高二【數(shù)學(人教A版)】探究與發(fā)現(xiàn)：雙曲線的漸近線、二次函數(shù)與拋物線-教學設計

課程基本信息課例編號2020QJ11SXRA046學科數(shù)學年級高二學期下課題探究與發(fā)現(xiàn)：雙曲線的漸近線、二次函數(shù)與拋物線教科書書名：《數(shù)學》選擇性必修第二冊出版社：人民教育出版社出版日期：2020年5月教學人員姓名單位授課教師陳東峰北京匯文中學指導教師雷曉莉北京東城區(qū)教育研修學院教學目標教學目標：（1）了解雙曲線漸近線的推導過程，會用距離刻畫漸近程度。（2）會把二次函數(shù)表達式轉化為拋物線的標準方程，并從圖像角度深入理解。（3）體會數(shù)學形結合的數(shù)學思想方法。教學重點：雙曲線漸近線的推導過程，拋物線的圖像平移方式。教學難點：對漸近程度的刻畫。教學過程時間復習舊知引入課題觀察性質優(yōu)化方案逐步調整建立模型類比轉化形成結論小結歸納布置作業(yè)問題1我們利用信息技術直觀給出了是雙曲線的漸近線，如何證明呢？追問1如何理解漸近線？我們學過的哪些圖像中存在漸近現(xiàn)象呢？反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)甚至正切函數(shù)的圖像均存在漸近現(xiàn)象。反比例函數(shù)在每一象限內是遞減的，當x正無窮大時，y恒正逐漸接近0；對于指數(shù)函數(shù)y=2x，當x接近負無窮時，它們的共性是，幾何角度，曲線圖像與漸近線逐漸接近，永不相交；代數(shù)角度，當x趨近于某個數(shù)，一般為無窮時，y接近某個定值，但y取不到這個值。追問2如何研究雙曲線的漸近線呢？在第一象限內，x、y均為正，所以方程可變形為，這樣就可以直觀的看出x與y變化趨勢的相關性了。追問3如何衡量一條直線與一條曲線的接近程度呢？要通過距離來衡量。在直線方程的學習過程中，涉及到了幾種重要的距離公式.以指數(shù)函數(shù)為例，只需要取圖像上任意一點，研究該點到漸近線的距離就可以了。由于特殊性，可用點的縱坐標的大小來衡量接近的程度.方案1：在雙曲線第一象限的圖像上取點M，作MQ垂直于y=bax設M橫坐標為x0,從減少變量的角度來考慮，代入雙曲線方程得M的縱坐標是而后利用點到直線的距離公式可得：.需要研究函數(shù)的單調性.變形為：分子的部分是定值，分母是遞增的，因此原函數(shù)是單調遞減的。當x無窮大時，分母無限大，y值就無限小且趨于0.由于分子不為0，所以y取不到0.當x0無限變大時，對應M向右無限運動時，MQ無限變小趨于0，也就說明雙曲線與直線越靠右越接近，但不能相交方案2：利用縱向距離也可以值得研究。作MN平行于漸近線交于N，由于MN與MQ成定倍數(shù)關系，因此可以替代MQ進行研究。M、N的橫坐標相同，這樣以來MN的長度等于二者縱坐標的差，比較容易計算。這個結構與MQ表達式的結構是一致的，后面的研究就基本一樣了。追問4除距離外，還有無其它刻畫“漸近”的量？方案3：如圖，當直線OM的斜率在發(fā)生變化。當直線繞（0,0)逆時針旋轉時，斜率逐漸是變大的。因此，只要求出OM斜率與ba比較就可以了。結合前面的運算結果，我們不難求出，化簡后為，用極限的思想來分析，當x趨向于無窮大時，根式下方接近但永遠小于1，于主雙曲線就接近直線y=bax問題2為什么二次函數(shù)的圖象是拋物線？有哪些證明方法？追問1：有哪些方式可說明二次函數(shù)的圖象是拋物線呢？方式1：二次函數(shù)的圖像滿足拋物線的幾何特征；方式2：二次函數(shù)的表達式可化成拋物線的標準方程。追問2：二次函數(shù)通過怎樣方式可變形為？由于標準方程對應的拋物線，頂點在原點對稱軸是y軸，所以可以通過兩次平移來實現(xiàn)重合，平移方向與原頂點位置有關，這樣我們就把普通的二次函數(shù)與標準方程所對應的拋物線結合在一起了。再進行“原路返回”，可求得:焦點，準線.追問3：怎樣證明二次函數(shù)上的點滿足拋物線的定義呢？需要證明，然后把此式化簡，得到.由于計算量較大，我們不妨采用等價變形的方式。右邊由于以上各步均是可逆的，也