湖北省部分市州2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期元月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 含解析

湖北省部分市州2025年元月高三期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷本試卷共4頁(yè)，19題.全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.★?？荚図樌镒⒁馐马?xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效．4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知命題，命題，則命題是命題的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指對(duì)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合充分，必要條件，即可判斷選項(xiàng).【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)和都是增函數(shù)，若命題成立，則，則，所以命題是命題的充分條件，反之，若命題成立，則，但當(dāng)是非正數(shù)時(shí)，不等式?jīng)]有意義，所以命題不是命題的必要條件，所以命題是命題充分不必要條件.故選：A2.已知單位向量滿足，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積公式，即可求解.【詳解】，所以，則.故選：C3.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則的值可以為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由純虛數(shù)的特征，即可列式求解.【詳解】由題意可知，，，得，根據(jù)選項(xiàng)可知，只有滿足條件.故選：C4.若隨機(jī)變量的分布列如下表，表中數(shù)列為等差數(shù)列，則的取值是（）34567A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)和等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由分布列的性質(zhì)可知，，再根據(jù)數(shù)列為等差數(shù)列，則，即，則.故選：D5.函數(shù)在處的切線與直線垂直，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出導(dǎo)數(shù)，，利用函數(shù)在處的切線與直線垂直，列出方程，即可求出實(shí)數(shù)的值．【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，在處的切線斜率為，又在處的切線與直線垂直，所以，解得.故選：B.6.已知拋物線為坐標(biāo)原點(diǎn)，是拋物線上任意一點(diǎn)，為焦點(diǎn)，且，則直線的斜率的最大值為（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】【分析】首先設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，再表示點(diǎn)的坐標(biāo)，并表示，利用基本不等式求最值.【詳解】設(shè)，，由可知，，直線斜率最大，則點(diǎn)是第一象限的點(diǎn)，即，所以，當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以直線斜率的最大值為1.故選：B7.正方體的棱長(zhǎng)為3，平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)滿足，當(dāng)三棱錐的體積取最大值時(shí)，該三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求點(diǎn)的軌跡方程，并確定三棱錐體積最大時(shí)的點(diǎn)的位置，再代入三棱錐外接球的半徑公式，即可求解.【詳解】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，，，，由可知，，整理為，所以點(diǎn)的軌跡是平面內(nèi)，以為圓心，2為半徑的圓，如下圖，點(diǎn)到平面的最大值為6，此時(shí)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且，所以平面，，等腰直角三角形的外接圓的半徑為，所以三棱錐的外接球的半徑，所以三棱錐外接球的表面積故選：C8.已知對(duì)恒成立，則的最小值為（）A.4 B.6 C. D.【答案】B【解析】【分析】首先分析函數(shù)在區(qū)間的零點(diǎn)和正負(fù)區(qū)間，再根據(jù)不等式分析函數(shù)的零點(diǎn)，利用韋達(dá)定理表示關(guān)系，再結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】當(dāng)，，則，當(dāng)，，當(dāng)，，，當(dāng)，，當(dāng)，，，若對(duì)恒成立，則，并且函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別是1和7，則，則，，，所以，當(dāng)，，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為6.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為分析兩個(gè)函數(shù)和的零點(diǎn).二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說(shuō)法中正確的是（）A.回歸直線恒過(guò)樣本中心點(diǎn)，且至少過(guò)一個(gè)樣本點(diǎn)B.用決定系數(shù)刻畫回歸效果時(shí)，越接近1，說(shuō)明模型的擬合效果越好C.將一組數(shù)據(jù)中每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上同一個(gè)正數(shù)后，標(biāo)準(zhǔn)差變大D.基于小概率值的檢驗(yàn)規(guī)則是：當(dāng)時(shí)，我們就推斷不成立，即認(rèn)為和不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)【答案】BD【解析】【分析】由回歸直線的性質(zhì)即可判斷A；利用相關(guān)指數(shù)的性質(zhì)即可判斷B；由標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)即可判斷C；由獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想即可判斷D.【詳解】A：回歸直線恒過(guò)樣本點(diǎn)的中心正確，但不一定會(huì)過(guò)樣本點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；B：用相關(guān)指數(shù)來(lái)刻畫回歸效果時(shí)，越接近1，說(shuō)明模型的擬合效果越好，故B正確；C：將一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)后，數(shù)據(jù)的波動(dòng)性不變，故方差不變，則標(biāo)準(zhǔn)差不變，故C錯(cuò)誤；D：根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)可知D正確.故選：BD10.如圖所示，已知角的始邊為軸的非負(fù)半軸，終邊與單位圓的交點(diǎn)分別為為線段的中點(diǎn)，射線與單位圓交于點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C. D.點(diǎn)的坐標(biāo)為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)幾何圖形，即可確定A，結(jié)合三角函數(shù)的定義，以及向量數(shù)量積的定義和坐標(biāo)表示，即可判斷BC，根據(jù)三角函數(shù)的定義，結(jié)合三角恒等變換，即可判斷D.【詳解】A.因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，且，所以，故A正確；B.有條件可知，，，，，所以，故B錯(cuò)誤；C.，故C正確；D.所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，故D正確.故選：ACD11.直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體，例如表示過(guò)點(diǎn)的直線族（不包括直線）．直線族的包絡(luò)曲線定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點(diǎn)處的切線，且該曲線上的每一點(diǎn)處的切線都是該直線族中的某條直線．已知直線族，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則該直線族的包絡(luò)曲線為圓B.若，則該直線族的包絡(luò)曲線為橢圓C.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)可能直線族上D.當(dāng)時(shí)，曲線是直線族的包絡(luò)曲線【答案】ABD【解析】【分析】設(shè)圓上的點(diǎn)為，求解該圓的切線方程即可判斷選項(xiàng)A；設(shè)橢圓上的點(diǎn)為，求解該橢圓的切線方程即可判斷選項(xiàng)B；若點(diǎn)可能在直線族上，則存在使得，即函數(shù)有零點(diǎn)，因而對(duì)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)行分析從而判斷選項(xiàng)C；當(dāng)時(shí)，直線族為，將其與曲線聯(lián)立可得，即可得直線和曲線相切,故可判斷選項(xiàng)D.【詳解】對(duì)于A，設(shè)圓：上的點(diǎn)為，直線的斜率為，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，由，得，所以切線的方程為，即，故A正確；對(duì)于B，設(shè)橢圓上的點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，當(dāng)切線斜率存時(shí)，設(shè)，，聯(lián)立得：，所以，.作商：，得，所以切線的方程為，即；當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，或，則切線方程和亦滿足，故B正確；對(duì)于C，將代入得，構(gòu)造，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因而當(dāng)時(shí)，取到最小值，所以在無(wú)零點(diǎn)，無(wú)解，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若不在直線族上，則將代入直線得無(wú)解，則，所以,因而可得當(dāng)在曲線上時(shí)，則一定在直線族上，聯(lián)立和得，所以，故直線和相切，又不包括直線，所以是直線族的包絡(luò)曲線，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的公式和性質(zhì)，即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由條件可知，，所以，，所以.故答案為：13.若為曲線上任意兩點(diǎn)，則兩點(diǎn)間距離的最大值為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】作出曲線的圖象，結(jié)合圖象分析任意兩點(diǎn)距離的最大值即可得出結(jié)果.【詳解】由題意可得曲線關(guān)于軸，軸，原點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，曲線方程化為，圓心;當(dāng)時(shí)，曲線方程化為，圓心；當(dāng)時(shí)，曲線方程化為，圓心；當(dāng)時(shí)，曲線方程化為，圓心；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.作出曲線在平面直角坐標(biāo)系下的圖象如下圖：曲線上任意兩點(diǎn)距離的最大值為，故答案為：.14.已知，若不等式恒成立，則的最大值為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】首先不等式轉(zhuǎn)化為，恒成立，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，并求得，再討論的正負(fù)，轉(zhuǎn)化為，轉(zhuǎn)化為的最大值，即可求解.【詳解】，則，所以不等式恒成立，即，恒成立，，，所以設(shè)，，得，當(dāng)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取值最大值，所以，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，，，得，當(dāng)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，所以的最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題轉(zhuǎn)化為2次最值，一次是參變分離為，，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，第二次是轉(zhuǎn)化為，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.四、解答題：共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．（1）求；（2）若，求的周長(zhǎng)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換和正弦定理，化簡(jiǎn)條件等式，即可求解；（2）首先根據(jù)正弦定理以及二倍角的正弦公式，化簡(jiǎn)求角，再根據(jù)正弦定理，即可求解.【小問(wèn)1詳解】由條件可知，，因?yàn)?，所以，即，由正弦定理可知，，即，且，所以，則，，所以.【小問(wèn)2詳解】由正弦定理可知，，即，則，，所以，，所以，且，，則，由正弦定理可知，，即，，所以，則,所以的周長(zhǎng)為.16.已知函數(shù)．（1）時(shí)，求的極值；（2）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）函數(shù)取得極大值，無(wú)極小值；（2）【解析】【分析】（1）首先利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求函數(shù)的極值；（2）利用參變分離，轉(zhuǎn)化為，恒成立，再轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問(wèn)題.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，，，得，當(dāng)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，無(wú)極小值；【小問(wèn)2詳解】由題意可知，，即恒成立，即，恒成立，設(shè)，，設(shè)，，，設(shè)，所以，得（負(fù)值舍去），當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以的最大值為，即恒成立，所以單調(diào)遞減，且，所以當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞減，所以的最大值為，所以.17.如圖，四棱錐中，是邊長(zhǎng)為2的正方形，是以為頂點(diǎn)的等腰直角三角形，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，．（1）證明：；（2）過(guò)兩點(diǎn)的平面與直線分別交于點(diǎn)，且平面，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)幾何關(guān)系，證明平面，即可證明線線垂直；（2）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理說(shuō)明，再根據(jù)（1）的結(jié)果，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，分別求平面和平面的法向量，利用向量法求解.【小問(wèn)1詳解】連結(jié)，因?yàn)槭堑妊苯侨切?，且為斜邊的中點(diǎn)，所以，且，，，所以，所以，且，平面，所以平面，且平面，所以.【小問(wèn)2詳解】連結(jié)，因平面，平面，平面平面，所以，即，由（1）知平面，如圖以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，過(guò)點(diǎn)作與平行的直線為軸，，，，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，，則平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為則，即，令，則，所以平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.18.已知橢圓的左，右焦點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，的最小值是．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為橢圓的上，下頂點(diǎn)，為橢圓上異于的兩點(diǎn)，記直線的斜率分別為，且．（?。┳C明：直線過(guò)定點(diǎn)；（ⅱ）設(shè)直線與直線交于點(diǎn)，直線的斜率為，試探究滿足的關(guān)系式．【答案】（1）（2）（?。┳C明見(jiàn)詳解；（ⅱ）.【解析】【分析】（1）將轉(zhuǎn)化為，由求出即可；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程得，由韋達(dá)定理及化簡(jiǎn)求解即可得出直線過(guò)定點(diǎn)；寫出直線方程，作比化簡(jiǎn)得出，解得，即點(diǎn)在直線上，記與軸的交點(diǎn)為，借助表達(dá)出即可.【小問(wèn)1詳解】由橢圓知，，，所以，所以，所以橢圓的方程為；【小問(wèn)2詳解】（?。┤糁本€斜率不存在，則，不符合題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，得，由韋達(dá)定理可得，，所以，又因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?，解得，即直線方程為，故直線過(guò)定點(diǎn)；（ⅱ）由（?。┛芍本€方程為，直線方程為，所以，解得，即點(diǎn)在直線上，記與軸的交點(diǎn)為，則，，又因?yàn)橥?hào)，所以.19.某商家推出一個(gè)活動(dòng)：將n件價(jià)值各不相同的產(chǎn)品依次展示在參與者面前，參與者可以選擇當(dāng)前展示的這件產(chǎn)品，也可以不選擇這件產(chǎn)品，若選擇這件產(chǎn)品，該活動(dòng)立刻結(jié)束；若不選擇這件產(chǎn)品，則看下一件產(chǎn)品，以此類推，整個(gè)過(guò)程參與者只能繼續(xù)前進(jìn)，不能返回，直至結(jié)束．同學(xué)甲認(rèn)為最好的一定留在最后，決定始終選擇最后一件，設(shè)他取到最大價(jià)值產(chǎn)品的概率為；同學(xué)乙采用了如下策略：不取前件產(chǎn)品，自第件開(kāi)始，只要發(fā)現(xiàn)比他前面見(jiàn)過(guò)的每一個(gè)產(chǎn)品的價(jià)值都大，就選擇這件產(chǎn)品，否則就取最后一件，設(shè)他取到最大價(jià)值產(chǎn)品的概率為．（1）若，求和；（2）若價(jià)值最大的產(chǎn)品是第件（），求；（3）當(dāng)趨向于無(wú)窮大時(shí)，從理論的角度（即），求的最大值及取最大值時(shí)的值．（?。敬鸢浮浚?），（2）（3）的最大值為，此時(shí)【解析】【分析】（1）根據(jù)題意直接求，根據(jù)同學(xué)乙的選法規(guī)則，結(jié)合排列問(wèn)題，即可求解；（2）根據(jù)題意，結(jié)合排列，組合問(wèn)題，以及古典概型概率公式，即可求解；（3）根據(jù)（2）的結(jié)果，以及全概率公式求，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.【小問(wèn)1詳解】由題意可知，，依題意，4個(gè)產(chǎn)品的位置從第一個(gè)到第4個(gè)排序，有種情況，同學(xué)乙要取最貴價(jià)值產(chǎn)品，有以下兩種情況：最貴價(jià)值產(chǎn)品是第3個(gè)，其它的隨意在哪個(gè)位置，有種情況；最貴價(jià)值產(chǎn)品是第4個(gè)，第二貴價(jià)值產(chǎn)品是第1個(gè)或第2個(gè)，其它的隨意在哪個(gè)位置，有種情況，所以所求概率【小問(wèn)2詳解】法一：若考慮全部產(chǎn)品排序，價(jià)值最大的產(chǎn)品是第件，共有種排法，先從件產(chǎn)品中挑件產(chǎn)品出來(lái)，其中價(jià)值最大的產(chǎn)