2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第8章-第6節(jié) 雙曲線【課件】

第八章平面解析幾何第6節(jié)雙曲線1.了解雙曲線的定義，幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程.2.掌握雙曲線的幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線).3.了解雙曲線的簡單應(yīng)用.目

錄CONTENTS知識診斷自測01考點聚焦突破02課時分層精練03知識診斷自測1ZHISHIZHENDUANZICE1.雙曲線的定義(1)平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離差的絕對值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個______叫雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距.(2)其數(shù)學(xué)表達(dá)式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0.①若____，則集合P為雙曲線；②若a＝c，則集合P為__________；③若_____，則集合P為空集.定點a<c兩條射線a>c2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)x∈R，y≤－a或y≥a坐標(biāo)軸原點A1(－a，0)，A2(a，0)a2＋b2常用結(jié)論與微點提醒×××√解析(1)||MF1|－|MF2||＝8＝|F1F2|，表示的軌跡為兩條射線.(2)由雙曲線的定義知，應(yīng)為雙曲線的一支，而非雙曲線的全部.(3)當(dāng)m＞0，n＞0時表示焦點在x軸上的雙曲線，而m＜0，n＜0時則表示焦點在y軸上的雙曲線.2.(選修一P127T1)雙曲線4x2－y2＋64＝0上一點P與它的一個焦點的距離等于1，那么點P與另一個焦點的距離等于________.17

3.(選修一P121T1改編)經(jīng)過點A(3，－1)，且對稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線方程為____________.解析設(shè)雙曲線方程為x2－y2＝λ(λ≠0)，把點A(3，－1)代入，得9－1＝λ，λ＝8，(3，0)解得c＝3，又焦點在x軸上，所以雙曲線C的右焦點坐標(biāo)為(3，0).考點聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考點一雙曲線的定義及應(yīng)用例1(1)已知定點F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)，N是圓O：x2＋y2＝1上任意一點，點F1關(guān)于點N的對稱點為M，線段F1M的中垂線與直線F2M相交于點P，則點P的軌跡是(

) A.橢圓 B.雙曲線

C.拋物線

D.圓B解析如圖，連接ON，由題意可得|ON|＝1，且N為MF1的中點，又O為F1F2的中點，所以|MF2|＝2.因為點F1關(guān)于點N的對稱點為M，線段F1M的中垂線與直線F2M相交于點P，由垂直平分線的性質(zhì)可得|PM|＝|PF1|，所以||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||＝|MF2|＝2＜|F1F2|，所以由雙曲線的定義可得，點P的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點的雙曲線.C由雙曲線的定義得|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，所以|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋4a＝|AB|＋4a，所以△ABF2的周長為2|AB|＋4a，因為a＝2，|AB|的最小值為4，所以△ABF2周長的最小值為2×4＋4×2＝16.感悟提升1.在“焦點三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，結(jié)合||PF1|－|PF2||＝2a，運用平方的方法，建立與|PF1|·|PF2|的聯(lián)系.2.與雙曲線兩焦點有關(guān)的問題常利用定義求解.3.如果題設(shè)條件涉及動點到兩定點的距離，求軌跡方程時可考慮能否應(yīng)用定義求解.C解析設(shè)動圓M的半徑為r，由動圓M同時與圓C1和圓C2相外切，得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r，|MC2|－|MC1|＝2<6，所以動圓圓心M的軌跡是以點C1(－3，0)和C2(3，0)為焦點的雙曲線的左支，且2a＝2，解得a＝1，又c＝3，則b2＝c2－a2＝8，(2)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點，點P在C上，∠F1PF2＝60°，則△F1PF2的面積為________.解析不妨設(shè)點P在雙曲線的右支上，考點二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程解析設(shè)雙曲線方程為mx2－ny2＝1(mn>0).4x2－y2＝1解析法一由題意可知，①若雙曲線的焦點在x軸上，感悟提升D考點三雙曲線的幾何性質(zhì)C角度1漸近線整理得a＝b.即y＝±x，∴漸近線的斜率為±1.解析如圖所示，∵OQ∥PF，∴∠AOQ＝∠OFP.又∵雙曲線的漸近線關(guān)于y軸對稱，∴∠FOP＝∠AOQ，則∠OFP＝∠FOP，∴△OPF為等腰三角形，作PM⊥OF，垂足為M，角度2離心率BCA－3拓展視野橢圓、雙曲線中的二級結(jié)論D解析[通法]由題意，橢圓上存在點P，使得線段AP的垂直平分線過點F，即F點到P點與A點的距離相等，解析如圖，令|F2B|＝t，則|AF2|＝2t，∴|AB|＝3t，|F1B|＝3t.(－∞，－2]則(*)中Δ≥0，即36t2－4×4(3t2－3)≥0，解得－2≤t≤2，即－2≤x＋y≤2.又x＋y＋m≤0恒成立，則m≤[－(x＋y)]min，即m≤－2.解析設(shè)點P的橫坐標(biāo)為x0，由雙曲線焦半徑公式有|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝ex0－a，結(jié)合條件|PF1|＝3|PF2|，則ex0＋a＝3(ex0－a)，解析由題意知a＝4，b＝2，|AF2|＝2，課時分層精練3KESHIFENCENGJINGLIANC解析若曲線C是焦點在y軸上的雙曲線，CDA解析由題知F(c，0).BBCD所以曲線表示焦點在y軸上的雙曲線，且a2＝－λ，b2＝－2λ(λ＜0)，實軸長不是定值，所以A錯誤，B正確；BCD解析由雙曲線C的焦點(0，10)到漸近線的距離為6，可得雙曲線C的焦點在y軸上，8.已知雙曲線的兩個焦點分別為F1(－5，0)，F(xiàn)2(5，0)，雙曲線上一點P與F1，F(xiàn)2的距離差的絕對值等于6，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為______________.由2c＝10，2a＝6，得c＝5，a＝3.因此b2＝c2－a2＝16，4設(shè)該雙曲線的左焦點為F1，連接PF1，QF1，因為PF⊥QF，P，Q關(guān)于原點對稱，所以不妨設(shè)點P在第一象限，則由雙曲線的對稱性可得四邊形PF1QF為矩形，由雙曲線的定義可得|PF1|－|PF|＝2，所以|QF|－|PF|＝2.①又|PF|2＋|QF|2＝|PQ|2＝20，②10設(shè)雙曲線的另一個焦點為F′，則|PF|＝|PF′|＋4，△PAF的周長為|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PF′|＋4＋|PA|＋3，當(dāng)F′，P，A三點共線時，|PF′|＋|PA|有最小值，最小值為|AF′|＝3，故△PAF的周長的最小值為10.解不妨設(shè)M在雙曲線的右支上，M點到x軸的距離為h，設(shè)|MF1|＝m，|MF2|＝n，由雙曲線的定義知m－n＝2a＝8.①在Rt△F1MF2中，由勾股定理得m2＋n2＝(2c)2＝80，②由①