函數(shù)圖形的描繪

函數(shù)圖形的描繪一、曲線的漸近線定義

如果動點P沿曲線C無限地遠離原點時，動點P到定直線L的距離趨于零，那么稱定直線L為曲線C的漸近線．水平漸近線1.如果則稱曲線y=f(x)有水平漸近線y=A．一、曲線的漸近線

求y=arctanx的水平漸近線．

解

因為

所以

都是y=arctanx的水平漸近線．【例1】

求曲線

的水平漸近線．

解

因為所以y=0是的水平漸近線．【例2】一、曲線的漸近線垂直漸近線2.如果則稱曲線y=f(x)有垂直漸近線x=a．一、曲線的漸近線

求曲線的漸近線．解因為所以y=0為曲線的水平漸近線，x=1為垂直漸近線．【例3】

求曲線

的漸近線．解因為所以y=0為曲線的水平漸近線，x=1及x=－1為兩條垂直漸近線【例4】一、曲線的漸近線

求曲線的漸近線．解因為所以y=0為曲線的水平漸近線，x=1及x=－1為兩條垂直漸近線．【例5】一、曲線的漸近線斜漸近線3.y=f(x)以直線y=kx+b為斜漸近線的充要條件是一、曲線的漸近線

求曲線的漸近線．解因為所以x=0是垂直漸近線，沒有水平漸近線．由于所以y=x是曲線的斜漸近線．【例6】一、曲線的漸近線二、函數(shù)圖形的描繪

現(xiàn)將描繪函數(shù)y=f(x)的圖形的一般步驟歸納如下：（1）確定函數(shù)的定義域及函數(shù)所具有的某些特性（如奇偶性、周期性等），并求出函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)；（2）利用f′(x)=0及其不存在的點將定義域劃分為若干區(qū)間，判斷每個區(qū)間上f(x)的單調(diào)性并求出極值，利用f″(x)=0及其不存在的點將定義域劃分為若干區(qū)間，判斷每個區(qū)間上曲線的凹凸性并求出拐點；（3）列表；（4）求出曲線的水平漸近線、垂直漸近線和斜漸近線；（5）取輔助點；（6）作圖．

描繪函數(shù)的圖形．解（1）函數(shù)定義域為(－∞,－1)∪(－1,+∞).（2）求函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù).【例7】二、函數(shù)圖形的描繪

二、函數(shù)圖形的描繪（5）取輔助點(－2,2),(0,0),(1,1/2).（6）描點作圖（見圖3-14）二、函數(shù)圖形的描繪

畫出y=x3－3x2的圖形．解（1）函數(shù)的定義域為(－∞,+∞)．（2）y′=3x2－6x=3x(x－2)，令y′=0，得x=0,x=2；y″=6x－6，令y″=0，得x=1．（3）列表【例8】二、函數(shù)圖形的描繪

函數(shù)y=x3－3x2的圖形如圖3-15所示二、函數(shù)圖形的描繪

描繪函數(shù)y=的圖形．解（1）函數(shù)定義域為(－∞,+∞)．由于所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，它的圖形關(guān)于y軸對稱．因此，可以只討論［0,+∞)上該函數(shù)的性態(tài)，然后利用對稱性畫出函數(shù)的圖形．求出函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù)．【例9】二、函數(shù)圖形的描繪

（2）在［0,+∞)上，f′(x)的零點為x=0；f″(x)的零點為x=1．用點x=1把［0,+∞)劃分成兩個區(qū)間［0,1］和［1,+∞)．（3）在(0,1)內(nèi)，f′(x)<0，f″(x)<0，所以在［0,1］上的曲線弧下降而且是凸的．結(jié)合f′(0)=0以及圖形關(guān)于y軸對稱可知，x=0處函數(shù)f(x)有極大值；在(1,+∞)內(nèi)，f′(x)<0，f″(x)>0，所以在［1,+∞)上的曲線弧下降而且是凹的．二、函數(shù)圖形的描繪上述的這些結(jié)果，可以列成下表：（4）由于=0，所以圖形有一條水平漸近線y=0.二、函數(shù)圖形的描繪

結(jié)合（3）、（4）的討論，利用描點法即可畫出函數(shù)在［0,+∞)上的