曲線的曲率課件

曲線的曲率一、曲率的概念我們知道不同的曲線彎曲程度是不一樣的.例如，半徑較小的圓弧曲線彎曲得比半徑較大的厲害，而同一曲線的不同部分也有不同的彎曲度，如拋物線y=x2在頂點(diǎn)附近彎曲得比遠(yuǎn)離頂點(diǎn)的部分厲害．這都要求我們對(duì)曲線的彎曲程度給出定量的刻畫.

在圖3-17中可以看出，弧段比較平直，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿這弧段從M1移動(dòng)到M2時(shí)，切線轉(zhuǎn)過的角度φ1不大，而弧段彎曲得比較厲害，切線轉(zhuǎn)過的角度φ2就比較大．也就是說，曲線的彎曲程度的大小與切線的轉(zhuǎn)角成正比．一、曲率的概念

但是，只有切線轉(zhuǎn)過的角度的大小還不能完全反應(yīng)曲線彎曲的程度．例如，在圖3-18中我們可以看出，兩段曲線弧和，盡管它們的切線轉(zhuǎn)過的角度都是φ，然而其彎曲程度并不相同，弧長(zhǎng)短的比弧長(zhǎng)長(zhǎng)的彎曲得厲害．由此可見，曲線弧的彎曲程度與曲線弧的長(zhǎng)度也有關(guān)．曲線弧的彎曲程度的大小與曲線的弧長(zhǎng)成反比．一、曲率的概念定義

設(shè)在具有連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)切線的曲線L上，有一長(zhǎng)為|Δs|的弧段，此弧段的切線轉(zhuǎn)角為|Δα|（見圖3-19），則稱比值為弧段的平均曲率，并記作，即一、曲率的概念

當(dāng)Δs→0時(shí)（即M′→M時(shí)），上述平均曲率的極限叫作曲線L在點(diǎn)M處的曲率，記作K，即在存在的條件下，K也可以表示為(3-13)一、曲率的概念

已知圓的半徑為R，求圓上：（1）任一段弧的平均曲率.（2）任一點(diǎn)的曲率.【例1】一、曲率的概念

解（1）在圓上任取一段弧，它的長(zhǎng)度為Δs（見圖3-20），根據(jù)平面幾何知識(shí)，切線的轉(zhuǎn)角Δα等于圓心角∠MDM′，于是Δs=RΔα，因此，的平均曲率為一、曲率的概念

（2）圓上任一點(diǎn)的曲率為

上述結(jié)論表示圓上任一段弧的平均曲率和任一點(diǎn)的曲率都相等，而且都等于半徑R的倒數(shù).這就是說，圓的彎曲程度處處都一樣，且半徑越小曲率越大，即圓彎曲的越厲害．

為了更方便地計(jì)算曲線在某一點(diǎn)處的曲率，我們先看弧長(zhǎng)微分的概念和計(jì)算.一、曲率的概念二、弧微分

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)．在曲線y=f(x)上取固定點(diǎn)A(x0,y0)作為度量弧長(zhǎng)的基點(diǎn)（見圖3-21），并規(guī)定以x增大的方向?yàn)榍€的正向．對(duì)曲線上任一點(diǎn)M(x,y)，規(guī)定有向弧段的值s（簡(jiǎn)稱為弧s）如下：s的絕對(duì)值等于這段弧的長(zhǎng)度，當(dāng)有向弧段的方向與曲線的正向一致時(shí)s>0，相反時(shí)s<0．顯然，弧s與x存在函數(shù)關(guān)系：s=s(x)，而且s(x)是x的單調(diào)增加函數(shù)．下面來求s(x)的導(dǎo)數(shù)及微分

設(shè)x,x+Δx為(a,b)內(nèi)兩個(gè)鄰近的點(diǎn)，它們?cè)谇€y=f(x)上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M,M′，并設(shè)對(duì)應(yīng)于x的增量Δx，弧s的增量為Δs，那么二、弧微分二、弧微分

求拋物線y=2x2－3x+1的弧微分.解由弧微分公式（3-14）得【例2】【例3】二、弧微分三、曲率的計(jì)算公式

我們通過曲率的定義，根據(jù)式（3-14）導(dǎo)出計(jì)算曲率的公式．

設(shè)曲線的直角坐標(biāo)方程是y=f(x)，且f(x)具有二階導(dǎo)數(shù)（這時(shí)f′(x)連續(xù)，從而曲線是光滑的）．因?yàn)閠anα=y′，所以于是又由式（3-14）可知，從而，根據(jù)曲率的表達(dá)式（3-13），有(3-17)設(shè)曲線由參數(shù)方程給出，則可利用參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法，求出y′及y″，代入式（3-17）便得（3-18）三、曲率的計(jì)算公式

求拋物線y=x2的曲率K及K|x=0．解y′=2x,y″=2，把y′,y″代入式（3-17）得下面利用曲率來對(duì)鐵路的彎道進(jìn)行分析.鐵路彎道的主要部分是圓弧狀的，如圖3-22中的弧AB.設(shè)半徑為R，則圓弧上每點(diǎn)的曲率為1/R.如果火車由直線軌道直接進(jìn)入圓弧軌道行駛，在直線與圓弧的聯(lián)結(jié)點(diǎn)的曲率將由零突然上升到1/R，軌道的彎曲就有一個(gè)跳躍，這樣就會(huì)影響火車的平穩(wěn)運(yùn)行，甚至出現(xiàn)脫軌.因此，在直線與圓弧之間必須接入一緩沖曲線。【例4】三、曲率的計(jì)算公式

如圖3-22中的弧OA，使軌道的曲率由零逐步地過渡到1/R.通常采用立方拋物線作為緩沖曲線，圖3-22中x軸(x<0)表示直線軌道，AB是圓弧軌道，其圓心為C，OA是立方拋物線，方程為其中L為緩沖曲線OA的長(zhǎng)度.三、曲率的計(jì)算公式

求證：當(dāng)所取L比R小得多時(shí)，緩沖曲線OA在端點(diǎn)O的曲率為零，在端點(diǎn)A的曲率近似于1/R.證明

故緩沖曲線在點(diǎn)O處的曲率為零.設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x0，由于L≈x0，于是故緩沖曲線在點(diǎn)A處的曲率為【例5】三、曲率的計(jì)算公式

因?yàn)長(zhǎng)比R小得多，所以L/2R≈0，于是KA≈1/R．因此，緩沖曲線的曲率由零逐步變化到1/R，起到了緩沖作用．在有些實(shí)際問題中，|y′|同1比較起來是很小的（|y′|<<1），可以忽略不計(jì)．這時(shí)，1+y′2≈1，曲率有近似計(jì)算公式這就是說，當(dāng)|y′|<<1時(shí)，曲率K近似于|y″|．對(duì)一些復(fù)雜問題的計(jì)算和討論就方便多了．三、曲率的計(jì)算公式四、曲率圓與曲率半徑

設(shè)曲線y=f(x)在點(diǎn)M(x,y)處的曲率為K（K≠0）．在點(diǎn)M處曲線的法線上，在凹的一側(cè)取一點(diǎn)D，使|DM|=1/K=R．以D為圓心，R為半徑畫圓（見圖3-23），這個(gè)圓叫作曲線在點(diǎn)M處的曲率圓，曲率圓的圓心D叫作曲線在點(diǎn)M處的曲率中心，曲率圓的半徑R叫作曲線在點(diǎn)M處的曲率半徑．

由上述規(guī)定可知，曲率圓與曲線在點(diǎn)M處有相同的切線和曲率，且在點(diǎn)M鄰近有相同的凹向．因此，在實(shí)際問題中，常常用曲率圓在點(diǎn)M鄰近的一段圓弧來近似替代曲線弧，使問題簡(jiǎn)化．按上述規(guī)定，曲線在點(diǎn)M處的曲率K（K≠0）與曲線在點(diǎn)M處的曲率半徑R有如下關(guān)系：

這就是說：曲線上一點(diǎn)處的曲率半徑與曲線在該點(diǎn)處的曲率互為倒數(shù)．四、曲率圓與曲率半徑

設(shè)工件表面的截線為拋物線y=0.4x2，現(xiàn)在要用砂輪磨削其內(nèi)表面，問用直徑多大的砂輪才比較合適（見圖3-24）？【例6】四、曲率圓與曲率半徑解為了在磨削時(shí)不使砂輪與工件接觸處附近的那部分工件磨去太多，砂輪的半徑應(yīng)不大于拋物線上各點(diǎn)處曲率半徑的最小值．拋物線在其頂點(diǎn)處的曲率最大，也就是說，拋物線在其頂點(diǎn)處的曲率半徑最?。虼?，只要求出拋物線y=0.4x2在頂點(diǎn)O(0,0)處的曲率半徑．由y′=0.8x，y″=0.8，而有y′|x=0=0，y″|x=0=0.8.把它們代入公式（3-17）,得K=0.8.因而求得拋物線頂點(diǎn)處的曲率半徑R=1/K=1.25.所以選用砂輪的半徑不得超過1.25個(gè)單位長(zhǎng)，即直徑不得超過2.50個(gè)單位長(zhǎng)．四、曲率圓與曲率半徑

對(duì)于用砂輪磨削一般工件的內(nèi)表面時(shí)，也有類似的結(jié)論，即選用的砂輪的半徑不應(yīng)超過這工件的內(nèi)表面的截線上各點(diǎn)處曲率半徑中的最小