1.4-與三角形有關(guān)的角（2） 帶解析-2023年升初二人教版暑假銜接教材

?1.4與三角形有關(guān)的角（2）考點(diǎn)先知考點(diǎn)先知知識(shí)考點(diǎn)三角形外角的性質(zhì)1.三角形的外角的概念2.三角形的外角的性質(zhì)3.利用三角形的外角性質(zhì)求角度4.與外角有關(guān)的模型題型精析題型精析知識(shí)點(diǎn)一三角形的外角知識(shí)點(diǎn)一三角形的外角內(nèi)容三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角.【注意】1.三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角；2.三角形的一個(gè)外角與它相鄰的內(nèi)角互補(bǔ)；3.三角形的外角和等于360°．題型一三角形的外角的概念題型一三角形的外角的概念例1如圖，在中，點(diǎn)D，E分別是邊AB，BC上的點(diǎn)，連接AE和DE，請(qǐng)寫出圖中的外角__________；的外角有__________.例1【答案】∠DEC，∠ADE；∠BEA例2如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，連接AD，作射線DE交AC于E，則△ABD例2（）A．∠ADEB．∠ADCC．∠EDCD．∠ACD【分析】根據(jù)三角形外角定義（三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角）作答．【解答】解：因?yàn)椤螦DC是邊AD與邊BD的延長線組成的角，所以∠ADC是△ABD的外角．故選：B．例3如圖，點(diǎn)B，G，C在直線上，點(diǎn)D在線段上，則下列是的外角的是（）例3A．B．C．D．【分析】三角形的一邊與另一邊的反向延長線組成的角，叫做三角形的外角．根據(jù)外角定義先找出△ABD的外角，對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行對(duì)比判斷即可解：△ABD的外角是∠BDC選項(xiàng)C中∠CDB就是∠BDC，故選：C．變1如圖，點(diǎn)B，C分別在∠EAF的邊AE，AF上，點(diǎn)D在線段AC上，則下列是△ABD的外角的是變1（）A．∠BCFB．∠CBEC．∠DBCD．∠BDF【分析】根據(jù)三角形的外角的定義得出即可．【解答】解：△ABD的一個(gè)外角是∠BDF，故選：D．變2如圖，下列角中是△ACD的外角的是（）變2A．∠EADB．∠BACC．∠ACBD．∠CAE【分析】根據(jù)三角形的外角的定義即可判斷．【解答】解：三角形的一邊與另一邊的延長線的夾角是三角形的外角，圖中∠ACB是△ACD的外角．故選：C．變3如圖，在∠1、∠2、∠3和∠4這四個(gè)角中，屬于△ABC外角的有（）變3A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)【分析】根據(jù)三角形的一條邊的延長線于另一邊的夾角叫做這個(gè)三角形的外角判斷．【解答】解：屬于△ABC外角的有∠4共1個(gè)．故選：A．題型二三角形外角的性質(zhì)題型二三角形外角的性質(zhì)例1如圖，已知△ABC，∠1是它的一個(gè)外角，點(diǎn)E為邊AC上一點(diǎn)，點(diǎn)D在邊BC的延長線上，連接DE例1A．∠1＞∠2B．∠1＞∠3C．∠3＞∠5D．∠4＞∠5【分析】三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)不相鄰的內(nèi)角，根據(jù)以上知識(shí)點(diǎn)逐個(gè)判斷即可．【解答】解：A、∵∠3＞∠2，∠1＞∠3，∴∠1＞∠2，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、∠1＞∠3，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、∠3＞∠5，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、不能比較∠4和∠5的大小，故本選項(xiàng)正確；故選：D．例2如圖，已知點(diǎn)p是內(nèi)的一點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，連接，給出下列結(jié)論：①；②；③，其中正確的為（）例2A．只有①B．只有②C．只有①②D．①②③【答案】D【分析】由三角形外角的性質(zhì)可得、、和之間大小關(guān)系，即可得到答案．【詳解】解：是的外角，，，故①正確；是的外角，，故②③正確；綜上，①②③正確；故選：D．變1如圖，在△ABC中，∠3是它的一個(gè)外角，E為邊AC上一點(diǎn)，D在BC的延長上，則∠1、∠2、∠3之間的關(guān)系是（）變1A．∠3＞∠2＞∠1B．∠2＞∠3＞∠1 C．∠3=∠1+∠2D．∠1+∠2+∠3=180°【分析】根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得出∠3＞∠2，∠2＞∠1，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵在△ABC中，∠3是它的一個(gè)外角，∴∠3＞∠2，又∵∠2是△CDE的外角，∴∠2＞∠1，∴∠3＞∠2＞∠3；故選：A．變2如圖，下列哪種說法不正確（）變2A．∠B+∠ACB＜180°B．∠B+∠ACB＝180°-∠A C．∠B＞∠ACDD．∠HEC＞∠B【分析】根據(jù)三角形的外角性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理判斷即可．【解答】解：A、在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB＝180°，∴∠B+∠ACB＜180°，本選項(xiàng)說法正確，不符合題意；B、在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB＝180°，∴∠B+∠ACB＝180°﹣∠A，本選項(xiàng)說法正確，不符合題意；C、∵∠ACD是△ACB的一個(gè)外角，∴∠B＜∠ACD，本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，符合題意；D、∵∠HEC＞∠ACD，∠ACD＞∠B，∴∠HEC＞∠B，本選項(xiàng)說法正確，不符合題意；故選：C．題型三利用外角性質(zhì)求角度題型三利用外角性質(zhì)求角度例1如圖，在中，是延長線上一點(diǎn)，，，則（）例1A．B．C．D．【分析】由，直接可得答案．【解答】解：，，，故選：．變1如圖，在中，，，延長到，則的度數(shù)為（）變1A．B．C．D．【分析】由三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)果．【解答】解：由三角形的外角性質(zhì)得：；故選：．例2如圖，將三角尺的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，，則的度數(shù)為（）例2A．25°B．26°C．27°D．28°【答案】A【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】解：，，，故選：A．例3如圖，，則（）例3A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，再根據(jù)鄰補(bǔ)角，用表示出，最后根據(jù)三角形的外角即可求解．【詳解】解：如圖所示，∵，∴，∵，∴，∵是外角，即，∴，∴，故選：．變2如圖，，點(diǎn)E在上，若，，則的度數(shù)是（）變2A．30°B．50°C．100°D．80°【答案】D【分析】根據(jù)得到，結(jié)合計(jì)算判斷即可．【詳解】∵，∴，∴，故選D．變3欣欣在觀察“抖空竹”時(shí)發(fā)現(xiàn)，可以將某一時(shí)刻的情形抽象成數(shù)學(xué)問題：如圖，已知，，，則的度數(shù)是（）變3A．23°B．26°C．28°D．32°【答案】C【分析】延長交于，依據(jù)，，可得，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)，即可得到．【詳解】解：如圖，延長交于，，，，又，，故選：C．例4將一副三角尺按如圖所示的方式疊放，則的度數(shù)為（）例4A．45°B．60°C．75°D．15°【答案】C【分析】先求出和的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)求解即可．【詳解】解：由三角板的性質(zhì)可得：，，∴，故選C．例5一副直角三角板如圖放置，點(diǎn)C在的延長線上，，，則的度數(shù)為（）例5A．15°B．18°C．25°D．30°【答案】A【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可以得到，再根據(jù)三角形的外角和內(nèi)角的關(guān)系，即可計(jì)算出的度數(shù)．【詳解】解：，，，，，，故選：A．變4一副三角板如圖方式放置，其中，，點(diǎn)、分別在，上，與相交于點(diǎn)，，則的度數(shù)為（）變4A．85°B．75°C．60°D．50°【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再結(jié)合外角的性質(zhì)求解即可．【詳解】故選：B

．變5將一副直角三角板如圖放置，使兩直角重合，則∠DFB的度數(shù)為（）變5A．145°B．155°C．165°D．175°【分析】利用三角形的外角性質(zhì)可求出∠AFD的度數(shù)，再利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)可求出∠DFB的度數(shù)．【解答】解：∵∠CDF＝∠A+∠AFD，∴∠AFD＝∠CDF﹣∠A＝45°﹣30°＝15°．又∵∠DFB+∠AFD＝180°，∴∠DFB＝180°﹣∠AFD＝180°﹣15°＝165°．故選：C．例6如圖，在中，，，，則的度數(shù)是（）例6A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)先求出，進(jìn)而可求出的度數(shù)．【詳解】∵，，，∴．∵，∴．故選C．例7如圖，是中的平分線，是的外角的平分線，如果，，則（）例7A．70°B．80°C．90°D．100°【答案】C【分析】根據(jù)角平分線的定義以及一個(gè)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和，可求出的度數(shù)，根據(jù)補(bǔ)角的定義求出的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可求出的度數(shù)，即可求出結(jié)果．【詳解】解：是中的平分線，是的外角的平分線，又，，，，，，，，，，故選：C．變6如圖，在中，為邊上的一點(diǎn)，，，，則的度數(shù)______．變6【答案】##度【分析】設(shè)，再用表示出的度數(shù)，由三角形內(nèi)角和定理得出的度數(shù)，進(jìn)而可得出的值，由此得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)，則．，，即，，．故答案為：變7如圖，，，，點(diǎn)、、三點(diǎn)在一條直線上，，，則度數(shù)為（）變7A．B．C．D．【答案】B【詳解】∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴．故選：B．題型四利用外角性質(zhì)求角度（折疊）題型四利用外角性質(zhì)求角度（折疊）例1將紙片沿折疊使點(diǎn)A落在點(diǎn)處，若，則的度數(shù)為______．例1【答案】##度【分析】先由折疊的性質(zhì)得到，再由三角形外角的性質(zhì)推出，據(jù)此求解即可．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可知，∵，∴，∵，∴，故答案為：．例2如圖，將△ABC沿AB邊上的中線CD折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，連接AB′．若∠BDC=30°，則∠BAB′的度數(shù)為（例2A．25°B．30°C．45°D．60°【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)計(jì)算判斷即可．∵△ABC沿AB邊上的中線CD折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，∠BDC＝30°，∴∠BDC＝∠B′DC＝30°，B′D=BD=AD，∴∠BAB′＝∠AB′D，∠BAB′+∠AB′D=60°，B′D=BD=AD，∴∠BAB′＝30°，故選B．例3如圖，在中，，點(diǎn)D、E分別在上，將沿折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)F處．則（）例3A．20°B．30°C．40°D．50°【分析】先利用平角用∠1表示出∠BDF，再利用三角形的內(nèi)角和定理及推論用∠1表示出∠CEF，兩式相減可得結(jié)論．【詳解】如圖，∵△DEF是由△DEA折疊成的，∴∠1=∠2，∠3=∠DEF．∵∠BDF+∠1+∠2=180°，∴∠BDF=180°-2∠1．∵∠CEF+∠CED=∠DEF，∠CED=∠1+∠A，∠3+∠1+∠A=180°，∴∠CEF=∠3-∠CED=180°-∠1-∠A-∠1-∠A=180°-2∠1-40°=140°-2∠1．∴∠BDF-∠CEF=180°-2∠1-（140°-2∠1）=180°-2∠1-140°+2∠1=40°．故選：C．變1如圖，中，，，點(diǎn)D為邊上一點(diǎn)，將沿直線折疊后，點(diǎn)C落到點(diǎn)E處，若，則的度數(shù)為______．變1【答案】##110度【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到，由折疊的性質(zhì)得到，，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵，，∴，由折疊的性質(zhì)得，，，∵，∴，∴，∴，故答案為：．變2如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCDE的外面時(shí)，此時(shí)測(cè)得∠1=112°，∠A=40°，則∠2的度數(shù)為（）變2A．32°B．33°C．34°D．38°【分析】由折疊的性質(zhì)可知，再由三角形外角的性質(zhì)即可求出的大小，再次利用三角形外角的性質(zhì)即可求出的大?。鐖D，設(shè)線段和線段交于點(diǎn)F．由折疊的性質(zhì)可知．∵，即，∴．∵，即，∴．題型五與外角有關(guān)的模型題型五與外角有關(guān)的模型例1例1【答案】∠BDC=∠A+∠B+∠C例2如圖，，，，則的度數(shù)為______．例2【答案】##105度【分析】過點(diǎn)A，C，作射線，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可求得的度數(shù)．【詳解】解：過點(diǎn)A，C，作射線，如圖∵，∴∵，，，∴故答案為：變1如圖，一種機(jī)械工件，經(jīng)測(cè)量得∠A=20°，∠C=27°，∠D=45°．那么不需工具測(cè)量，可知∠ABC=______°．變1【答案】92【分析】延長CB，交AD于點(diǎn)E，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠AEC=∠C+∠D=72°，∠ABC=∠A十∠AEC=92°．【詳解】延長CB，交AD于點(diǎn)E．∵∠C=27°，∠D=45°，∴∠AEC=∠C+∠D=72°，∵∠A=20°，∴∠ABC=∠A+∠AEC=92°．故答案為92°．變2如圖所示，點(diǎn)D是內(nèi)一點(diǎn)，若，，，則的大小為（）變2A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖：，，，，，故選：B．例3如圖，，交于點(diǎn)．求證：．例3例4如圖，______度．例4【答案】【分析】先由三角形的外角的性質(zhì)得出，，，繼而利用三角形外角和等于360°即可得出答案．【詳解】解：如圖所示，∵，，，∴，又∵、、是的三個(gè)不同的外角，∴，∴．故答案為：．變3如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)為______.變3【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和四邊形內(nèi)角和等于360°可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)．【解答】解：如圖，∵∠1=∠2+∠F=∠B+∠E+∠F，∠1+∠A+∠C+∠D=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°，故答案為：360°．變4如圖，的度數(shù)為______度．變4【答案】【分析】如圖，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，利用外角的性質(zhì)，得到：進(jìn)而得到：，即可得解．【詳解】解：如圖，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則：，∴．故答案為：．課后強(qiáng)化課后強(qiáng)化1.如圖，，，中是外角的是（）A．，B．，C．，D．，，【詳解】屬于外角的有．故選C．2.如圖，是的一個(gè)外角，是邊上一點(diǎn)，連接，下列結(jié)論不一定正確的是（）A．B．C．D．、【分析】三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)不相鄰的內(nèi)角，根據(jù)以上知識(shí)點(diǎn)逐個(gè)判斷即可．【解答】解：、是的一個(gè)外角，則，不符合題意．、是的一個(gè)外角，則是的一個(gè)外角，與無法比較大小，符合題意．、是的一個(gè)外角，則，不符合題意．、是的一個(gè)外角，則，不符合題意．故選：．3.觀察如圖，填空：（1），；（2）用“＞”或“＜”填空：；．【答案】(1)，，；(2)＞，＞【分析】（1）根據(jù)三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和即可得出答案；（2）根據(jù)三角形的外角大于和它不相鄰的其他內(nèi)角．【詳解】（1）解：，；故答案為：，，；（2）解：用“＞”或“＜”填空：；，故答案為：＞，＞．4.如圖，下列結(jié)論中不一定正確的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解∶根據(jù)題意，得，，，，∴，∴選項(xiàng)A、B、C都正確，無法判斷，的大小，故選項(xiàng)D不一定正確．故選：D．5.將一副直角三角板按如圖所示的位置放置，兩直角三角板各有一條直角邊在同一條直線上，則的度數(shù)是（）A．B．C．D．【分析】由題意可得，利用三角形的內(nèi)角和可求得，則由對(duì)頂角相等得，再利用三角形的外角性質(zhì)即可求的度數(shù)．【解答】解：如圖，由題意得：，，，，．故選：．6.如圖，直線，，，則度數(shù)是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，然后利用三角形外角的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：，，∴，，，故選：C．7.如圖，a//b，，，則的度數(shù)是______．【答案】##50度【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)三角形的外角可得，從而可得，最后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：如圖：∵，∴，∵是的一個(gè)外角，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故答案為：．8.一副三角板，按如圖所示疊放在一起，則圖中的度數(shù)為（）A．65°B．75°C．85°D．95°【答案】B【分析】根據(jù)三角板中角度的特點(diǎn)求出的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出的度數(shù)即可．【詳解】解：由題意得，，∴，∴，故選B．9.如圖，在銳角三角形中，和分別是和邊上的高，且和相交于點(diǎn)P，若，則的度數(shù)是（）A．B．C．D．【答案】C【分