平面PAD（2）解：由題意，PA，AB，AD則P(0，0，則AP=(0，0設(shè)平面PAC的法向量為n1=(x，令x=1得，n1設(shè)平面EAC的法向量為n2=(x令x=1得，n2故|cosn1，解得a=1或a=4（舍），故E(記AE與平面ABCD所成的角為α，平面ABCD的法向量為AP=則sinα=|cosAE?AP|=|故tanα=1，即AE與平面ABCD所成角的正切值為1．【解析】【分析】（1）取PA的中點(diǎn)F，連結(jié)DF,EF；證明四邊形CDFE為平行四邊形，從而推出CE//DF，即可證明（2）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，以及平面PAC與平面EAC的法向量，結(jié)合題意得方程22×2+(a2?a)2=63，從而解出點(diǎn)E(0,120．【答案】（1）解：由題意知|B1B2|=2，則故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）解：由題意知如圖所示：

直線MN的斜率存在且不為0，設(shè)其方程為y=kx+2，聯(lián)立y=kx+2x24由Δ=(16k)2?4×(1+4設(shè)M(x1，y1)，則y1因?yàn)镺M?ON>0，所以x∴34<k2<4綜上，斜率范圍為(?2【解析】【分析】（1）由題意結(jié)合橢圓的性質(zhì)求得b、a的值，即可得橢圓方程；（2）根據(jù)題意，直線MN的斜率存在且不為0，設(shè)其方程為y=kx+2，聯(lián)立直線和橢圓方程，消元整理利用韋達(dá)定理及OM?ON>0坐標(biāo)表示得到關(guān)于k21．【答案】（1）解：a，記事件A=“a被分至甲隊(duì)”，事件B=“b被分至甲隊(duì)”，事件C=“c被分至甲隊(duì)”，當(dāng)a即將摸球時(shí)，箱中有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球，則a被分至甲隊(duì)即a摸出紅球的概率為P(當(dāng)a被分至甲隊(duì)時(shí)，箱中有2個(gè)紅球和3個(gè)黑球，則b被分至甲隊(duì)即b摸出紅球的概率為P(當(dāng)a，b均被分至甲隊(duì)時(shí)，箱中有2個(gè)紅球和4個(gè)黑球，則c被分至甲隊(duì)即c摸出紅球的概率為所以P(AB)同理知：新增登山愛好者a，b，所以a，b，（2）解：由題設(shè)，X可能取值為4，X=4為新增的4名登山愛好者被分至同一隊(duì)，則P(X=2為新增的4名登山愛好者中有3名均被分至同一隊(duì)，其余1名被分至另一隊(duì)，設(shè)新增的第k(P1=P(P3=P(所以