備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學大一輪數(shù)學(人教A版理)-第七章-§7-1-不等關系與不等式

§7.1不等關系與不

等式第七章不等式、推理與證明1.掌握等式性質.2.會比較兩個數(shù)的大小.3.理解不等式的性質，并能簡單應用.考試要求

內容索引第一部分第二部分第三部分落實主干知識探究核心題型課時精練落實主干知識第一部分1.兩個實數(shù)比較大小的方法>＝<2.等式的性質性質1對稱性：如果a＝b，那么

；性質2傳遞性：如果a＝b，b＝c，那么

；性質3可加(減)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；性質4可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；性質5可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝

.b＝aa＝c3.不等式的性質性質1對稱性：a>b?

；性質2傳遞性：a>b，b>c?

；性質3可加性：a>b?a＋c>b＋c；性質4可乘性：a>b，c>0?

；a>b，c<0?

；性質5同向可加性：a>b，c>d?

；性質6同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0?

；性質7同正可乘方性：a>b>0?an>bn(n∈N，n≥1).性質8同正可開方性：a>b>0?(n∈N，n≥2).b<aa>cac>bcac<bca＋c>b＋dac>bd判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)兩個實數(shù)a，b之間，有且只有a>b，a＝b，a<b三種關系中的一種.(

)(2)若

>1，則b>a.(

)(3)若x>y，則x2>y2.(

)(4)若

，則b<a.(

)√×××1.如果ac>bc，那么下列不等式中，一定成立的是A.ac2>bc2

B.a>bC.a＋c>b＋c

√若c<0，則a<b，所以ac2<bc2，a＋c<b＋c，A，B，C均錯；2.已知M＝x2－3x，N＝－3x2＋x－3，則M，N的大小關系是________.M>N∵M－N＝(x2－3x)－(－3x2＋x－3)＝4x2－4x＋3＝(2x－1)2＋2>0，∴M>N.3.若1<a<2,2<b<3，則

的取值范圍是________.由2<b<3，又1<a<2，第二部分探究核心題型例1

(1)已知p∈R，M＝(2p＋1)(p－3)，N＝(p－6)(p＋3)＋10，則M，N的大小關系為A.M<N

B.M>NC.M≤N

D.M≥N題型一數(shù)(式)的大小比較√因為M－N＝(2p＋1)(p－3)－[(p－6)(p＋3)＋10]＝p2－2p＋5＝(p－1)2＋4>0，所以M>N.(2)若a>b>1，P＝aeb，Q＝bea，則P，Q的大小關系是A.P>Q

B.P＝QC.P<Q

D.不能確定√比較大小的常用方法(1)作差法：①作差；②變形；③定號；④得出結論.(2)作商法：①作商；②變形；③判斷商與1的大小關系；④得出結論.(3)構造函數(shù)，利用函數(shù)的單調性比較大小.思維升華跟蹤訓練1

(1)已知a，b為不相等的實數(shù)，記M＝a2－ab，N＝ab－b2，則M與N的大小關系為A.M>N

B.M＝NC.M<N

D.不確定√因為M－N＝(a2－ab)－(ab－b2)＝(a－b)2，又a≠b，所以(a－b)2>0，即M>N.M>N∴M>N.顯然f(x)是R上的減函數(shù)，∴f(2021)>f(2022)，即M>N.例2

(1)已知a>b>c>0，下列結論正確的是A.2a<b＋c

B.a(b－c)>b(a－c)C.

D.(a－c)3>(b－c)3題型二不等式的性質√∵a>b>c>0，∴2a>b＋c，故A錯誤；取a＝3>b＝2>c＝1>0，則a(b－c)＝3<b(a－c)＝4，故B錯誤；由a>b>c>0可知，a－c>b－c>0，(2)若<0，則下列不等式正確的是______.(填序號)①③①中，因為b<a<0，所以a＋b<0，ab>0，②中，因為b<a<0，所以－b>－a>0.故－b>|a|，即|a|＋b<0，故②錯誤；④中，因為b<a<0，根據(jù)y＝x2在(－∞，0)上單調遞減，可得b2>a2>0，而y＝lnx在定義域(0，＋∞)上單調遞增，所以lnb2>lna2，故④錯誤.判斷不等式的常用方法(1)利用不等式的性質逐個驗證.(2)利用特殊值法排除錯誤選項.(3)作差法.(4)構造函數(shù)，利用函數(shù)的單調性.跟蹤訓練2

(1)十六世紀中葉，英國數(shù)學家雷科德在《礪智石》一書中首先把“＝”作為等號使用，后來英國數(shù)學家哈利奧特首次使用“<”和“>”符號，并逐步被數(shù)學界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠.若a，b，c∈R，則下列命題正確的是A.若a>b，則ac2>bc2B.若

，則a<bC.若a<b<c<0，則

D.若a>b，則a2>b2√對于A選項，當c＝0時不滿足，故錯誤；對于B選項，由不等式性質知，

兩邊同時乘以c2>0，可得a>b，故錯誤；對于D選項，取a＝－1，b＝－2，可得a2<b2，故錯誤.(2)已知a<b<0<c，下列不等式正確的是A.

B.a2<c2C.2a<2c

D.logc(－a)<logc(－b)√當a＝－2，c＝1時，a2<c2不成立，故B錯誤；由a<0<c，得0<2a<1<2c，故C正確；由a<b<0，得－a>－b>0，當c>1時，有l(wèi)ogc(－a)>logc(－b)，故D錯誤.例3

(1)已知－1<x<4,2<y<3，則x－y的取值范圍是_______，3x＋2y的取值范圍是_______.題型三不等式性質的綜合應用(－4,2)(1,18)∵－1<x<4,2<y<3，∴－3<－y<－2，∴－4<x－y<2.由－1<x<4,2<y<3，得－3<3x<12,4<2y<6，∴1<3x＋2y<18.延伸探究若將本例(1)中條件改為－1<x＋y<4,2<x－y<3，求3x＋2y的取值范圍.設3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，又∵－1<x＋y<4,2<x－y<3，(2)已知3<a<8,4<b<9，則

的取值范圍是________.又3<a<8，求代數(shù)式的取值范圍，一般是利用整體思想，通過“一次性”不等關系的運算求得整體范圍.跟蹤訓練3

(1)已知1≤a≤2，－1≤b≤4，則a－2b的取值范圍是A.[－7,4] B.[－6,9] C.[6,9] D.[－2,8]√因為－1≤b≤4，所以－8≤－2b≤2，由1≤a≤2，得－7≤a－2b≤4.(2)已知實數(shù)a，b，c，滿足a>b>c，且a＋b＋c＝0，那么

的取值范圍是____________.由于a>b>c，且a＋b＋c＝0，課時精練第三部分1.(2023·長春模擬)已知a>0，b>0，

，則M與N的大小關系為A.M>NB.M<NC.M≤ND.M，N大小關系不確定12345678910111213141516基礎保分練√M2－N2＝(a＋b)－(a＋b＋2)∴M<N.2.已知a，b∈R，若a>b，

同時成立，則A.ab>0 B.ab<0C.a＋b>0 D.a＋b<012345678910111213141516√又a>b，所以b－a<0，所以ab>0.3.已知－3<a<－2,3<b<4，則

的取值范圍為12345678910111213141516√因為－3<a<－2，所以a2∈(4,9)，123456789101112131415164.(2023·汕頭模擬)已知a，b，c滿足c<a<b，且ac<0，那么下列各式中一定成立的是A.ac(a－c)>0 B.c(b－a)>0C.cb2<ab2

D.ab<ac√因為a，b，c滿足c<a<b，且ac<0，所以c<0，a>0，b>0，a－c>0，b－a>0，所以ac(a－c)<0，c(b－a)<0，cb2<ab2，ab>ac.123456789101112131415165.設a，b，c，d為實數(shù)，且a>b>0>c>d，則下列不等式正確的有A.c2>cd

B.a－c<b－dC.ac<bd

D.√12345678910111213141516對于A，因為0>c>d，由不等式的性質可得c2<cd，故選項A錯誤；對于B，取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，則a－c＝3，b－d＝3，ac＝－2，bd＝－2，所以a－c＝b－d，ac＝bd，故選項B，C錯誤；對于D，因為a>b>0，d<c<0，則ad<bc，123456789101112131415166.若－π<α<β<π，則α－β的取值范圍是A.－2π<α－β<2π B.0<α－β<2πC.－2π<α－β<0 D.{0}√∵－π<β<π，∴－π<－β<π，又－π<α<π，∴－2π<α－β<2π，又α<β，∴α－β<0，∴－2π<α－β<0.7.已知x，y∈R，且x>y>0，則A.cosx－cosy>0B.cosx＋cosy>0C.lnx－lny>0D.lnx＋lny>012345678910111213141516√12345678910111213141516對于A，y＝cosx在(0，＋∞)上不是單調函數(shù)，故cosx－cosy>0不一定成立，A錯誤；對于B，當x＝π，y＝

時，cosx＋cosy＝－1<0，B不一定成立；對于C，y＝lnx在(0，＋∞)上為增函數(shù)，若x>y>0，則lnx>lny，必有l(wèi)nx－lny>0，C正確；對于D，當x＝1，y＝

時，lnx＋lny＝ln<0，D不一定成立.8.若0<a<1，b>c>1，則12345678910111213141516C.ca－1<ba－1

D.logca<logba√12345678910111213141516故選項A錯誤；則bc－ab>bc－ac，即a(c－b)>0，這與0<a<1，b>c>1矛盾，故選項B錯誤；對于C，∵0<a<1，∴a－1<0.∵b>c>1，∴ca－1>ba－1，故選項C錯誤；12345678910111213141516對于D，∵0<a<1，b>c>1，∴l(xiāng)ogca<logba，故選項D正確.9.已知M＝x2＋y2＋z2，N＝2x＋2y＋2z－π，則M_____N.(填“>”“<”或“＝”)12345678910111213141516>M－N＝x2＋y2＋z2－2x－2y－2z＋π＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3≥π－3>0，故M>N.10.能夠說明“設a，b，c是任意實數(shù).若a2>b2>c2，則a＋b>c”是假命題的一組整數(shù)a，b，c的值依次為________________________.12345678910111213141516－3，－1,0(答案不唯一)令a＝－3，b＝－1，c＝0，則a2>b2>c2，此時a＋b＝－4<0，所以a＋b>c是假命題.11.若1<α<3，－4<β<2，則2α＋|β|的取值范圍是________.12345678910111213141516(2,10)∵－4<β<2，∴0≤|β|<4，又1<α<3，∴2<2α<6，∴2<2α＋|β|<10.12.eπ·πe與ee·ππ的大小關系為__________.12345678910111213141516eπ·πe<ee·ππ13.(2022·沈陽模擬)已知非零實數(shù)a，b滿足a>|b|＋1，則下列不等關系不一定成立的是A.a2>b2＋1 B.2a>2b＋1C.a2>4b

D.>b＋112345678910111213141516綜合提升練√12345678910111213141516對于非零實數(shù)a，b滿足a>|b|＋1，則a2>(|b|＋1)2，即a2>b2＋2|b|＋1>b2＋1，故A一定成立；因為a>|b|＋1≥b＋1?2a>2b＋1，故B一定成立；又(|b|－1)2≥0，即b2＋1≥2|b|，所以a2>4|b|≥4b，故C一定成立；令a＝5，b＝3，滿足a>|b|＋1，14.實數(shù)a，b，c，d滿足下列三個條件：①d>c；②a＋b＝c＋d；③a＋d<b＋c.那么a，b，c，d的大小關系是____________.12345678910111213141516b>d>c>a由題意知d>c①，由②＋③得2a＋b＋d<2c＋b＋d，化簡得a<c④，由②式a＋b＝c＋d