2024-2025學(xué)年內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市高二上學(xué)期第三次階段性測(cè)試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市高二上學(xué)期第三次階段性測(cè)試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．2．如圖，在四面體OABC中，，，.點(diǎn)M在OA上，且，為BC中點(diǎn)，則等于（

）

A． B．C． D．3．“”是“直線與直線垂直”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．平面的一個(gè)法向量為，點(diǎn)在平面內(nèi)，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C．1 D．5．已知橢圓E：的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．6．圓上有且僅有兩點(diǎn)到直線的距離為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．7．已知、分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，過的直線與雙曲線左支交于，兩點(diǎn)，且，以為圓心，為半徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．8．如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)在線段（不含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是（

）①的外接球表面積為；②異面直線與所成角的取值范圍是；③直線平面；④三棱錐的體積隨著點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而變化.A．①② B．①③ C．②③ D．③④二、多選題（本大題共3小題）9．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與交于，兩點(diǎn)，為的準(zhǔn)線，則（

）.A． B．C．以為直徑的圓與相離 D．為等腰三角形10．以下四個(gè)命題為真命題的是（

）A．過點(diǎn)且在軸上的截距是在軸上截距的4倍的直線的方程為B．直線的傾斜角的范圍是C．直線與直線之間的距離是D．方程表示雙曲線，則的取值范圍是或11．已知橢圓，，分別為它的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)，分別為它的左右頂點(diǎn)，已知定點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的有（

）A．直線與直線斜率乘積為定值B．存在點(diǎn)，使得C．有最小值D．的范圍為三、填空題（本大題共3小題）12．唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句是說“百日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使路線最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在的位置為，若將軍從山腳下的點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在的直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為.13．已知橢圓與雙曲線有共同的焦點(diǎn)，，點(diǎn)為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，那么的最小值為.14．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則面積的最大值為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知圓，直線.(1)求證：直線恒過定點(diǎn)；(2)直線被圓截得的弦何時(shí)最長？何時(shí)最短？并求截得的弦長最短時(shí)的值以及最短弦長.16．已知橢圓E：，若橢圓焦距為4，點(diǎn)在橢圓上，焦點(diǎn)，且面積最大值為4，過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn).(1)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)若直線與軸不垂直，在軸上是否存在點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說明理由.17．已知是拋物線：的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，且.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若、是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：直線過定點(diǎn).18．平面上兩個(gè)等腰直角和，既是的斜邊又是的直角邊，沿邊折疊使得平面平面，為斜邊的中點(diǎn).(1)求證.(2)求與平面所成角的正弦值.(3)在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.19．在平面直角坐標(biāo)系中，有點(diǎn)Px1,y1、Qx2,y2．若以軸為折痕，將直角坐標(biāo)平面折疊成互相垂直的兩個(gè)半平面（如圖所示），則稱此時(shí)點(diǎn)

(1)若點(diǎn)、、在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為、、，求證：，；(2)若點(diǎn)、在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為、Px,y，試用文字描述滿足的點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中的軌跡是什么，并求該軌跡與軸圍成的圖形的面積；(3)若在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，過點(diǎn)的兩條直線、分別交橢圓于、兩點(diǎn)，且其斜率滿足，求的最大值．

答案1．【正確答案】C【詳解】由，即，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：C.2．【正確答案】B【分析】連接，根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算計(jì)算求解.【詳解】連接，是的中點(diǎn)，，，.故選：B

3．【正確答案】A【詳解】由得，，解得，所以“”是“直線與直線垂直”的充分不必要條件.故選：A.4．【正確答案】A【詳解】由題意得，，∴點(diǎn)到平面的距離.故選：A.5．【正確答案】C【詳解】設(shè)點(diǎn)、，則的中點(diǎn)為，則，可得.若直線軸，則線段的中點(diǎn)在軸上，不合題意；故直線的斜率存在，且，由于A、兩點(diǎn)都在橢圓上，則，兩式相減得，即，因?yàn)樵谥本€AB上，故，故，即，所以，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C.6．【正確答案】D【詳解】由題意可知：圓的圓心為，半徑，且圓心到直線的距離，若圓上有且僅有兩點(diǎn)到直線的距離為，則，即，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D．7．【正確答案】D【詳解】如圖所示，連結(jié)，易知以為圓心，為半徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，則為圓的直徑，所以，不妨設(shè)，則，由雙曲線的定義可得，，所以，即，整理得，①在中，，在中，，因?yàn)?，可得，②?lián)立①②可得，，則雙曲線的離心率故選：D8．【正確答案】C【分析】根據(jù)正方體棱長可知其外接球半徑為,其表面積為，可判斷①錯(cuò)誤；建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角的余弦值可求得②正確，求出平面的法向量為，可知，即③正確，易知點(diǎn)到平面的距離是定值，利用等體積法可知三棱錐的體積為定值，即④錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于①，根據(jù)題意，設(shè)棱長為2的正方體外接球半徑為,則滿足，可得，此時(shí)外接球的表面積為，可知①錯(cuò)誤；對(duì)于②，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則，所以，設(shè)，其中；可得，異面直線與所成角的余弦值為，易知時(shí)，，可得，所以異面直線與所成角的取值范圍是，即②正確；對(duì)于③，由②可知，，則；設(shè)平面的法向量為，又，則，取，則；所以平面的法向量為，此時(shí)，可得，又平面，所以直線平面，即③正確；對(duì)于④，根據(jù)正方體性質(zhì)平面，所以，易知直線到平面的距離是定值，底面的面積為定值，所以三棱錐的體積為定值，因此三棱錐的體積不會(huì)隨點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而變化，即④錯(cuò)誤；綜上所述，正確的結(jié)論為②③.故選：C方法點(diǎn)睛：求解異面直線所成角的方法：（1）平移法：將兩異面直線通過平移作出其平面角，再利用余弦定理取得余弦值；（2）向量法：建立空間直角坐標(biāo)系利用空間向量所成的角與異面直線所成的角的關(guān)系，求得兩向量夾角的余弦值.9．【正確答案】BC【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：由直線，可得當(dāng)時(shí)，，所以拋物線的焦點(diǎn)為，所以，解得，所以拋物線，所以準(zhǔn)線為,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：由,可得，解得或,所以，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：由上述分析可知，所以的中點(diǎn)，其到準(zhǔn)線的距離為,所以以為直徑的圓與相切，與相離，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：,,而，所以不是等腰三角形.故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BC.

10．【正確答案】BD【詳解】對(duì)于A，當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，方程為，當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)方程為，則，解得，所以直線方程為，綜上，所求直線方程為或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，直線的斜率，所以傾斜角的范圍是，故B正確；對(duì)于C，直線，即為，故直線與直線之間的距離為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由方程表示雙曲線，則，解得或，故D正確.故選：BD.11．【正確答案】ACD【詳解】對(duì)于A，由橢圓，可得，則，設(shè)，則，可得，所以，故A正確；對(duì)于B，設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為C，由，可得，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由橢圓的定義，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，即有最小值，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，則點(diǎn)Q在橢圓外，由如圖所示，設(shè)直線與橢圓相交于，又，則，因?yàn)?，且，可得，即，所以，所以，故D正確.故選：ACD.12．【正確答案】【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得：，即，“將軍飲馬”的最短總路程為.故答案為.13．【正確答案】【詳解】設(shè)兩曲線的半焦距為，由余弦定理得：，在橢圓中，，又，，，則，即，在雙曲線中，，又，，，則，即，從而，得，0則，，即，則，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，即的最小值為.故答案為.14．【正確答案】/【詳解】設(shè)，由得，化簡，整理得，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為：，的面積,當(dāng)點(diǎn)到軸距離=時(shí)，為最大值.故答案為.15．【正確答案】(1)證明見解析(2)當(dāng)過圓心時(shí)弦長最長；當(dāng)?shù)姆匠虨闀r(shí)最短；；最短弦長為【詳解】（1）直線的方程可化為聯(lián)立，解得故直線恒過定點(diǎn)（2）當(dāng)直線過圓心時(shí)，直線被圓截得的弦長最長設(shè)，當(dāng)直線時(shí)，直線被圓截得的弦長最短則直線的斜率為由得直線的斜率為，解得此時(shí)的方程為，即圓心到直線的距離為∴最短弦長故當(dāng)過圓心時(shí)弦長最長；當(dāng)?shù)姆匠虨闀r(shí)最短；；最短弦長為16．【正確答案】(1)(2)存在【詳解】（1）由題意，得，解得，所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）假設(shè)存在點(diǎn)滿足條件，設(shè)直線的方程為，設(shè)Ax1,y聯(lián)立，得，易知,則，，由，得，則，即，即，即整理得則整理得，解得，所以存在點(diǎn)，使得.17．【正確答案】（1）;（2）證明見解析【詳解】（1）由題意得,,解得,因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上,則,解得,又,所以,即拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè),,因?yàn)?所以,即得,因?yàn)辄c(diǎn)、在拋物線上,所以,,代入得,因?yàn)?則,設(shè)直線的方程為,聯(lián)立,得,則,所以,所以直線的方程為，過定點(diǎn).18．【正確答案】(1)證明見解析；(2)；(3)存在，.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，如圖，又為的中點(diǎn)，，由，則，又為等腰直角三角形，，,，又，平面，平面，又平面，（2）由（1）知，，又平面平面，是交線，平面，所以平面，即兩兩互相垂直，故以為原點(diǎn)，為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)，則，，，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，令，即，設(shè)與平面所成角為，，即與平面所成角的正弦值為.（3）若存在N使得平面平面，且，，則，解得，又，則，，設(shè)是平面CNM的一個(gè)法向量，則，令b=l，則，，解得，故存在N使得平面平面，此時(shí).19．【正確答案】(1)證明見解析(2)點(diǎn)所在軌跡是半圓：與四分之三圓：的組合曲線；(3)【詳解】（1）建立如圖1所示的空間直角坐標(biāo)系，

其中為坐標(biāo)原點(diǎn)、軸、軸正方向與原平面中一致，軸正方向與折疊后的軸正方向一致．由題，空間中三點(diǎn)坐標(biāo)分別為、、．因此（2）由題意，空間中點(diǎn)的坐標(biāo)為，（i）當(dāng)點(diǎn)在軸上半平面，即時(shí)，空間中點(diǎn)的坐標(biāo)為，于是．化簡得．因此在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在軸上半平面的軌跡為以為圓心，以1為半徑的圓；（ii）當(dāng)點(diǎn)在軸下半平面．即時(shí)，空間中點(diǎn)的坐標(biāo)為，于是，化簡得．因此在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在軸下半平面的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓.所以，點(diǎn)所在軌跡是半圓：與四分之三圓：的組合曲線,（如圖2）.其與軸圍成的面積為．

（3）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)、兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為、．設(shè)直線的方程為，即，因?yàn)?，所以直線的方程為．由于與、兩點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中的相對(duì)位置有關(guān)，而點(diǎn)的位置與兩直線的斜率有關(guān)．因此首先需要對(duì)、兩點(diǎn)可能的位置進(jìn)行討論，并求出相應(yīng)的的范圍．由于兩直線具有對(duì)稱性，此點(diǎn)位置與點(diǎn)位置等價(jià)，所以不妨設(shè)．因?yàn)闀r(shí)，、兩點(diǎn)重合，與題目中交于兩點(diǎn)不符，舍去．當(dāng)直線與橢圓相切時(shí)，計(jì)算此時(shí)的斜率，聯(lián)立，整理得：①，令，解得．因此若使、兩點(diǎn)存在，需成立．