第7章 振動學(xué)基礎(chǔ)

第七章振動學(xué)基礎(chǔ)◆本章學(xué)習(xí)目標(biāo)1．掌握最簡單的間諧振動的運動規(guī)律及能量分布特點；2．了解阻尼振動、受迫振動、共振現(xiàn)象；3．掌握振動的合成。◆本章教學(xué)內(nèi)容間諧振動；初始條件及諧振子能量；阻尼振動和受迫振動及共振、間諧振動的合成。◆本章教學(xué)重點1．間諧振動的振動方程及其特征；2．諧振子的能量特點；3．間諧振動的合成?！舯菊陆虒W(xué)難點1．間諧振動的矢量圖示法；2．阻尼振動、受迫振動、共振現(xiàn)象的運動特征；3．振動合成。

§7.1簡諧振動機(jī)械振動：物體在一平衡位置附近作周期性的往返。機(jī)械振動的動力學(xué)特征是：物體所受的回復(fù)力和物體所具有的慣性力交替作用。一、彈簧振子簡諧振動如圖7-1所示，一個物體和一個輕彈簧連接，置于光滑桿面上，彈簧另一段固定，把物體拉離平衡后釋放，由于受到彈簧彈性力的作用，物體就會做周期性的振動。由物體和彈簧構(gòu)成的這個振動系統(tǒng)，稱為彈簧振子。在垂直方向上，物體所受重力和桿所施的正壓力保持平衡。在水平方向上，桿光滑，摩擦力可以忽略，物體僅受彈簧彈性力的作用，大小正比于彈簧離開平衡位置的距離，方向總指向平衡點。圖7-1彈簧振子做間諧振動示意圖在線性回復(fù)力作用下，質(zhì)點在平衡位置附近做周期性的振動，稱為簡諧振動。彈簧振子是簡諧振動的理想模型。圖7-1彈簧振子做間諧振動示意圖二、振動方程1．振幅、周期和頻率振幅：在振動過程中，物體偏離平衡位置達(dá)到的最大距離。振動周期：從任何一點開始直到物體下一次又回到這一狀態(tài)（位置、速度、加速度相同）所用的時間。用T表示。頻率：單位時間振動的次數(shù)。有單位：赫茲（）或2．振動方程由牛頓第二定律推出簡諧振動的振動方程。在振動過程中物體所受的彈性力為為勁度系數(shù)，只與彈簧本身的材料有關(guān)，其標(biāo)量式為：設(shè)物體質(zhì)量為，由牛頓第二定律，可得令，代入上式（7-1）即物體的加速度與它離開平衡位置的位移成正比，方向與位移相反，這是簡諧振動的運動學(xué)方程，通常也把具有上式這種特征的振動稱為簡諧振動。，上式改寫為（7-2）（7-1）和（7-2）兩式是等同的，把（7-2）稱為簡諧振動的微分方程式，也可作為簡諧振動的定義式。求解微分方程（7-2）得， （7-3）和為待定常數(shù)。這就是簡諧振動的運動規(guī)律，稱為簡諧振動的表達(dá)式，簡稱振動方程。3．簡諧振動的速度和加速度把物體的振動方程對時間求導(dǎo)，得其速度隨時間的變化規(guī)律（7-4）對速度求導(dǎo)，得物體加速度（7-5）三、簡諧振動的矢量圖示法如圖7-2，長度為A的矢量A，繞O點以角速度逆時針勻速轉(zhuǎn)動。在時刻，矢量A位于點，和x軸的夾角等于初相位，在時刻t到達(dá)點，旋轉(zhuǎn)矢量A和x軸夾角為。把旋轉(zhuǎn)矢量A向x軸投影，則點在x軸上投影點P就在x軸上做簡諧運動。因為OP=，圖7-2間諧振動的矢量圖示圖7-2間諧振動的矢量圖示這正是簡諧振動方程式。質(zhì)點做簡諧振動的周期為又有可見、、三個量中，只有一個是獨立的。對于質(zhì)量為，勁度系數(shù)為的彈簧振子來說，由可得其振動周期為可見彈簧振子的振動周期只與系統(tǒng)本身的性質(zhì)有關(guān)，與它的初始狀態(tài)及振幅無關(guān)。

§7.2初始條件諧振子的能量一、初始條件對于給定的諧振子，其振動角頻率有確定的值，因而其振動周期，振動頻率就有確定的值。但其振幅，初相位必須有初始條件來決定。所謂初始條件，就是指初始時刻諧振子相對平衡位置的位移和初始速度。下面討論初始條件與振幅,初相位的關(guān)系在時，由（7-4）和（7-5）式得（7-6）（7-7）消去，振幅恒為正，則有（7-8）將上式代入（7-6）或（7-8）式有(7-9)二、簡諧振動的能量做簡諧振動的系統(tǒng)不僅有動能，而且有勢能。時刻彈簧振子的位移為，速度為，故時刻的動能為（7-10）取質(zhì)點在平衡點勢能為0，則彈性勢能為將代入上式得（7-11）故時刻系統(tǒng)的機(jī)械能（亦即振動能）為（7-12）即簡諧振動系統(tǒng)的機(jī)械能與振幅的平方成正比。在振動過程中，動能、勢能不斷相互轉(zhuǎn)化，其和恒定不變，服從機(jī)械能守恒定律?？傊我缓喼C振動都有三個不可缺少的物理量。由振動系統(tǒng)的力學(xué)性質(zhì)決定，由振動能量決定，由初始位置決定。當(dāng)已知時，和可由初始條件決定。

§7.3阻尼振動受迫振動共振一、阻尼振動簡諧振動是理想化的振動形式，作簡諧振動的系統(tǒng)在振動過程中所受的和外力為零，系統(tǒng)只受彈性內(nèi)力的作用，它是一種等幅振動。事實上，阻力不可避免，系統(tǒng)抵抗阻力做功，其總能量不斷減小，振幅總是在逐漸減小，直到最終為零，這種振動，稱為阻尼振動。實驗結(jié)果表明，阻力和成正比而方向相反。 稱為阻力系數(shù)，與物體的大小和周圍媒質(zhì)的性質(zhì)有關(guān)。設(shè)振動質(zhì)點質(zhì)量為，在彈性力和阻力的作用下運動，加速度為，根據(jù)牛頓第二定律得令（7-13）和都是恒量，稱為阻尼因數(shù)，表示無阻尼時的固有頻率，則（7-14）上式就是阻尼振動的運動微分方程。在阻尼比較?。ǎ缈諝庵姓駝拥膯螖[）的情況下，用數(shù)學(xué)方法可以求出（7-14）的解，即圖7-3阻尼振動中位移對時間曲線（7-15）圖7-3阻尼振動中位移對時間曲線上式中A和是待定常數(shù)，由初始條件決定；為阻尼振動的圓頻率。以為縱坐標(biāo)，以為橫坐標(biāo)，圖7-3畫出了（7-14）式阻尼振動中物體位移隨時間的變化規(guī)律，很明顯，振幅隨時間的流逝在不斷減小而趨向于零。從（7-15）式得因此阻尼振動的振幅以指數(shù)規(guī)律隨時間衰減，如果仍把位相變化所經(jīng)歷的時間叫做周期，則從（7-15）式可知阻尼振動的周期為由于存在，阻尼振動的周期要比無阻尼振動的周期大，可以說，由于有阻尼振動減慢了。二、受迫振動共振振動系統(tǒng)在周期性外力作用下發(fā)生的振動稱為受迫振動。這種周期性外力稱為強(qiáng)迫力。假設(shè)系統(tǒng)在x方向振動，考慮一種在x方向最簡單的周期性強(qiáng)迫力，為力幅，表示強(qiáng)迫力的最大值，強(qiáng)迫力的圓頻率，現(xiàn)在，系統(tǒng)受到彈性內(nèi)力，阻力，強(qiáng)迫力的作用，由牛頓第二定律，質(zhì)量為的質(zhì)點強(qiáng)迫振動的微分方成為：令，利用（7-13）式，則上式可簡化成（7-16）此式的解為（7-17）此解表示，受迫振動可以分成兩個部分：第一部分表示振動系統(tǒng)中的阻尼振動，因為阻尼振動以指數(shù)規(guī)律迅速衰減為零，所以，這一部分只在振動初期能夠表現(xiàn)出來；第二部分是穩(wěn)定的，只要強(qiáng)迫力繼續(xù)作用，系統(tǒng)就繼續(xù)做這個振動，其振幅和頻率就由它來決定，因而第二部分最重要。有一上分析知，受迫振動由一個從最初比較復(fù)雜的非穩(wěn)定到后來的穩(wěn)定震動過程，當(dāng)然，一旦強(qiáng)迫力取消，系統(tǒng)又回到阻尼振動的形式直到振動停止。穩(wěn)定的受迫振動是一個和簡諧振動同形的等幅振動，其振動頻率為強(qiáng)迫力的頻率，振幅A由下式?jīng)Q定 （7-18）圖7-4受迫振動振幅和外力頻率的關(guān)系可見，它與系統(tǒng)本身、阻尼力、強(qiáng)迫力三方面的因素有關(guān)，（7-17）式中的表示受迫振動的穩(wěn)定部分的初相位。圖7-4受迫振動振幅和外力頻率的關(guān)系如圖7-4，，受迫振動系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定振動時的振幅A，其它因素不變，將隨強(qiáng)迫力的頻率p變化，并且會有一個極大值，這時，系統(tǒng)發(fā)生了共振。一般情況下，使系統(tǒng)發(fā)生共振的強(qiáng)迫力頻率和系統(tǒng)的固有頻率很接近。

§7.4同方向簡諧振動的合成拍一、同方向同頻率的簡諧振動的合成設(shè)一質(zhì)點同時參與兩個振動方向都在軸的簡諧振動，這兩個簡諧振動的頻率相同，振幅和初相位分別是及，則它們各自引起質(zhì)點在軸上的位移為則質(zhì)點的合位移為上式可以寫成式中的和值分別為由此可見，兩個同方向、同頻率簡諧振動合成后還是一個簡諧振動，頻率保持不變，振幅和初相位由原來分振動的振幅和初相位決定。圖7-5兩同方向、同頻率間諧振動合成的旋轉(zhuǎn)矢量示意圖用旋轉(zhuǎn)矢量圖示法也可直觀的表示簡諧振動的合成，如圖所示，矢量以同一速度逆時針旋轉(zhuǎn)，它們在軸上的投影和分別表示兩個分振動，通過矢量合成后的合矢量也以角速度逆時針旋轉(zhuǎn)，該矢量在坐標(biāo)軸上的投影圖7-5兩同方向、同頻率間諧振動合成的旋轉(zhuǎn)矢量示意圖和可通過圖中幾何關(guān)系求解。特例：（1）兩分振動同相位，即即合振動的振幅等于兩分振動振幅之和。合振動達(dá)到最大。（2）兩分振動反相位，即合振幅等兩個分振幅之差，其值達(dá)到最小。營企業(yè)上述結(jié)果說明，兩個分振動的初相位差對合振動起著重要作用。二、同方向不同頻率的間諧振動的合成拍兩個同方向間諧振動在合成時，由于頻率的微小差別而造成的合振動振幅時而加強(qiáng)，時而減弱的現(xiàn)象稱為拍。合振動在單位時間內(nèi)加強(qiáng)或減弱的次數(shù)稱為拍頻。假設(shè)兩個分振動的頻率分別為

§7.5相互垂直的間諧振動的合成一、相互垂直的簡諧振動的合成設(shè)兩個同頻率間諧振動分別在X和Y軸上振動，振動的位移方程分別為消去，得到質(zhì)點運動的軌跡方程二、相互垂直的簡諧振動的幾種特殊情況1．兩間諧振動同相位，即，軌跡方程變?yōu)榇藭r，質(zhì)點的軌跡是一條過原點的直線，斜率等于兩個分振動振幅之比如圖7-6（a）。在任一時刻t，質(zhì)點離開平衡位移的位移所以，合振動也是間諧振動，角頻率和原來的相同，振幅為。2．兩間諧振動反相位，即，質(zhì)點在另一條直線上做振幅也為的間諧振動。如圖7-6（b）所示。3．，這時軌跡方程為如圖7-6（c）所示，箭頭表示質(zhì)點運動方向。4．，軌跡如圖7-6(d)所示，軌跡與上例相同，但質(zhì)點運動方向與之相反。圖7-6兩個相互垂直同頻率間諧振動的合成