平面 及其方程

平面及其方程一、平面方程平面的點法式方程1.由立體幾何的知識知，過空間一點有且僅有一個平面與已知直線相垂直.據此，當已知一點M0和一個非零向量n時，可以唯一地確定一個平面π，使之過點M0且與向量n垂直.這里的向量n稱為平面的法向量，其定義如下.任意垂直于一平面的非零向量,稱為該平面的法線向量，簡稱法向量.顯然平面上的任一向量均與該平面的法向量垂直.一、平面方程當已知平面π上一點M0x0,y0,z0和其法向量n=A,B,C時，下面建立平面π的方程（見圖7-22）.圖7-22一、平面方程

首先，設Mx,y,z是平面π上的任一點，則且向量必與法向量n垂直，因此它們的數量積等于零,即由數量積的坐標表示式可得這就是平面π上任一點Mx,y,z所滿足的方程.一、平面方程反之，不在平面π上的點必不滿足此方程.假定M1=(x1,y1,z1)不在平面π上，若滿足上述方程，必有.取平面π上的任一不同于M0的點M2=(x2,y2,z2)，必有，從而必有一平面π1過M0，M1和M2三點，且.由π1過點M1，故π1必不同于π，即過點M0有兩個平面與向量n垂直，不成立.

由此可知,就是平面π的方程，而平面π即是此方程的圖形.由于此方程是由平面π上的一點M0及它的一個法向量n確定,所以稱此方程為平面的點法式方程.一、平面方程

求過點1,1,-2且以n=1,-2,5為法向量的平面的方程.解根據平面的點法式方程，得所求平面的方程為x-1-2y-1+5z+2=0，即x-2y+5z+11=0.【例1】一、平面方程

一平面過點1,0,-1且平行于向量a=(2,1,1)和b=(1,-1,0)，試求該平面的方程．

解

因所求平面平行于向量a和b，故該平面的法向量為從而所求平面的方程為1·(x-1)+1·(y-0)-3·(z+1)=0,即x+y-3z-4=0.【例2】一、平面方程平面的一般方程2.將平面的點法式方程Ax-x0+By-y0+Cz-z0=0進行整理，可得Ax+By+Cz-Ax0+By0+Cz0=0,令D=-Ax0+By0+Cz0，則點法式方程可寫為一個關于x,y,z的三元一次方程Ax+By+Cz+D=0.(7-7)一、平面方程反之，對任意三元一次方程Ax+By+Cz+D=0，任取一個滿足此方程的數組x0,y0,z0，即有Ax0+By0+Cz0+D=0，將這兩個等式相減,可得Ax-x0+By-y0+Cz-z0=0.這恰為過點x0,y0,z0且以n=A,B,C為法向量的平面方程.綜上所述，平面方程為一個三元一次方程，而任意三元一次方程Ax+By+Cz+D=0的圖形總是一個平面.因此，把三元一次方程Ax+By+Cz+D=0稱為平面的一般方程,其法向量為n=A,B,C.一、平面方程包含0系數的三元一次方程表示特殊的平面，下面討論它們關于坐標軸的相對位置,以及這樣的平面通過的特殊點或線：（1）當D=0時，方程(7-7)成為Ax+By+Cz=0，它表示一個過原點的平面.（2）當A=0時，方程(7-7)成為By+Cz+D=0，其法向量n=0,B,C垂直于x軸,它表示一個平行于x軸的平面；當B=0時，方程(7-7)成為Ax+Cz+D=0，其法向量n=A,0,C垂直于y軸,它表示一個平行于y軸的平面；當C=0時，方程(7-7)成為Ax+By+D=0，其法向量n=A,B,0垂直于z軸,它表示一個平行于z軸的平面．一、平面方程（3）當A=B=0時，方程(7-7)成為Cz+D=0，其法向量n=0,0,C同時垂直于x軸和y軸,它表示一個平行于xOy面的平面；當B=C=0時，方程(7-7)成為Ax+D=0，其法向量n=A,0,0同時垂直于y軸和z軸,它表示一個平面平行于yOz面的平面；當A=C=0時，方程(7-7)成為By+D=0，其法向量n=0,B,0同時垂直于x軸和z軸，它表示一個平行于zOx面的平面．一、平面方程

求過x軸和點4,－3,－1的平面方程.

解

因為所求平面過x軸，所以可設這平面的方程為By+Cz=0.又因這平面過點4,－3,－1，因此有關系式－3B－C=0或C=－3B，將其代入所設方程中并除以B,得所求平面方程為y－3z=0.【例3】一、平面方程平面的截距式方程3.若平面與x，y，z軸的交點依次為Pa,0,0，Q0,b,0，R0,0,c，則a，b，c依次稱為平面在x，y，z軸上的截距.當其中abc≠0時，可以由這三點坐標直接得到平面的方程.為確定平面的方程，可先設所求平面的一般方程為Ax+By+Cz+D=0.因為點Pa,0,0，Q0,b,0，R0,0,c都在這平面上，所以點P，Q，R的坐標都滿足所設方程，即一、平面方程由此得，將其代入所設方程，可得由于平面顯然不過坐標原點，即D≠0，于是方程兩側同時除以D，得此方程就稱為平面的截距式方程.一、平面方程

寫出平面3x－4y+z－5=0的截距式方程.

解

設y=z=0,由方程得從而平面在x軸上的截距為同理可得，平面在y軸上的截距為；平面在z軸上的截距為c=5.因此，平面的截距式方程為【例4】一、平面方程平面的三點式方程4.已知不共線的三點確定一個平面，下面由已知不在同一直線上的三點M1x1,y1,z1，M2x2,y2,z2，M3x3,y3,z3來確定平面方程.設Mx,y,z是平面上的任一點,則三向量共面，由向量共面的條件知這就是所求平面的方程，該方程稱為平面的三點式方程.一、平面方程

求過三點2,3,0,-2,-3,-4,0,6,0的平面方程.

解

由平面的三點式方程，得即所求平面方程為3x+2y-6z-12=0.【例5】二、兩平面的位置關系設有兩平面π1：A1x+B1y+C1z+D1=0和π2：A2x+B2y+C2z+D2=0,下面探討兩平面的位置關系.兩平面的位置關系只有兩種，平行（包括重合）或相交（包括正交，即垂直），相交就有夾角問題，把兩平面的法線向量的夾角θ稱為兩平面的夾角，由于法線有兩個方向，這里約定θ，其中兩平面平行時，其余情況下兩平面的夾角為銳角.二、兩平面的位置關系平面π1和π2的法向量分別為n1=A1,B1,C1和n2=A2,B2,C2,那么和取其為平面π1和π2的夾角θ（見圖7-23），于是.由兩向量夾角余弦的坐標表示式,可得（7-8）圖7-23二、兩平面的位置關系

求兩平面x-y-11=0和3x+8=0的夾角.

解

由公式(7-8)，得故所求夾角θ為【例6】二、兩平面的位置關系

平面過z軸，且與平面的夾角為，求此平面方程.

解

平面過z軸，則方程可設為Ax+By=0.由題意知即【例7】二、兩平面的位置關系

解得或A=-3B，所以所求平面方程為x+3y=0或-3x+y=0.平面位置關系中比較特殊的情況是平行和垂直，而兩平面平行就相當于其法向量相互平行，兩平面垂直就相當于其法向量相互垂直.設兩平面π1和π2的法向量分別為A1,B1,C1和A2,B2,C2，故π1和π2平行、垂直的充要條件分別為二、兩平面的位置關系（1）特別地，π1和π2重合（2）兩平面相交的充要條件為不全相等.注意二、兩平面的位置關系

求通過x軸，且垂直于平面5x+4y-2z+14=0的平面的方程.

解

設所求平面的法向量為n,平面5x+4y-2z+14=0的法向量為n1=5,4,-2.由題意，n⊥n1，n⊥i，故又所求平面過原點，所以其方程為0·x-2y-4z=0，即y+2z=0.【例8】三、點到平面的距離

下面討論平面外一點P0x0,y0,z0到平面Ax+By+Cz+D=0的距離d,如圖7-24所示.圖7-24三、點到平面的距離

首先在平面上任取一點P1x1,y1,z1，并設n=A,B,C為平面的法向量，則P0到這平面的距離為向量

在n上的投影的絕對值，即由數量積與投影的關系可得其中于是三、點到平面的距離

又由于P1（x1,y1,z1）在平面上，故有Ax1+By1+Cz1+D=0，因此，上式化為

于是，平面外一點P0x0,y0,z0到平面Ax+By+Cz+D=0的距離為

三、點到平面的距離

求兩平行平面π1:Ax+By+Cz+D