2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第7章-第7節(jié) 向量法求空間角【課件】

第七章立體幾何與空間向量第7節(jié)向量法求空間角1.掌握空間向量的應(yīng)用.2.會(huì)用空間向量求空間角.目

錄CONTENTS知識(shí)診斷自測(cè)01考點(diǎn)聚焦突破02課時(shí)分層精練03知識(shí)診斷自測(cè)1ZHISHIZHENDUANZICE1.兩條異面直線所成的角設(shè)異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別為u，v，則

cosθ＝|cos〈u，v〉|＝______＝______.2.直線和平面所成的角直線AB與平面α相交于點(diǎn)B，設(shè)直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sinθ＝|cos〈u，n〉|＝______＝______.3.平面與平面的夾角(1)兩平面的夾角：平面α與平面β相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面

β的夾角.(2)兩平面夾角的計(jì)算：設(shè)平面α，β的法向量分別是n1，n2，平面α與平面β的夾角為θ，則

cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝_______＝_______.常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒×××√解析(1)兩直線的方向向量所成的角是兩條直線所成的角或其補(bǔ)角；(2)直線的方向向量u，平面的法向量n，直線與平面所成的角為θ，則sinθ＝|cos

u，n

|；(3)兩個(gè)平面的法向量所成的角是這兩個(gè)平面的夾角或其補(bǔ)角.A解析建系如圖，設(shè)BC＝CA＝CC1＝2，則B(0，2，0)，D1(1，1，2)，A(2，0，0)，F(xiàn)1(1，0，2)，

3.(選修一P43T10改編)設(shè)M，N分別是正方體ABCD－A′B′C′D′的棱BB′和B′C′的中點(diǎn)，則直線MN與平面A′BCD′所成角的正弦值為_(kāi)_______.解析建系如圖，設(shè)AB＝2，則M(2，2，1)，N(1，2，2)，B(2，2，0)，A′(2，0，2)，C(0，2，0)，4.在空間中，已知平面α過(guò)點(diǎn)(3，0，0)和(0，4，0)及z軸上一點(diǎn)(0，0，a)(a＞0)，如果平面α與平面Oxy的夾角為45°，則a＝________.解析平面Oxy的一個(gè)法向量為n＝(0，0，1)，設(shè)平面α的一個(gè)法向量為u＝(x，y，z)，取平面中兩個(gè)向量(－3，4，0)與(－3，0，a)，考點(diǎn)聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考點(diǎn)一異面直線所成的角解析連接O1O2，過(guò)點(diǎn)E作EE1∥O1O2，交下底面于點(diǎn)E1，連接O2E1，以O(shè)2為坐標(biāo)原點(diǎn)，在下底面中，過(guò)點(diǎn)O2作AB的垂線為x軸，分別以O(shè)2B，O2O1所在的直線為y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則由已知可得A(0，－1，0)，D(0，－1，2)，F(xiàn)(0，1，1)，解析以D為原點(diǎn)，以DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系(圖略).正方體的棱長(zhǎng)為2，則A1(2，0，2)，D1(0，0，2)，E(0，2，1)，A(2，0，0).感悟提升訓(xùn)練1

如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，BC＝8，E，F(xiàn)，G分別為B1C1，A1B1，BB1的中點(diǎn)，則異面直線A1E與FG所成角的余弦值為(

)A解析如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，考點(diǎn)二直線與平面所成的角例2(2023·全國(guó)甲卷)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AA1＝2，A1到平面BCC1B1的距離為1. (1)證明：A1C＝AC；證明由A1C⊥平面ABC，BC?平面ABC，得A1C⊥BC.又因?yàn)锽C⊥AC，且AC∩A1C＝C，AC，A1C?平面ACC1A1，所以BC⊥平面ACC1A1，且BC?平面BCC1B1，所以平面ACC1A1⊥平面BCC1B1.如圖1，過(guò)A1作A1H⊥CC1，垂足為H，圖1(2)已知AA1與BB1的距離為2，求AB1與平面BCC1B1所成角的正弦值.解

連接B1C.過(guò)C作CQ⊥AA1，垂足為Q，連接BQ.由(1)知BC⊥平面ACC1A1，又AA1?平面ACC1A1，∴BC⊥AA1.又CQ∩BC＝C，CQ，BC?平面BCQ，∴AA1⊥平面BCQ.∵BQ?平面BCQ，∴AA1⊥BQ，又∵AA1∥BB1，∴BB1⊥BQ，∴BQ的長(zhǎng)為直線AA1與BB1之間的距離，即BQ＝2.∴以直線CA，CB，CA1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖2所示，圖2取x＝1，則y＝0，z＝1，∴平面BCC1B1的一個(gè)法向量為n＝(1，0，1).設(shè)AB1與平面BCC1B1所成角為θ，感悟提升向量法求直線與平面所成角的方法是：(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，將題目轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)；(2)通過(guò)平面的法向量來(lái)求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補(bǔ)角，取其余角就是斜線和平面所成的角.證明因?yàn)镻D⊥平面ABCD，AD，CD?平面ABCD，所以PD⊥AD，PD⊥CD，又底面ABCD為正方形，所以AD⊥CD，則AD，CD，PD兩兩垂直.以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA，DC，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，如圖，由已知可得D(0，0，0)，M(0，2，2)，N(3，4，0)，P(0，0，4)，B(4，4，0)，C(0，4，0)，令z2＝1，得y2＝1，x2＝0，所以n2＝(0，1，1)，因?yàn)閚1·n2＝0，所以n1⊥n2，所以平面DMN⊥平面PBC.(2)求直線AB與平面DMN所成角的正弦值.考點(diǎn)三平面與平面的夾角[思路分析]

(1)通過(guò)證明BC⊥平面ADE，從而證明BC⊥DA.(2)確定線線位置關(guān)系→建系→設(shè)點(diǎn)寫(xiě)坐標(biāo)→求平面的法向量→利用公式求二面角的正弦值.[規(guī)范解答]

(1)證明

如圖，連接DE，AE，因?yàn)镈C＝DB，E為BC的中點(diǎn)，因?yàn)椤螦DB＝∠ADC＝60°，DA＝DA，DC＝DB，所以△ADB≌△ADC(SAS)，所以AC＝AB，因?yàn)镈E∩AE＝E，DE，AE?平面ADE，又DA?平面ADE，(2)解

由(1)知，DE⊥BC，AE⊥BC.不妨設(shè)DA＝DB＝DC＝2，因?yàn)椤螦DB＝∠ADC＝60°，所以AB＝AC＝2.由題可知△DBC為等腰直角三角形，在△ADE中，AE2＋ED2＝AD2，所以AE⊥ED.以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，ED所在直線為x軸，EB所在直線為y軸，EA所在直線為z軸[滿分規(guī)則]?得步驟分①處通過(guò)證明線⊥線?線⊥面?線⊥線，注意應(yīng)用相關(guān)定理的條件要完整，否則易失步驟分.?得關(guān)鍵分②處求出各點(diǎn)與向量的坐標(biāo)，特別是求出點(diǎn)F的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，此處出錯(cuò)會(huì)導(dǎo)致(2)題至多得1分.?得計(jì)算分③處求平面的法向量及應(yīng)用公式求角的正弦值、余弦值，要注意計(jì)算準(zhǔn)確.訓(xùn)練3(2023·新高考Ⅰ卷)如圖，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，點(diǎn)A2，B2，C2，D2分別在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3.(1)證明：B2C2∥A2D2；又B2C2與A2D2不重合，所以B2C2∥A2D2.法二以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CD，CB，CC1所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B2(0，2，2)，C2(0，0，3)，A2(2，2，1)，D2(2，0，2)，(2)點(diǎn)P在棱BB1上，當(dāng)二面角P－A2C2－D2為150°時(shí)，求B2P.解

建立空間直角坐標(biāo)系，建系方法同(1)中法二，設(shè)BP＝n(0≤n≤4)，則P(0，2，n)，令x1＝n－1，得a＝(n－1，3－n，2).設(shè)平面A2C2D2的法向量為b＝(x2，y2，z2)，整理得n2－4n＋3＝0，解得n＝1或n＝3，所以BP＝1或BP＝3，所以B2P＝1.課時(shí)分層精練3KESHIFENCENGJINGLIAN解在平面ABCD內(nèi)，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AD，交BC于點(diǎn)E.因?yàn)锳A1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AE，AA1⊥AD.(2)平面A1BD與平面A1AD夾角的正弦值.2.(2024·濟(jì)南模擬)如圖，在四棱錐P－ABCD中，已知PA＝PC，AB＝BC. (1)求證：PB⊥AC；證明取AC的中點(diǎn)M，連接MB，MP，∵在△PAC中，PA＝PC，M為AC的中點(diǎn)，∴MP⊥AC，在△ABC中，AB＝BC，M為AC的中點(diǎn)，∴MB⊥AC，又MP∩MB＝M，MP，MB?平面PMB，∴AC⊥平面PMB.又PB?平面PMB，∴PB⊥AC.(2)若平面PCD⊥平面ABCD，AB∥CD，且AB＝2CD＝2，∠ABC＝90°，二面角P－BC－D的大小為45°，求直線PB與平面PAD所成角的正弦值.解∵∠ABC＝90°，AB∥CD，∴BC⊥CD，∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，BC⊥CD，BC?平面ABCD，∴BC⊥平面PCD，∵PC?平面PCD，∴BC⊥PC.故∠PCD為二面角P－BC－D的平面角，∠PCD＝45°.以B為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，BA所在直線為y軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，所以△OBA∽△ABC，所以∠CAB＝∠AOB.記BF⊥AO的垂足為H，則△BHA∽△OBA，所以∠HBA＝∠AOB.所以∠HBA＝∠CAB，所以BF＝AF，∠BCF＝∠CBF，所以CF＝BF，CF＝AF，故F是AC的中點(diǎn).因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AP，AC的中點(diǎn)，所以EF∥PC.因?yàn)镈，O分別是BP，BC的中點(diǎn)，所以DO∥PC，所以EF∥DO.又DO?平面ADO，EF

平面ADO，所以EF∥平面ADO.(2)證明：平面ADO⊥平面BEF；所以AD