第10講-5-2三維變換

2025/1/151第三節(jié)三維幾何及建模變換三維圖形的幾何變換及其矩陣表示平移變換旋轉(zhuǎn)變換縮放變換反射變換錯切變換物體在不同坐標系之間的建模變換2025/1/152三維代數(shù)空間定義基底：任意矢量：定理:三維空間中任意矢量可唯一地表示為其基底的線性組合2025/1/153三維幾何變換的代數(shù)表示2025/1/154三維幾何變換的矩陣表達式引入齊次坐標后可表示為：2025/1/155平移變換（1）2025/1/156平移變換（2）記為：其中三維平移變換矩陣：2025/1/157平移變換（3）點的平移圖形的平移2025/1/158縮放變換（1）相對于原點進行的縮放變換矩陣記為：2025/1/159縮放變換（2）相對于任意點的縮放設(shè)縮放參考點為：則分解為：平移、關(guān)于坐標原點的縮放以及逆平移變換2025/1/1510縮放變換（3）即：2025/1/1511縮放變換（4）2025/1/1512旋轉(zhuǎn)變換（1）由旋轉(zhuǎn)軸和旋轉(zhuǎn)角度確定二維旋轉(zhuǎn)變換是三維空間中繞Z軸的旋轉(zhuǎn)記為：XYZ2025/1/1513以X為軸的旋轉(zhuǎn)變換（1）可視作[x,y,z]坐標系變換為[y,z,x]坐標系,變換矩陣為：2025/1/1514以X為軸的旋轉(zhuǎn)變換（2）記為：YZX2025/1/1515以Y為軸的旋轉(zhuǎn)變換（1）可視作[x,y,z]坐標系變換為[z,x,y]坐標系，變換矩陣為：2025/1/1516以Y為軸的旋轉(zhuǎn)變換（2）記為：注：相反角度的旋轉(zhuǎn)實現(xiàn)其逆變換ZXY2025/1/1517繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換（1）旋轉(zhuǎn)軸不與坐標軸重合時變換的實現(xiàn)：經(jīng)復合變換使旋轉(zhuǎn)軸與坐標軸重合繞指定軸進行旋轉(zhuǎn)變換還原坐標系YZXP1P22025/1/1518繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換（2）（1）平移使P1與坐標原點重合不妨設(shè)P1P2為方向矢量，P2點為(a,b,c)2025/1/1519XYZOP1P2X′Y′Z′2025/1/1520XYZX′Y′Z′O繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換(3)（2）繞X軸旋轉(zhuǎn)使指定旋轉(zhuǎn)軸落在XZ面上2025/1/1521XYZX′Y′Z′O

2025/1/1522XYZX′Y′Z′O

2025/1/1523XYZX′Y′Z′O

2025/1/1524XYZX′Y′Z′O

2025/1/1525XYZX′Y′Z′O

2025/1/1526XYZX′Y′Z′O

2025/1/1527XYZX′Y′Z′O

此時P2點為(a,0,d)P22025/1/1528繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換（4）（3）繞Y軸旋轉(zhuǎn)使指定旋轉(zhuǎn)軸與Z軸重合XYZX′Y′Z′O

2025/1/1529XYZX′Y′Z′O2025/1/1530繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換（5）（4）繞Z軸即指定旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)指定角度2025/1/1531繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換（6）（5）坐標系還原上述變換的復合實現(xiàn)繞任意軸的旋轉(zhuǎn)：2025/1/1532對稱變換（1）是關(guān)于某個對稱軸或?qū)ΨQ平面進行的關(guān)于某個軸進行的反射變換等同于關(guān)于該軸做180度的旋轉(zhuǎn)變換例如：關(guān)于Z軸的對稱變換矩陣為：考慮：關(guān)于任意軸的對稱變換2025/1/1533對稱變換（2）當反射平面是坐標平面時，等同于進行左、右手坐標系的互換，相應(yīng)變換矩陣是把第三維坐標值取反例如：關(guān)于xy平面的反射變換矩陣為：2025/1/1534對稱變換（3）關(guān)于任意平面的反射可以分解為平移、旋轉(zhuǎn)（使得指定的反射平面與某坐標平面重合）關(guān)于坐標平面的反射逆變換2025/1/1535錯切變換依賴軸：對應(yīng)坐標保持不變方向軸：對應(yīng)坐標關(guān)于依賴軸坐標呈線性變化變換表達式分別是：2025/1/1536建模變換（1）實現(xiàn)兩個不同坐標系之間的轉(zhuǎn)換新坐標系定義方式如右圖所示：XYZX’Y’Z’2025/1/1537建模變換（2）可由線性代數(shù)方法得到建模變換公式：（即：新坐標系的坐標軸在舊坐標系下的表示矩陣的逆矩陣）當坐標系使用不同的縮放時，還需定義縮放補償。2025/1/1538建模變換的合成方法（3）可由以下變換復合得到同樣結(jié)果：平移：使兩坐標系原點重合繞X軸旋轉(zhuǎn)：使Z’軸落在XOZ面上；繞Y軸旋轉(zhuǎn)：使Z’軸與Z軸重疊；繞Z