2024-2025學(xué)年山東省高三上學(xué)期12月數(shù)學(xué)階段性檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年山東省高三上學(xué)期12月數(shù)學(xué)階段性檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．若集合，則（

）A． B．C． D．2．若，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．函數(shù)在上的最小值為（

）A．0 B．1 C． D．4．函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．5．已知數(shù)列滿足：為正整數(shù)，，若，則所有可能的取值的集合為（

）A． B． C． D．6．已知，則的最小值為（

）A．1 B． C．2 D．7．已知，若函數(shù)在上有且只有兩個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．祖暅，字景爍，祖沖之之子，南北朝時(shí)代的偉大科學(xué)家.祖暅在數(shù)學(xué)上有突出的貢獻(xiàn)，他在實(shí)踐的基礎(chǔ)上，提出了祖暅原理：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.已知雙曲線，若直線與在第一象限內(nèi)與雙曲線圍成如圖陰影部分所示的圖形，則該圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積為（

）

A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．設(shè)，若，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．10．設(shè)為復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若為虛數(shù)，則也為虛數(shù)B．C．若，則的最大值為D．11．已知函數(shù)的定義域?yàn)榈膱D象關(guān)于對稱，且為奇函數(shù)，則（

）A． B．C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．若，則.13．在等腰直角中，已知，若滿足與交于點(diǎn)，則在上的投影向量的模為.14．已知函數(shù)，若對任意的，且，都有成立，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是.四、解答題（本大題共5小題）15．已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，且.(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)證明.16．記的內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，已知.(1)求；(2)是上的點(diǎn)，平分，且，，求的面積.17．如圖，已知等腰梯形分別為的中點(diǎn)，沿線段將四邊形翻折到四邊形的位置，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，且滿足.(1)證明：平面；(2)設(shè)二面角的平面角為，在四邊形翻折過程中，是否存在，使得與平面所成角的正弦值為，若存在，請說明理由.18．已知函數(shù).(1)若曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行，求的值；(2)設(shè)函數(shù)，給出的定義域，并證明：曲線是軸對稱圖形；(3)證明.19．對于一個(gè)元正整數(shù)集，如果它能劃分成個(gè)不相交的二元子集的并集，即，且存在，使得，則稱這個(gè)偶數(shù)為可分?jǐn)?shù).例如，由于二元子集滿足，則稱2為可分?jǐn)?shù).(1)判斷4和6是否為可分?jǐn)?shù)，并說明理由；(2)求小于81的最大可分?jǐn)?shù)；(3)記小于的可分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)為，令，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，證明.

答案1．【正確答案】B【詳解】依題意，.故選：B2．【正確答案】A【詳解】，解得：或，所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A3．【正確答案】B【詳解】由，求導(dǎo)可得，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.所以.故選：B.4．【正確答案】C【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，，函數(shù)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，排除BD；而，排除選項(xiàng)A，選項(xiàng)C符合題意.故選：C5．【正確答案】C【詳解】依題意，是正整數(shù)，當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，，無解；當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，，解得；當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，，解得，顯然不可能為奇數(shù)，否則為偶數(shù)，因此為偶數(shù)，，解得；當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，，解得，若為奇數(shù)，則，無解，若為偶數(shù)，則，解得，所以所有可能的取值的集合為.故選：C6．【正確答案】D【詳解】令，則，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)，即時(shí)，取得最小值.故選：D7．【正確答案】A【詳解】由函數(shù)，則求導(dǎo)可得，令，解得，化簡可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，由題意可得，，，，解得.故選：A.8．【正確答案】D【詳解】雙曲線在第一、三象限的漸近線，過點(diǎn)作軸于，交直線于點(diǎn)，在線段上任取點(diǎn)，作軸于，交雙曲線及直線分別于點(diǎn)，依題意，點(diǎn)，令點(diǎn)，，則，點(diǎn)繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得同心圓面積分別為，對應(yīng)圓環(huán)面積為定值，由祖暅原理知，平面封閉圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積等于底面半徑為1，高為3的圓柱的體積，則，所求體積的幾何體可視為矩形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱體積減去，再減去繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得圓錐體積，而，，所以所求的體積為.故選：D

9．【正確答案】BC【詳解】由，可得，對于A，由于，所以，A錯(cuò)誤；對于B，由于，所以，B正確；對于C，由于，所以，則，C正確；對于D，由于，所以，,故D錯(cuò)誤.故選：BC10．【正確答案】ABD【詳解】對于A，因?yàn)闉樘摂?shù)，為實(shí)數(shù)，所以為虛數(shù)，所以也為虛數(shù)，所以A正確；對于B，設(shè)，則，，所以，，所以，所以B正確，對于C，當(dāng)時(shí)，滿足，此時(shí)，所以C錯(cuò)誤；對于D，設(shè)對應(yīng)的向量分別為，則由向量三角不等式得，所以恒成立，所以D正確，故選：ABD11．【正確答案】BC【詳解】對于A，由為奇函數(shù)，得，則，由的圖象關(guān)于對稱，，因此，A錯(cuò)誤；對于C，點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)是，由的圖象關(guān)于對稱，得點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，，C正確；對于B，由為奇函數(shù)，得，則，于是，即點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，因此，即，B正確；對于D，由，得，而，則，因此，D錯(cuò)誤.故選：BC12．【正確答案】33/【詳解】由，得.故13．【正確答案】3【詳解】依題意，以點(diǎn)為原點(diǎn)，射線分別為軸非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，

則，由，得，由點(diǎn)在上，設(shè)，則點(diǎn)，于是，而，由點(diǎn)在上，得，因此，解得，點(diǎn)，，又所以在上的投影向量的模為.故314．【正確答案】【詳解】令，求導(dǎo)可得，令，令，求導(dǎo)可得，令，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增.所以，即，由題意可得函數(shù)單調(diào)遞增，則，由，則，解得.故答案為.15．【正確答案】(1)證明見詳解，，(2)證明見詳解【詳解】（1）由題意得，，因?yàn)?，所以，又，因此，?shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列；則，所以，.（2）由（1）得：，所以.16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，所以，，在中，，所以，，因?yàn)椤?，所以，，，?（2）由題意可得，所以，，即，所以，，因?yàn)椋捎嘞叶ɡ砜傻?，即，整理可得，因?yàn)?，解得，因此，的面積為.17．【正確答案】(1)證明見解析(2)存在，理由見解析【詳解】（1）在線段取一點(diǎn)，使得，因?yàn)?，所以，且，因?yàn)椋?，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，由于平面，平面，所以平?（2）存在，理由如下：因?yàn)榈妊菪畏謩e是的中點(diǎn)，所以平面，所以平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由題意知，，，所以，，設(shè)，因?yàn)椋?，解得，所以，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，設(shè)與平面所成角為，則，解得，因?yàn)?，所?18．【正確答案】(1)(2)函數(shù)的定義域?yàn)?，證明見解析(3)證明見解析【詳解】（1）因?yàn)?，則，由題意可知，，解得.（2），對于函數(shù)，有，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?，對于函?shù)，則，可得，解得或，所以，函數(shù)的定義域?yàn)?，故該定義域關(guān)于直線對稱，因?yàn)?，故函?shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以曲線是軸對稱圖形.（3）當(dāng)時(shí)，，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上為增函數(shù)，此時(shí)，，即，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，此時(shí)，，取，可得，于是，即，所以，，故.19．【正確答案】(1)不是可分?jǐn)?shù)；是可分?jǐn)?shù)(2)(3)證明見解析【詳解】（1）令，①，；②，；③，，綜上所述，不是可分?jǐn)?shù)，令，，由，，則是可分?jǐn)?shù).（2）由，且，則令，由，且，則是小于最大的可分?jǐn)?shù).（3）設(shè)偶數(shù)為可分?jǐn)?shù)，則存在使得，由可知二元子集中兩元素和的最大值為，于是集合中所有大于等于的整數(shù)所在二元子集中兩元素之和均為，于是必定與在同一個(gè)二元子集中，必定與在同一個(gè)二元子集中，必定與在同一個(gè)二元子集中，若，由可知不屬