矩陣的初等變換

矩陣的初等變換矩陣的初等變換與初等矩陣一、我們發(fā)現(xiàn)，在利用消元法求線性方程組的解時(shí)，經(jīng)常用到如下三種同解變形：（1）交換兩個(gè)方程的位置.（2）用非零常數(shù)乘以某一個(gè)方程.（3）用一個(gè)常數(shù)乘以一個(gè)方程加到另一個(gè)方程上去．這三種運(yùn)算稱為線性方程組的初等變換，而且，線性方程組經(jīng)過(guò)初等變換后其解不變．從矩陣的角度觀察，這種對(duì)線性方程組進(jìn)行初等變換的過(guò)程，我們可以歸結(jié)為對(duì)相應(yīng)矩陣的行進(jìn)行初等變換，這就是矩陣的初等行變換．定義2-17下面三種變換稱為矩陣的初等行變換：（1）對(duì)調(diào)矩陣某兩行的位置（對(duì)調(diào)i，j兩行，記作ri-rj）.（2）以數(shù)k（k≠0）乘以矩陣某一行中的所有元素（k乘以第i行，記作kri）.（3）把某一行所有元素的λ倍加到另一行的對(duì)應(yīng)元素上（第j行的k倍加到第i行上，記作ri+krj）．把定義中的“行”換成“列”即得到矩陣的初等列變換的定義（所用的記號(hào)是把r換成c）．矩陣的初等行變換與初等列變換，統(tǒng)稱為矩陣的初等變換．定義2-18由單位矩陣E經(jīng)過(guò)一次初等變換所得到的矩陣稱為初等矩陣．對(duì)應(yīng)于矩陣的三種初等變換形式，有三種初等矩陣．（1）對(duì)調(diào)單位矩陣的任意兩行（列）.例如，把單位矩陣E中第i，j兩行（列）對(duì)調(diào)（ri-rj或ci-cj），得初等矩陣（2）以任意常數(shù)k（k≠0）乘以單位矩陣的某行（列）.例如，以任意常數(shù)k（k≠0）乘以單位矩陣E的第i行（列）（kri或kci），得初等矩陣（3）以任意常數(shù)k乘以單位矩陣的某行（列）后加到另一行（列）上.例如，以數(shù)k乘以單位陣的第i行（列）加到第j行（列）上（rj+kri或cj+kci），得初等矩陣容易驗(yàn)證，初等矩陣具有以下性質(zhì)：（1）初等矩陣的轉(zhuǎn)置仍為初等矩陣.（2）初等矩陣均是可逆矩陣.（3）初等矩陣的逆矩陣仍是初等矩陣，且定理2-4設(shè)A=(aij)是m×n型矩陣，則（1）對(duì)A每施行一次初等行變換，相當(dāng)于在A的左邊乘以一個(gè)相應(yīng)的m階初等矩陣.（2）對(duì)A每施行一次初等列變換，相當(dāng)于在A的右邊乘以一個(gè)相應(yīng)的n階初等矩陣．定理證明從略．下面通過(guò)實(shí)例來(lái)說(shuō)明．這說(shuō)明交換矩陣的第2行與第3行相當(dāng)于用初等矩陣E3(2,3)左邊乘以矩陣A．將矩陣A的第2列與第3列互換，則有若用E4(2,3)右邊乘以矩陣A，則有可見(jiàn)，交換矩陣A的第2列與第3列相當(dāng)于用初等矩陣E4(2,3)右邊乘以矩陣A．用同樣的方法可以驗(yàn)證，對(duì)矩陣A每施行一次初等行（列）變換，相當(dāng)于在A的左（右）邊乘以一個(gè)相應(yīng)的初等矩陣．利用初等變換化簡(jiǎn)矩陣二、對(duì)矩陣進(jìn)行初等變換的一個(gè)重要目的就是化簡(jiǎn)矩陣．下面介紹化簡(jiǎn)后的矩陣形式及化簡(jiǎn)方法．如果矩陣A的某一行各個(gè)元素均為0，那么稱該行為矩陣A的零行，否則稱該行為矩陣A的非零行．定義2-19滿足下面兩個(gè)條件的矩陣稱為行階梯形矩陣：（1）非零行都在零行的上方（沒(méi)有零行就認(rèn)為已滿足）.（2）每一非零行的非零首元所在列中，該元素下方的元素全為0．例如，矩陣都是行階梯形矩陣，而矩陣就不是行階梯形矩陣．行階梯形矩陣的特點(diǎn)為：可以在矩陣上畫出一條階梯線，線的下方全是零元素；每個(gè)階梯只有一行，階梯數(shù)就是矩陣非零行的行數(shù)；每個(gè)階梯上的第一個(gè)元素為非零元．定義2-20如果行階梯形矩陣還滿足下列兩個(gè)條件，那么稱其為行最簡(jiǎn)形矩陣：（1）非零行的第一個(gè)非零元素都是1.（2）非零行的非零首元所在列的其他元素都是0．例如，矩陣是行最簡(jiǎn)形矩陣，而矩陣都不是行最簡(jiǎn)形矩陣．定理2-5利用初等行變換可以把任意非零矩陣化為行階梯形矩陣，進(jìn)而化為行最簡(jiǎn)階梯形矩陣．定理2-6對(duì)于任意非零矩陣A=（aij）m×n，都可經(jīng)過(guò)有限次初等變換化為形如的矩陣，稱此矩陣為矩陣A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形，其特點(diǎn)是左上角是一個(gè)r階的單位矩陣，其余元素均為0．即對(duì)于任何矩陣A

m×n，總可以經(jīng)過(guò)有限次初等變換把A化成行階梯形、行最簡(jiǎn)階梯形及標(biāo)準(zhǔn)形矩陣．將矩陣A化為行階梯形、行最簡(jiǎn)形及行標(biāo)準(zhǔn)形矩陣，其中【例2-24】其中，矩陣B1，B2，B3分別是矩陣A的行階梯形、行最簡(jiǎn)形及行標(biāo)準(zhǔn)形矩陣．

注意：矩陣經(jīng)初等變換后變成另外一個(gè)矩陣，運(yùn)算過(guò)程中不能用等號(hào)．且矩陣的初等變換與行列式的三種基本運(yùn)算方式要區(qū)別記憶．初等變換的應(yīng)用三、求矩陣的秩1.定理2-7任意非零矩陣A=（aij）m×n在經(jīng)過(guò)一系列初等行變換后秩不變，且矩陣A的秩等于其相應(yīng)階梯形矩陣非零行的行數(shù)．由此，我們可以得到一個(gè)求矩陣秩的方法：對(duì)矩陣進(jìn)行初等行變換，將其化為行階梯形矩陣，則矩陣的秩為此行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)．【例2-25】解

先把A化為行階梯形矩陣:定理2-8用矩陣的初等行變換求逆矩陣2.設(shè)A為n階方陣，在A的右邊同時(shí)寫出與A同階的單位矩陣E，構(gòu)成一