線 性 代 數(shù)課件

線性代數(shù)正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型一、定義7-5設(shè)x1,x2,…,xn；y1,y2,…,yn是兩組變量，如果由x1,x2,…,xn到y(tǒng)1,y2,…,yn的一個線性替換（7-15）的系數(shù)矩陣是一個正交矩陣，即滿足QT=Q－1，則稱這個線性替換為正交變換.設(shè)f(x1,x2,…,xn)是一個實(shí)二次型，且這個二次型的矩陣是A.于是，A是一個實(shí)對稱矩陣.根據(jù)第六章的定理6-19，存在一個正交矩陣Q，使得其中λ1,λ2,…,λn是實(shí)對稱矩陣A的特征值，Q的n個列向量η1,η2,…,ηn是A分別對應(yīng)于λ1,λ2,…,λn的特征向量，并且η1,η2,…,ηn是一個標(biāo)準(zhǔn)正交組.那么f(x1,x2,…,xn)經(jīng)過一個形如式（7-9）的正交替換X=QY的作用以后，就成為f(x1,x2,…,xn)=λ1y21+λ2y22+…+λny2n

這個新的二次型是一個標(biāo)準(zhǔn)的二次型，即為f(x1,x2,…,xn)的標(biāo)準(zhǔn)型.這樣，也就將二次型f(x1,x2,…,xn)化成了標(biāo)準(zhǔn)型.于是，就證明了以下的定理.定理7-2對于任意一個實(shí)二次型f(x1,x2,…,xn)=XTAX，存在一個正交變換X=QY，使得f(x1,x2,…,xn)=YT(QTAQ)Y=λ1y21+λ2y22+…+λny2n

而且λ1,λ2,…,λn是A的特征值，Q的列向量η1,η2,…,ηn是A分別對應(yīng)于λ1,λ2,…,λn的特征向量，并且η1,η2,…,ηn是一個標(biāo)準(zhǔn)正交組.在第六章，對于一個實(shí)對稱矩陣A，已經(jīng)給出了具體計算正交矩陣Q的方法.因此，可以利用求得的Q，構(gòu)造正交變換X=QY，將二次型f(x1,x2,…,xn)=XTAX化成標(biāo)準(zhǔn)型，這種方法稱為正交變換法.配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型二、

將一個二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型的方法不只正交變換法一種，這里再介紹一種比較簡單實(shí)用的方法——拉格朗日配方法，或簡稱為配方法.定理7-3任意一個二次型都可以經(jīng)過配方運(yùn)算化成標(biāo)準(zhǔn)型.證對變量的個數(shù)（矩陣A的階數(shù)）n進(jìn)行歸納.當(dāng)n=1時，原二次型就是f(x

1)=a11x21，已經(jīng)是標(biāo)準(zhǔn)型了.假設(shè)對于n－1個變量的二次型結(jié)論成立.那么對于（2）所有的aii（i=1,2,…,n）都為0，但是存在一個a1j≠0（j>1）.不妨設(shè)a12≠0.那么，令其中g(shù)(y1,y2,…,yn)是關(guān)于y1,y2,…,yn的一個二次型，但是其平方項的系數(shù)仍然為0.這樣上式的二次型f(x1,x2,…,xn)就變成（1）的情形了，因此結(jié)論成立.（3）如果所有的平方項的系數(shù)為零，且所有a1j=0（j>1）也為零.那么原二次型就是一個n－1個變量的二次型，由歸納假設(shè)，這個二次型也可以經(jīng)過配方化成標(biāo)準(zhǔn)型.因此，對于任意一個二次型，都可以應(yīng)用配方法，將其化成標(biāo)準(zhǔn)型.這個定理的證明也就是配方法具體的操作過程.提示利用配方法，將【例7-3】中的二次型f(x1,x2,x3)=x21－4x1x2+4x1x3－2x22+8x2x3－2x23

化成標(biāo)準(zhǔn)型.解對原二次型配方，得到【例7-4】二次型的規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)型三、c通過前面的【例7-3】和【例7-4】可知，二次型的標(biāo)準(zhǔn)型不是唯一的，并與所作的線性替換有關(guān)的.根據(jù)前面的討論，將二次型f(x1,x2,…,xn)化成標(biāo)準(zhǔn)形，就是尋求一個可逆矩陣P，使得D=PTAP

其中A是f(x1,x2,…,xn)的矩陣，D是一個對角矩陣.也就是尋求一個對角矩陣D，使A與之合同.由第三章中的性質(zhì)，有R(D)=R(PTAP)=R(A)

因此，二次型經(jīng)過非退化的線性替換X=PY前后矩陣的秩是相等的，從而，二次型的矩陣A與其標(biāo)準(zhǔn)型的矩陣D的秩相等，于是，二次型f(x1,x2,…,xn)矩陣A的秩，也稱為二次型的秩.因?yàn)閷蔷仃嘍的秩就等于其主對角線上非零元素的個數(shù).所以，二次型的標(biāo)準(zhǔn)型中系數(shù)不為0的平方項的個數(shù)是唯一確定的，與線性替換的選取是無關(guān)的.根據(jù)定理7-2及前面的討論，經(jīng)過一次非退化的線性替換，并適當(dāng)調(diào)整變量的前后順序，可以將二次型化成如下的標(biāo)準(zhǔn)型（7-16）其中di>0（i=1,2,…,r），且均為實(shí)數(shù)，r=R(A).那么再經(jīng)過一次線性替換（7-17）將式（7-17）中的二次型稱為f(x1,x2,…,xn)的規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)型.顯然，式（7-17）中的規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)型完全由r和s決定，并且其對應(yīng)的矩陣為也就是說，f(x1,x2,…,xn)的規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)型完全由式（7-12）矩陣中1和－1的個數(shù)決定.（7-18）定理7-4（實(shí)二次型的慣性定律）設(shè)f(x1,x2,…,xn)是一個實(shí)二次型.那么，經(jīng)過一個非退化線性替換，f(x1,x2,…,xn)可以化成規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)型，并且規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)型是唯一的，即式（7-17）中的r和s是唯一的.定理前半部分，前面已經(jīng)證明了.后半部分這里不做證明.前面討論了二次型的標(biāo)準(zhǔn)型中系數(shù)不為0的平方項的個數(shù)是唯一確定的.這個定理又說明，這些不為0的平方項中系數(shù)為正的個數(shù)也是唯一確定的.提示定義7-6設(shè)f(x1,x2,…,xn)為一個實(shí)二次型，其規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)型如式（7-17）所示.將式（7-17）中正平方項的個數(shù)s稱為f(x1,x2,…,xn)的正慣