高二【數(shù)學(人教A版)】用空間向量研究距離、夾角問題(1)-教學設計

課程基本信息課例編號2020QJ11SXRA010學科數(shù)學年級高二學期上學期課題用空間向量研究距離、夾角問題（1）教科書書名：《數(shù)學》選擇性必修第一冊出版社：人教社出版日期：年月教學人員姓名單位授課教師劉興華北京景山學校指導教師雷曉莉北京市東城區(qū)教師研修中心教學目標教學目標：能利用投影向量得到點到直線、點到平面的距離公式，結(jié)合一些具體的距離問題的解決，歸納用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”，提升直觀想象、數(shù)學運算等素養(yǎng)．教學重點：利用投影向量推導點到直線的距離公式和點到平面的距離公式．教學難點：利用投影向量統(tǒng)一研究空間距離問題．教學過程時間教學環(huán)節(jié)主要師生活動前面我們學習了用空間向量及其運算研究立體幾何中點、直線、平面這些幾何元素的平行、垂直的位置關(guān)系．除了上述平行、垂直這些特殊的位置關(guān)系外，立體幾何中還經(jīng)常需要研究距離、角度等度量問題．現(xiàn)在，我們?nèi)匀煌ㄟ^空間向量及其運算研究這些幾何元素之間產(chǎn)生的距離與夾角等問題．在前面的學習中，對于應用空間向量及其運算計算距離與夾角的方法，同學們已經(jīng)有了初步的體會．今天我們一起，繼續(xù)深入學習用空間向量研究距離問題．距離是歐氏幾何中最基本的度量，回顧立體幾何的學習，我們發(fā)現(xiàn)空間中點、直線、平面之間的距離問題包括：兩點間的距離、點到直線的距離、兩條平行線之間的距離、點到平面的距離、直線到平面的距離以及平行平面之間的距離等．距離是這些幾何要素之間最短的路徑，除兩點間距離外，其他距離都需要用垂直刻畫．問題1：這些空間中的距離問題歸類嗎？生：首先，點到直線的距離、兩條平行線之間的距離可以歸結(jié)為一類，因為兩條平行線之間的距離可以轉(zhuǎn)化為一直線上的點到另一條直線的距離問題；其次，點到平面的距離、直線到平面的距離以及平行平面之間的距離可以歸結(jié)為點（或直線上的點，或一平面上的點）到平面的距離．所有的距離問題，都可以歸結(jié)為兩點間的距離．師：如何用空間向量研究距離？生：類比平面向量的知識，距離可以通過向量的模獲得．例如，空間兩點間的距離可以轉(zhuǎn)化為空間向量的模的計算．師：除兩點間的距離外，其他距離問題都需要通過垂直來刻畫，投影向量和勾股定理勢必在這些距離的計算中發(fā)揮重要作用．問題2：是直線外的一點，如何求出點到的距離？生：此時點與直線確定一個平面，只需過點作，垂足為，垂線段的長度即為點到直線的距離．師：這里，給出下列條件：已知直線的單位方向向量為，是直線上的定點，如何利用這些條件求點到該直線的距離？生：結(jié)合圖形與已知條件，在直角中，使用勾股定理可以求出直角邊PQ的長度．具體過程就是，先求出向量及其在直線上的投影向量，再利用勾股定理即可求線段的長度．那么，問題是師：如何表示在直線上的投影向量？生：根據(jù)投影向量的概念可以得到．設AP=a，則又因為為單位方向向量，所以．從而我們可以得到師：如果條件改為“已知直線的方向向量”呢？你還會表示點到該直線的距離嗎？生：由已知直線的方向向量，可以先求為直線的單位方向向量，再得到向量在直線上的投影向量為，則．從而有，．師:如何用向量方法求兩條平行線之間的距離？需要哪些條件？生：兩條平行線之間的距離可以轉(zhuǎn)化為點到直線的距離，需要給出兩條直線的方向向量，以及每條直線上的一個定點．由這兩個定點確定的向量及直線的方向向量，就可以使用前述公式來求得兩條平行線之間的距離．PQ=問題3：是平面外的一點，如何求點到平面的距離？師：如何作出點到平面的距離？生：根據(jù)點到平面的距離的定義知，過點作，垂足為，垂線段的長度為點到平面的距離．師：在平面的描述中給出條件，已知平面的法向量為，A是平面內(nèi)的定點，過點P作平面的垂線記為l，如何利用這些條件求點到平面的距離？生：根據(jù)定義，我們知道，點到平面的距離就等于向量在法向量方向上的投影向量的長度．具體操作，可以先求AP，再求AP在l上的投影向量QP，最后求PQ的長度．其中QP=(AP?nn)nn．小結(jié)：整理向量法求距離的公式距離問題圖示向量法的距離公式兩點間距離PPQPQ=點到直線的距離PPQlAuaPQ=兩平行直線之間的距離ll1l2APQauPQ=點到平面的距離PPQnαAPQ=在處理距離問題時，投影向量和勾股定理的使用是關(guān)鍵．例如圖在棱長為1的正方體中，為線段的中點，為線段的中點．求點到直線的距離．判斷直線與平面的位置關(guān)系；如果平行，求直線到平面的距離．師：使用向量方法求距離，共同點是什么？生：這些公式的共同點：都運用了向量的數(shù)量積運算．師：為此我們要做什么準備？生：根據(jù)條件建立空間直角坐標系，用坐標表示相關(guān)的點、直線的方向向量和平面的法向量．解：以D1為原點，D1A1，D1C1，D1D所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(1，0，1)，B(1，1，1)，C(0，1，1)，C1(0，1，0)，E(1，12，0)，F(xiàn)(1，12，1)取a＝AB＝(0，1，a2＝1，a?u＝33所以，點B到直線AC1的距離為a2-a?u2＝1-(2)因為FC＝EC1＝(-1所以FC//平面AEC1．所以點F到平面AEC1的距離即為直線FC到平面AEC1的距離．設平面AEC1的法向量為n＝(x，y，z)，則n 所以1所以y取z＝1，則x＝1，y＝2．所以，n＝(1，2，1)是平面AEC1的一個法向量．又因為AF＝所以點F到平面AEC1的距離為AF?n|n|＝(0 即直線FC到平面AEC1的距離為66例題小結(jié)：1.求直線到平面的距離、兩平行平面間的距離問題都可以轉(zhuǎn)化為求點到直線的距離問題，都等于向量AP在平面單位法向量方向上投影向量的長度，即PQ=2.用向量法解決距離問題的“三步曲”建立空間直角坐標系，求有關(guān)向量的坐標——將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；使用距離的向量計算公式——向量的運算與求解；得到所求距離——回到幾何圖形，得到結(jié)論．下面，我們總結(jié)一下本節(jié)課．課堂小結(jié)：問題4：本節(jié)課研究的主要內(nèi)容有哪些？本節(jié)課我們一起應用空間向量及其運算研究了求空間中的距離問題，包括兩點間的距離，點到直線的距離，平行直線之間的距離，點到平面的距離，直線到平面的距離，平行平面之間的距離等，結(jié)合投影向量、勾股定理以及向量數(shù)量積運算等，我們得到了這些距離問題的計算公式，并通過例題的解決，體會了公式的使用，在很多問題中，我們需要建立空間直角坐標系，求出點的坐標，以及直線的方向向量、平面的法向量的坐標表示，代入公式進行計算．問題5：本節(jié)課我們采用的研究方法是什么？轉(zhuǎn)化的研究方法．我們把要解決的五個距離問題轉(zhuǎn)化為兩個距離問題，幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題，求解距離轉(zhuǎn)化為向量運算．在此過程中提升直觀想象、數(shù)學運算和邏輯推理等數(shù)學學科核心素養(yǎng)．問題6：本節(jié)課的學習你體會到向量方法解決立體幾何問題的“三步曲”嗎？與用平面向量解決平面幾何問題的“三步曲”類似，我們可以得出用空間向量解決立體問題的“三步曲”：（１）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；（２）通過向量運算，研究點、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間的距離等問題；（３）把向量運算的結(jié)果“翻譯”成相應的幾何結(jié)論．課后作業(yè)：1．如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為線段DD1的中點，F(xiàn)為線段BB1的中點．（1）求點A1到直線B1E