冪級 數(shù)教學課件

冪級數(shù)一、函數(shù)項級數(shù)定義5如果給定一個定義在區(qū)間I上的函數(shù)序列u1(x),u2(x),…，un(x),…，那么由此函數(shù)列構(gòu)成的表達式稱為定義在區(qū)間I上的(函數(shù)項)無窮級數(shù)，簡稱(函數(shù)項)級數(shù).對于每一個確定的值x0∈I，函數(shù)項級數(shù)∑∞n=1u

n(x)成為常數(shù)項級數(shù)，即如果級數(shù)(x0)收斂，那么稱點x0是函數(shù)項級數(shù)(x)的收斂點.所有收斂點的全體稱為它的收斂域；如果級數(shù)(x0)發(fā)散，那么稱點x0是函數(shù)項級數(shù)(x)的發(fā)散點,所有發(fā)散點的全體稱為它的發(fā)散域.一、函數(shù)項級數(shù)對于收斂域內(nèi)的任意一個數(shù)x，函數(shù)項級數(shù)都成為一個收斂的常數(shù)項級數(shù)，因而有一個確定的和s.這樣，在收斂域上，函數(shù)項級數(shù)的和s可以看成是x的函數(shù)s(x)，稱此函數(shù)為函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)，這個和函數(shù)的定義域就是級數(shù)(x)的收斂域，并寫成s(x)=u1(x)+u2(x)+…+un(x)+…函數(shù)項級數(shù)的前n項和，稱為函數(shù)項級數(shù)的部分和，記作sn(x)=u1(x)+u2(x)+…+un(x)

則在收斂域上有l(wèi)imn→∞sn(x)=s(x),且稱rn(x)=s(x)-sn(x)

為函數(shù)項級數(shù)的余項，于是有l(wèi)imn→∞r(nóng)n(x)=0.二、冪級數(shù)的定義【例27】二、冪級數(shù)的定義定理9二、冪級數(shù)的定義給出的冪級數(shù)在數(shù)軸上既有收斂點(不僅是原點)又有發(fā)散點.如果從原點沿著數(shù)軸向右走，最初只遇到收斂點，然后只遇到發(fā)散點，這兩部分的分界點可能是收斂點也可能是發(fā)散點.從原點沿著數(shù)軸向左方走情形也是如此.由定理9可以證明左右分界點到原點的距離是一樣的，如圖11-1所示.在圖11-1中，R(R>0)是分界點.圖11-1二、冪級數(shù)的定義推論如果冪級數(shù)

不是僅在x=0一點收斂,也不是在整個數(shù)軸上都收斂,則必有一個完全確定的正數(shù)R存在,它具有下列性質(zhì):當|x|<R時,冪級數(shù)絕對收斂;當|x|>R時,冪級數(shù)發(fā)散;當x=R與x=-R時,冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散

正數(shù)R通常稱為冪級數(shù)的收斂半徑，(-R，R)稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間再由冪級數(shù)在x=R與x=-R處的收斂性就可以決定它的收斂域是(-R，R)，［-R，R)，(-R，R］，［-R，R］這四個區(qū)間之一.二、冪級數(shù)的定義規(guī)定：(1)冪級數(shù)只在x=0處收斂,R=0，收斂區(qū)間x=0;(2)冪級數(shù)對一切x都收斂,R=＋∞，收斂區(qū)間為(-∞，＋∞)

如何求冪級數(shù)的收斂半徑?我們有下面定理：二、冪級數(shù)的定義定理10二、冪級數(shù)的定義二、冪級數(shù)的定義二、冪級數(shù)的定義【例28】二、冪級數(shù)的定義二、冪級數(shù)的定義【例29】三、冪級數(shù)的運算性質(zhì)1三、冪級數(shù)的運算性質(zhì)2

冪級數(shù)

的和函數(shù)s(x)在收斂區(qū)間(-R，R)內(nèi)連續(xù),在端點收斂,則在端點單側(cè)連續(xù)三、冪級數(shù)的運算性質(zhì)3三、冪級數(shù)的運算性質(zhì)4冪級數(shù)

的和函數(shù)s(x)在收斂區(qū)間(-R，R)內(nèi)可導,并可逐項求導任意次.即逐項求導后所得到的