2019屆中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)命題定理證明講義

命題、定理、證明

下列語(yǔ)句，哪些是命題，哪些不是？哪些命題正確？哪些不正確？1、對(duì)頂角相等；2、畫一個(gè)角等于已知角；3、兩直線平行，同位角相等；4、a、b兩條直線平行嗎？5、溫柔的小明；6、玫瑰花是動(dòng)物；否是否否是是√√×練習(xí)指出下列各命題的題設(shè)和結(jié)論，并改寫成“如果……那么……”的形式。練習(xí)1、對(duì)頂角相等；2、等角的補(bǔ)角相等；3、兩平行線被第三直線所截，同位角相等；4、正數(shù)與負(fù)數(shù)的和為0；5、同平行于一直線的兩直線平行；6、直角三角形的兩個(gè)銳角互余。下列句子哪些是命題？是命題的，指出是真命題還是假命題？

1、豬有四只腳；

2、內(nèi)錯(cuò)角相等；

3、畫一條直線；

4、四邊形是正方形；

5、你的作業(yè)做完了嗎？

6、同位角相等，兩直線平行；

7、對(duì)頂角相等；

8、同垂直于一直線的兩直線平行；

是真命題否是假命題是假命題否是真命題是真命題是假命題練習(xí)

下列命題中，哪些正確，哪些錯(cuò)誤？并說(shuō)一說(shuō)你的理由.（1）每一個(gè)月都有31天；（2）如果a是有理數(shù)，那么a是整數(shù).（3）同位角相等；（4）同角的補(bǔ)角相等.錯(cuò)誤錯(cuò)誤錯(cuò)誤正確

上面四個(gè)命題中，命題（4）是正確的，命題（1），（2），（3）都是錯(cuò)誤的.

我們把正確的命題稱為真命題，把錯(cuò)誤的命題稱為假命題.

要判斷一個(gè)命題是真命題，常常要從命題的條件出發(fā)，通過(guò)講道理（推理），得出其結(jié)論成立，從而判斷這個(gè)命題為真命題，這個(gè)過(guò)程叫證明.

例如，命題“同角的補(bǔ)角相等”通過(guò)推理可以判斷出它是真命題.

由于∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°，所以∠2=180°-∠1，∠3=180°-∠1.因此∠2=∠3（等量代換）.于是，我們得出：同角（或等角）的補(bǔ)角相等.議一議

要判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉出一個(gè)例子（反例），它符合命題的條件，但不滿足命題的結(jié)論，從而就可判斷這個(gè)命題為假命題.

例如，要判斷命題“如果a是有理數(shù)，那么a是整數(shù)”是一個(gè)假命題，我們舉出“0.1是有理數(shù)，但是0.1不是整數(shù)”這一例子即可判斷該命題是假命題.

我們通常把這種方法稱為“舉反例”.說(shuō)一說(shuō)判斷下列命題為真命題的依據(jù)是什么？（1）如果a是整數(shù)，那么a是有理數(shù)；（2）如果△ABC是等邊三角形，那么△ABC是等腰三角形.

分別是根據(jù)有理數(shù)、等腰（等邊）三角形的定義作出的判斷.

從上可以看到，在判斷一個(gè)命題是否為真命題時(shí)常常要利用一些概念的定義，但是光用定義只能判斷一些很簡(jiǎn)單的命題是否為真.

事實(shí)上，對(duì)于絕大多數(shù)命題的真假的判斷，光用定義是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的.

古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得（Euclid，約公元前330—前275年）對(duì)他那個(gè)時(shí)代的數(shù)學(xué)知識(shí)作了系統(tǒng)的總結(jié)，他挑選了一些人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的公認(rèn)的真命題作為證明的原始依據(jù)，稱這些真命題為公理.基本事實(shí)同位角相等，兩直線平行.內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.我們把經(jīng)過(guò)證明為真的命題叫作定理.

例如，“三角形的內(nèi)角和等于180°”稱為“三角形內(nèi)角和定理”.本書中，我們把少數(shù)真命題作為基本事實(shí).

例如，兩點(diǎn)確定一條直線；兩點(diǎn)之間線段最短等.

人們可以用定義和基本事實(shí)作為推理的出發(fā)點(diǎn)，去判斷其他命題的真假.

例如在七年級(jí)下冊(cè)，我們從基本事實(shí)出發(fā)證明了一些有關(guān)平行線的結(jié)論.

定理也可以作為判斷其他命題真假的依據(jù)，由某定理直接得出的真命題叫作這個(gè)定理的推論.

例如，“三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”稱為“三角形內(nèi)角和定理的推論”，也可稱為“三角形外角定理”.

當(dāng)一個(gè)命題是真命題時(shí)，它的逆命題不一定是真命題.

例如，“如果∠1和∠2是對(duì)頂角，那么∠1=∠2”是真命題，但它的逆命題“如果∠1=∠2，那么∠1和∠2是對(duì)頂角”就是假命題.

如果一個(gè)定理的逆命題能被證明是真命題，那么就叫它是原定理的逆定理，這兩個(gè)定理叫作互逆定理.

我們前面學(xué)過(guò)的定理中就有互逆的定理.

例如，“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”和“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”是互逆的定理.所以每個(gè)命題都有逆命題，但并不是每個(gè)定理都有逆定理.練習(xí)1.下列命題中，哪些是真命題，哪些是假命題？請(qǐng)說(shuō)說(shuō)你的理由.（1）絕對(duì)值最小的數(shù)是0；答：真命題（2）相等的角是對(duì)頂角；（3）一個(gè)角的補(bǔ)角大于這個(gè)角；（4）在同一平面內(nèi)，如果直線a⊥l，b⊥l，那么a∥b.答：假命題答：假命題答：真命題2.舉反例說(shuō)明下列命題是假命題：（1）兩個(gè)銳角的和是鈍角；（2）如果數(shù)a，b的積ab＞0，那么a，b都是正數(shù)；（3）兩條直線被第三條直線所截同位角相等.答：直角三角形的兩個(gè)銳角和不是鈍角答：-1和-3的積是(-1)(-3)>0，-1和-3不是正數(shù).答：兩條相交的直線a、b被第三條直線l所截，它們的同位角不相等3.

試寫出兩個(gè)命題，要求它們不僅是互逆命題，而且都是真命題.答：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。

采用剪拼或度量的方法，猜測(cè)“三角形的外角和”等于多少度.做一做

觀察、操作、實(shí)驗(yàn)是人們認(rèn)識(shí)事物的重要手段，而且人們可以從中猜測(cè)發(fā)現(xiàn)出一些結(jié)論.

從剪拼或度量可以猜測(cè)三角形的三個(gè)外角之和等于360°，但是剪拼時(shí)難以真正拼成一個(gè)周角，只是接近周角；分別度量這三個(gè)角后再相加，結(jié)果可能接近360°，但不能很準(zhǔn)確地都得到360°.

另外，由于不同形狀的三角形有無(wú)數(shù)個(gè)，我們也不可能用剪拼或度量的方法來(lái)一一驗(yàn)證，因此，我們只能猜測(cè)任何一個(gè)三角形的外角和都為360°.

數(shù)學(xué)上證明一個(gè)命題時(shí)，通常從命題的條件出發(fā)，運(yùn)用定義、基本事實(shí)以及已經(jīng)證明了的定理和推論，通過(guò)一步步的推理，最后證實(shí)這個(gè)命題的結(jié)論成立.

證明的每一步都必須要有根據(jù).

此時(shí)猜測(cè)出的命題僅僅是一種猜想，未必都是真命題.

要確定這個(gè)命題是真命題，還需要通過(guò)推理的方法加以證明.

在分析出這一命題的條件和結(jié)論后，我們就可以按如下步驟進(jìn)行：

已知：如圖，∠BAF，∠CBD和∠ACE分別是△ABC的三個(gè)外角.求證：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°.動(dòng)腦筋

證明命題“三角形的外角和為360°”是真命題.證明:∵∠BAF=∠2+∠3，∠CBD=∠1+∠3，∠ACE=∠1+∠2（三角形外角定理），∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2(∠1+∠2+∠3)(等式的性質(zhì)).∵∠1+∠2+∠3=180°(三角形內(nèi)角和定理)，∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2×180°=360°.證明與圖形有關(guān)的命題時(shí)，一般有以下步驟：第一步第二步第三步畫出圖形寫出已知、求證寫出證明的過(guò)程根據(jù)題意根據(jù)命題的條件和結(jié)論，結(jié)合圖形通過(guò)分析，找出證明的途徑證明：∵∠DAC=∠B+∠C（三角形外角定理），∠B=∠C（已知），∴∠DAC=2∠B（等式的性質(zhì)）.又∵AE平分∠DAC（已知），∴∠DAC=2∠DAE（角平分線的定義）∴∠DAE=∠B（等量代換）.∴AE∥BC（同位角相等，兩直線平行）舉例例1

已知：如圖，在△ABC中，∠B=∠C，點(diǎn)D在線段BA的延長(zhǎng)線上，射線AE平分∠DAC.求證：AE∥BC.例2已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的內(nèi)角.求證：∠A，∠B，∠C中至少有一個(gè)角大于或等于60°.

分析這個(gè)命題的結(jié)論是“至少有一個(gè)”，也就是說(shuō)可能出現(xiàn)“有一個(gè)”、“有兩個(gè)”、“有三個(gè)”這三種情況.如果直接來(lái)證明，將很繁瑣，因此，我們將從另外一個(gè)角度來(lái)證明.證明:假設(shè)∠A，∠B，∠C中沒(méi)有一個(gè)角大于或等60°，即∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°，則∠A+∠B+∠C＜180°.這與“三角形的內(nèi)角和等于180°”矛盾，所以假設(shè)不正確.因此，∠A，∠B，∠C中至少有一個(gè)角大于或等于60°.

像這樣，當(dāng)直接證明一個(gè)命題為真有困難時(shí)，我們可以先假設(shè)命題不成立，然后利用命題的條件或有關(guān)的結(jié)論，通過(guò)推理導(dǎo)出矛盾，從而得出假設(shè)不成立，即所證明的命題正確，這種證明方法稱為反證法.

反證法是一種間接證明的方法，其基本的思路可歸結(jié)為“否定結(jié)論，導(dǎo)出矛盾，肯定結(jié)論”.練習(xí)1.在括號(hào)內(nèi)填上理由.已知：如圖，∠A+∠B=180°.求證：∠C+∠D=180°.證明：∵∠A+∠B=180°（已知），

∴

AD∥BC（）.

∴∠C+∠D=180°

（

）.同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)2.已知：如圖，直線AB，CD被直線MN所截，∠1=∠2.

求證：∠2=∠3，∠3+∠4=180°.證明：∵∠1=∠2，∴∠2=∠3（兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等）∠3+∠4=180°（兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)）.∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）3.已知：如圖，AB與CD相交于點(diǎn)E.

求證：∠A+∠C=∠B+∠D.證明：∵

AB與CD相交于點(diǎn)E，∴∠AEC=∠BED（對(duì)頂角相等），又∠A+∠C+∠AEC=∠B+∠D+∠BED=180°（三角形內(nèi)角和等于180°），∴∠A+∠C=∠B+∠D.例

命題①：同位角相等是在兩直線平行的前提下才有，所以它是錯(cuò)的；命題②：相等的角并不一定是對(duì)頂角；命題③和命題④均正確.解下列四個(gè)命題中是真命題的有（）.

①同位角相等；②相等的角是對(duì)頂角；③直角三角形兩銳角互余；④三個(gè)內(nèi)角相等的三角形是等邊三角形.A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)C命題1：在同一平面內(nèi)，如果一條直線垂直于兩條平行線中的一條，那么它也垂直于另一條．（1）這個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是什么呢？題設(shè)：在同一平面內(nèi)，一條直線垂直于兩條平行線中的一條；結(jié)論：這條直線也垂直于兩條平行線中的另一條．（2）你能結(jié)合圖形用幾何語(yǔ)言表述命題的題設(shè)和結(jié)論嗎？命題1在同一平面內(nèi)，如果一條直線垂直于兩條平行線中的一條，那么它也垂直于另一條.已知：b∥c，

a⊥b

．求證：a⊥c．（3）請(qǐng)同學(xué)們思考如何利用已經(jīng)學(xué)過(guò)的定義定理來(lái)證明這個(gè)結(jié)論呢？已知：b∥c，a⊥b

．求證：a⊥c．證明：∵

a⊥b（已知），又∵

b∥c（已知），∴∠1=∠2（兩直線平行，同位角相等）.∴∠2=∠1=90o（等量代換）．∴∠1=90o

（垂直的定義）．

∴

a⊥c（垂直的定義）．證明中的每一步推理都要有根據(jù)，不能想“當(dāng)然”。命題2相等的角是對(duì)頂角．（2）判斷這個(gè)命題的真假．（1）這個(gè)命題題設(shè)和結(jié)論分別是什么？題設(shè)：兩個(gè)角相等；結(jié)論：這兩個(gè)角互為對(duì)頂角．我們知道假命題是在條件成立的前提下，結(jié)論不一定成立，你能否利用圖形舉出一個(gè)反例說(shuō)明當(dāng)兩個(gè)角相等時(shí)它們不一定是對(duì)頂角的關(guān)系.

判斷一個(gè)命題是假命題，只要舉出一個(gè)例子（反例），它符合命題的題設(shè)，但不滿足結(jié)論就可以了。這種方法稱為舉反例。課堂小結(jié)1、命題：判斷一件事情的語(yǔ)句叫命題