麥克斯韋方程組

麥克斯韋方程組位移電流一、前面討論了麥克斯韋關(guān)于隨時間變化的磁場要在周圍空間激發(fā)感生電場的理論，按照對稱性的思想，隨時間變化的電場也應(yīng)該在空間激發(fā)磁場.麥克斯韋在研究這個問題的過程中提出了位移電流假說.既然變化的磁場可以產(chǎn)生電場，那么變化的電場會給我們一些什么新的啟發(fā)呢?與變化的電場有聯(lián)系的，就是電容器的充、放電過程.下面具體研究平行板電容器的充電過程.利用這一過程不但可以研究變化的電場，還可以直接把電場與電流聯(lián)系起來.電流(或運(yùn)動電荷)激發(fā)磁場，揭示磁場與電流之間關(guān)系的基本規(guī)律是磁介質(zhì)中的安培環(huán)路定理.磁場強(qiáng)度H沿閉合回路的線積分等于穿過以L為邊界的曲面的傳導(dǎo)電流的代數(shù)和，即現(xiàn)在把此式應(yīng)用于一個含有電容器的回路，如圖10-26所示.設(shè)電容器充電過程中某一瞬間的電流為I，其隨時間而變化.在正極板附近，選擇一個環(huán)繞導(dǎo)線L的回路，作以L為邊界的曲面S1和S2，S2在兩極板之間.圖10-26電容器的充電過程對于曲面S1來說，

∮LH·dl=I對于曲面S2來說，

∮LH·dl=0由于傳導(dǎo)電流不連續(xù)造成電容器極板上的電荷面密度隨時間變化，充電時增加，放電時減少，因而兩極板間形成變化的電場.設(shè)電容器極板的面積為S，其上的電荷面密度為σ，由于單位時間內(nèi)通過導(dǎo)線橫截面的電量即是極板上電荷的變化率，因此極板上的電量隨時間的變化率與導(dǎo)線中的電流強(qiáng)度相等，即極板上傳導(dǎo)電流密度的大小為而平行板電容器極板間電場的電位移矢量的大小等于極板上的電荷面密度，即D＝σ則有

（10-17）

再考慮一下方向，由圖10-27（a）可以看到，當(dāng)電容器充電時，極板上的電荷面密度σ增大，但仍然與極板上的jc同向.所以，式(10-17)可以寫為矢量式(10-18)圖10-27電容器充、放電電路由此可見，導(dǎo)線中的傳導(dǎo)電流I雖然在電容器極板間中斷了，可以替換它，可以等價(jià)地替換傳導(dǎo)電流密度j.若將電流的概念擴(kuò)大，那么就解決了圖10-26所示電路中電流的連續(xù)性問題.麥克斯韋提出，就電流的磁效應(yīng)而言，變化的電場也應(yīng)該是一種電流.這種電流密度與電位移矢量相聯(lián)系，所以稱為位移電流.通過某曲面的位移電流強(qiáng)度等于通過該曲面的電位移通量對時間的變化率，即(10-19)

位移電流密度為(10-20)位移電流與傳導(dǎo)電流在磁效應(yīng)方面是等價(jià)的，但物理含義卻不同.傳導(dǎo)電流起源于自由電荷的定向運(yùn)動，而位移電流與變化的電場相聯(lián)系；傳導(dǎo)電流一般在導(dǎo)體中存在，而無論在導(dǎo)體、介質(zhì)還是真空中，只要有變化的電場就存在位移電流；傳導(dǎo)電流通過導(dǎo)體時有焦耳熱產(chǎn)生，而位移電流沒有這種熱效應(yīng).全電流定律二、引入位移電流的概念后，在電容器極板處中斷的傳導(dǎo)電流I被位移電流使電路中的電流保持連續(xù)不斷.麥克斯韋提出，一般情況下電流由傳導(dǎo)電流和位移電流兩部分組成，稱為全電流，即I全=Ic+Id

(10-21)

在上述非閉合、非穩(wěn)恒電流的電路中，全電流Ic+Id是保持連續(xù)的.安培環(huán)路定理應(yīng)修正為(10-22)或(10-23)在式(10-23)中，S為以L為邊界的曲面.此式的物理含義是，H沿任意閉合回路的環(huán)流等于通過此閉合回路所圍面積的全電流，稱為全電流安培定律，簡稱全電流定律.這個定律比安培環(huán)路定理更具有普遍性，它是麥克斯韋方程組中的方程之一.這個規(guī)律揭示出不僅傳導(dǎo)電流激發(fā)磁場，位移電流也激發(fā)磁場.雖然兩種電流的性質(zhì)不同，但激發(fā)磁場的性質(zhì)卻完全相同.引入全電流定律，上述非穩(wěn)恒電路中的矛盾就得到了解決.穿過圖10-26中以L為邊界的曲面S1和S2的電流都應(yīng)為全電流.在S1處位移電流幾乎為零，只剩下傳導(dǎo)電流；而在S2處不存在傳導(dǎo)電流，只有位移電流.于是對S1:∮LH·dl=I全=I這樣，無論選擇S1或S2作為以L為邊界的曲面來計(jì)算H的環(huán)流都得到相同的確定值，不會出現(xiàn)圖10-26所示的矛盾結(jié)果了.對于任何電路，全電流永遠(yuǎn)是連續(xù)的.對圖10-26中由S1和S2組成的封閉曲面S來說，傳導(dǎo)電流I流入S1而等量的位移電流Id流出S2，所以

（10-24）式（10-24）就是全電流連續(xù)性方程.麥克斯韋方程組的積分形式三、人類對電和磁現(xiàn)象的認(rèn)識可以追溯到公元前6世紀(jì).但是兩千多年以來，一直處于定性的初級階段，電磁學(xué)形成一門完整的學(xué)科，是在18世紀(jì)制作出一些較精密的儀器后，經(jīng)過大量科學(xué)實(shí)踐，才總結(jié)出庫侖定律、安培安律、電磁感應(yīng)定律等一系列規(guī)律.又推動了生產(chǎn)力的發(fā)展，為技術(shù)革新創(chuàng)造了條件.在這種歷史背景下，麥克斯韋在總結(jié)前人成就的基礎(chǔ)上，著重從場的觀點(diǎn)研究了電磁現(xiàn)象的內(nèi)在統(tǒng)一性，極富創(chuàng)見地提出了關(guān)于感生電場和位移電流的假說，建立了完整的宏觀電磁場理論.麥克斯韋電磁場理論的基本思想是：相對時間變化的磁場會激發(fā)感生電場，而相對時間變化的電場會激發(fā)磁場.根據(jù)這一思想，如果在空間某一區(qū)域內(nèi)有變化的電場(如電荷做加速運(yùn)動)，那么在鄰近區(qū)域內(nèi)就會產(chǎn)生變化的磁場.這個變化的磁場又會在較遠(yuǎn)處產(chǎn)生變化的感生電場.這樣產(chǎn)生出來的電場也是隨著時間變化的，它必然要產(chǎn)生新的磁場.這樣，在充滿變化的電場空間，同時也充滿變化的磁場，兩者相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化.電場和磁場的統(tǒng)一體稱為電磁場.前面討論的靜電場和穩(wěn)恒磁場都只不過是電磁場的兩種特殊表現(xiàn)形式.由靜電場與穩(wěn)恒磁場性質(zhì)的規(guī)律，可知靜電場與穩(wěn)恒磁場分別從高斯定理和環(huán)路定理的角度描述了場的性質(zhì).（1）靜電場的高斯定理SD·dS=VρdV=q，說明靜電場是有源場.

（2）靜電場的環(huán)路定理∮LE·dl=0，說明靜電場為保守力場、無旋場、有勢場.（3）磁場的高斯定理SB·dS=0，說明磁場是渦旋場、無源場.（4）安培環(huán)路定理∮lH·dl=Ic，說明磁場是非保守場、有旋場.這些適用于特殊情況下的靜電場和穩(wěn)恒磁場的規(guī)律不能直接用來描述電磁場，那么統(tǒng)一的電磁場用怎樣的規(guī)律來描述呢？麥克斯韋認(rèn)為，空間任一點(diǎn)的電場都是由靜止電荷和變化磁場共同激發(fā)的.因此，空間任一點(diǎn)的場強(qiáng)E應(yīng)為靜止電荷在該點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)E1和變化磁場在該點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)E2的矢量和，即E=E1+E2

同理可得D=D1+D2式中，D為空間任一點(diǎn)的電位移矢量；D1、D2分別為靜止電荷和變化磁場在該點(diǎn)產(chǎn)生的電位移矢量.用推廣后的電位移概念計(jì)算D的通量，即由于變化磁場所產(chǎn)生的電場為渦旋場，它的電位移線是閉合的，對封閉曲面的通量無貢獻(xiàn)，即有因而

（10-25）式（10-25）就是推廣后的電場高斯定理.由式(10-24）~式(10-28)四個積分方程構(gòu)成聯(lián)立方程組，即有上式稱為麥克斯韋方程組的積分形式.方程①稱為電場的高斯定理.它反映了電場與電荷的聯(lián)系，說明電荷激發(fā)電場，這種電場的電場線是有頭有尾的.式中的D是靜電場與感生電場疊加合成的總電場的電位移矢量.由于感生電場是渦旋場，它的電場線和電位移線都是閉合的，因此，通過任一閉合曲面S的電位移通量為零.方程②是磁場的高斯定理.它反映了目前的電磁場理論認(rèn)為自然界中不存在獨(dú)立的磁荷(磁單極)這一事實(shí)，說明磁感線總是閉合的.方程③實(shí)質(zhì)上就是法拉第電磁感應(yīng)定律.式中的E是靜電場和感生電場疊加合成的總電場的場強(qiáng)，該式反映了變化的磁場能激發(fā)渦旋電場.方程④是全電流的安培環(huán)路定理.它反映了變化的電場和傳導(dǎo)電流與磁場的聯(lián)系，說明傳導(dǎo)電流和變化的電場都能激發(fā)相同性質(zhì)的磁場.在麥克斯韋方程組中，一般來說，描述電場和磁場的物理量D、E、B、H，既是空間位置坐標(biāo)的函數(shù)，又是時間的函數(shù).在特殊情況下，若它們不隨時間變化，則麥克斯韋方程的式①、式②就是靜電場的基本方程，式③、式④就是穩(wěn)恒磁場的基本方程.麥克斯韋預(yù)言了電磁場在空間的運(yùn)動和傳播將產(chǎn)生電磁波.麥克斯韋理論經(jīng)受了實(shí)踐的檢驗(yàn)，被公認(rèn)為自牛頓力學(xué)到愛因斯坦提出相對論這段時期內(nèi)，物理學(xué)發(fā)展中最重要的理論成果.1887年，年僅30歲的赫茲用實(shí)驗(yàn)證實(shí)了電磁波的存在.赫茲公布實(shí)驗(yàn)結(jié)果后，轟動了全球的科學(xué)界.由法拉第發(fā)現(xiàn)、麥克斯韋創(chuàng)立的電磁理論，至此才取得決定性的勝利.赫茲通過實(shí)驗(yàn)確認(rèn)了電磁波是橫波，具有與光類似的特性，如反射、折射、衍射等.他還實(shí)現(xiàn)了兩列電磁波的干涉，同時證實(shí)了在直線傳播時，電磁波的傳播速度與光速相同，從而全面驗(yàn)證了麥克斯韋電磁理論的正確性.此外，他還進(jìn)一步完善了麥克斯韋方程組，使它更加優(yōu)美、對稱，得出了麥克斯韋方程組的現(xiàn)代形式.在赫茲發(fā)現(xiàn)電磁波后不到六年，意大利的馬可尼和俄國的波波夫分別實(shí)現(xiàn)了無線電傳播，并很快投入實(shí)際使用.其他利用電磁波的技術(shù)也像雨后春筍般相繼問世.無線電報(bào)(1894年)、無線電廣播(1906年)、無線電導(dǎo)航(1911年)、無線電話(1916年)、短波通信(1921年)、無線電傳真(1923年)、電視(1929年)、微波通信(1933年)、雷達(dá)(1935年)，以及遙控、遙感、衛(wèi)星通信、射電天文學(xué)……它們使整個世界的面貌發(fā)生了深刻變化.隨后的許多實(shí)驗(yàn)不僅證明了光波是電磁波，并都具有電磁波的共同特性.但它們的波長(或頻率)范圍有很大差別，所以可將它們的波長(或頻率)按照一定的順序排列成譜，稱為電磁波譜，如圖10-28所示.圖10-28電磁