理論力學教程哈工大

緒論 2第一章靜力學公理和物體的受力分析 3§1-1剛體和力的概念 3§1-2靜力學公理 4§1-3約束和約束反力 8§1-4物體的受力分析和受力圖 13第二章平面匯交力系與平面力偶系 20§2-1平面匯交力系合成與平衡的幾何法 20§2-2平面匯交力系合成與平衡的解析法 25§2-3平面力對點之矩的概念及計算 30§2-4平面力偶理論 34第三章平面任意力系 41§3-1平面任意力系向作用面內一點簡化 41§3-2平面任意力系的簡化結果分析 45§3-3平面任意力系的平衡條件和平衡方程 48§3-4平面平行力系的平衡方程 54§3-5物體系的平衡·靜定和靜不定問題 56§3-6平面簡單桁架的內力計算 63第四章空間力系 69§4-1空間匯交力系 69§4-2力對點的矩和力對軸的矩 75§4-3空間力偶 81§4-4空間任意力系向一點的簡化·主矢和主矩 85§4-5空間任意力系的簡化結果分析 87§4-6空間任意力系的平衡方程 89§4-7空間約束的類型舉例 90§4-8空間力系平衡問題舉例 92§4-9重心 98第五章摩擦 109§5-1滑動摩擦 109§5-2考慮摩擦時物體的平衡問題 111§5-3摩擦角和自鎖現(xiàn)象 120§5-4滾動摩阻的概念 124小結 128緒論一、理論力學的研究對象和內容理論力學是研究物體機械運動一般規(guī)律的科學。物體在空間的位置隨時間的改變，稱為機械運動。機械運動是人們生活和生產(chǎn)實踐中最常見的一種運動。平衡是機械運動的特殊情況。在客觀世界中，存在各種各樣的物質運動，例如發(fā)熱、發(fā)光和發(fā)生電磁場等物理現(xiàn)象，化合和分解等化學變化，以及人的思維活動等。在物質的各種運動形式中，機械運動是最簡單的一種。物質的各種運動形式在一定的條件下可以相互轉化，而且在高級和復雜的運動中，往往存在著簡單的機械運動。本課程研究的內容是速度遠小于光速的宏觀物體的機械運動，它以伽利略和牛頓總結的基本定律為基礎，屬于古典力學的范疇。至于速度接近于光速的物體和基本粒子的運動，則必須用相對論和量子力學的觀點才能完善地予以解釋。宏觀物體遠小于光速的運動是日常生活及一般工程中最常遇到的，古典力學有著最廣泛的應用。理論力學所研究的則是這種運動中最一般、最普遍的規(guī)律，是各門力學分支的基礎。本課程的內容包括以下三個部分:靜力學——主要研究受力物體平衡時作用力所應滿足的條件;同時也研究物體受力的分析方法，以及力系簡化的方法等。運動學——只從幾何的角度來研究物體的運動(如軌跡、速度和加速度等)，而不研究引起物體運動的物理原因。動力學——研究受力物體的運動與作用力之間的關系。二、理論力學的研究方法研究科學的過程，就是認識客觀世界的過程，任何正確的科學研究方法，一定要符合辯證唯物主義的認識論。理論力學也必須遵循這個正確的認識規(guī)律進行研究和發(fā)展。1·通過觀察生活和生產(chǎn)實踐中的各種現(xiàn)象，進行多次的科學實驗，經(jīng)過分析、綜合和歸納，總結出力學的最基本的規(guī)律。遠在古代，人們?yōu)榱颂崴?，制造了擄?為了搬運重物，使用了杠桿、斜面和滑輪;為了利用風力和水力，制造了風車和水車，等等。制造和使用這些生活和生產(chǎn)工具，使人類對于機械運動有了初步的認識，并積累了大量的經(jīng)驗，經(jīng)過分析、綜合和歸納，逐漸形成了如"力"和"力矩"等基本概念，以及如"二力平衡"、"杠桿原理"、"力的平行四邊形規(guī)則"和"萬有引力定律"等力學的基本規(guī)律，并總結于科學著作中。我國的墨翟(公元前468一前382年)所著的《墨經(jīng)大是一部最早記述有關力學理論的著作。人們?yōu)榱苏J識客觀規(guī)律，不僅在生活和生產(chǎn)實踐中進行觀察和分析，還要主動地進行實驗，定量地測定機械運動中各因素之間的關系，找出其內在規(guī)律性。例如枷利略(公元1564一1642年)對自由落體和物體在斜面上的運動作了多次實驗，從而推翻了統(tǒng)治多年的錯誤觀點，并引出"加速度"的概念。此外，如摩擦定律、動力學三定律等，都是建立在大量實驗基礎之上的。實驗是形成理論的重要基礎。2·在對事物觀察和實驗的基礎上，經(jīng)過抽象化建立力學模型，形成概念，在基本規(guī)律的基礎上，經(jīng)過邏輯推理和數(shù)學演繹，建立理論體系?？陀^事物都是具體的、復雜的，為找出其共同規(guī)律性，必須抓住主要因素，舍棄次要因素，建立抽象化的力學模型。例如，忽略一般物體的微小變形，建立受力不變形狀的剛體模型;抓住不同物體間機械運動的相互限制的主要方面，建立一些典型的理想約束模型;為分析復雜的振動現(xiàn)象，建立了彈簧質點的力學模型等。這種抽象化、理想化的方法，一方面簡化了所研究的問題，另一方面也更深刻地反映出事物的本質。當然，任何抽象化的模型都是相對的。當條件改變時，必須再考慮到影響事物的新的因素，建立新的模型。例如:在研究物體受外力作用而平衡時，可以忽略物體形狀的改變，采用剛體模型;但要分析物體內部的受力狀態(tài)或解決一些復雜物體系的平衡問題時，必須考慮到物體的變形，建立彈性體的模型。生產(chǎn)實踐中的問題是復雜的，不是一些零散的感性知識所能解決的。理論力學成功地運用邏輯推理和數(shù)學演繹的方法，由少量最基本的規(guī)律出發(fā)，得到了從多方面揭示機械運動規(guī)律的定理、定律和公式，建立了嚴密而完整的理論體系。這對于理解、掌握以及應用理論力學都是極為有利的。數(shù)學方法在理論力學的發(fā)展中起了重大的作用。近代計算機的發(fā)展和普及，不僅能完成力學問題中大量的繁雜的數(shù)值計算，而且在邏輯推演、公式推導等方面也是極有效的工具。3.將理論力學的理論用于實踐，在解釋世界、改造世界中不斷得到驗證和發(fā)展。實踐是檢驗真理的唯一標準，實踐中所遇到的新問題又是促進理論發(fā)展的源泉。古典力學理論在現(xiàn)實生活和工程中，被大量實踐驗證為正確，并在不同領域的實踐中得到發(fā)展，形成了許多分支，如剛體力學、彈塑性力學、流體力學、生物力學等。大到天體運動，小到基本粒子的運動，古典力學理論在實踐中又都出現(xiàn)了矛盾，表現(xiàn)出真理的相對性。在新條件下，必須修正原有的理論，建立新的概念，d能正確指導實踐，改造世界，并進一步地發(fā)展力學理論，形成新的力學分支。三、學習理論力學的目的理論力學是一門理論性較強的技術基礎課。學習理論力學的目的是:1.工程專業(yè)一般都耍接觸機械運動的問題。有些工程問題可以直接應用理論力學的基本理論去解決，有些比較復雜的問題，則需要用理論力學和其它專門知識共同來解決。所以學習理論力學是為解決工程問題打下一定的基礎。2.理論力學是研究力學中最普遍、最基本的規(guī)律。很多工程專業(yè)的課程，例如材料力學、機械原理、機械設計、結構力學、彈塑性力學、流體力學、飛行力學、振動理論、斷裂力學以及許多專業(yè)課程等，都要以理論力學為基礎，所以理論力學是學習一系列后續(xù)課程的重要基礎。隨著現(xiàn)代科學技術的發(fā)展，力學的研究內容己滲人到其它科學領域，例如固體力學和流體力學的理論被用來研究人體內骨鉻的強度，血液流動的規(guī)律，以及植物中營養(yǎng)的輸送問題等，形成了生物力學;流體力學的理論被用來研究等離子體在磁場中的運動，形成電磁流體力學;還有爆炸力學、物理力學等都是力學和其它學科結合而形成的邊緣科學。這些新興學科的建立郡必須以堅實的理論力學知識為基礎。3.理論力學的研究方法，與其它學科的研究方法有不少相同之處，因此充分理解理論力學的研究方法，不僅可以深人地掌握這門學科，而且有助于學習其它科學技術理論，有助于培養(yǎng)辯證唯物主義世界觀，培養(yǎng)正確的分析問題和解決問題的能力，為今后解決生產(chǎn)實際問題，從事科學研究工作打下基礎。第一章靜力學公理和物體的受力分析靜力學的基本概念、公理及物體的受力分析是研究靜力學的基礎。本章將介紹剛體與力的概念及靜力學公理，并闡述工程中常見的約束和約束反力的分析。最后介紹物體的受力分析及受力圖，它是解決力學問題的重要環(huán)節(jié)?！?-1剛體和力的概念1．剛體的概念所謂剛體是指這樣的物體，在力的作用下，其內部任意兩點之間的距離始終保持不變。這是一個理想化的力學模型。實際物體在力的作用下，都會產(chǎn)生程度不同的變形。但是，這些微小的變形，對研究物體的平衡問題不起主要作用，可以略去不計，這樣可使問題的研究大為簡化。但是不應該把剛體的概念絕對化。例如，在研究飛機的平衡問題或飛行規(guī)律時，我們可以把飛機看作剛體;可是在研究飛機的顫振問題時，機翼等的變形雖然非常微小，但必須把飛機看作彈性體。還有，在計算某些工程結構時，如果不考慮它們的變形，而仍使用剛體的概念，則問題將成為不可解的。理論力學中，靜力學研究的物體只限于剛體，故又稱剛體靜力學，它是研究變形體力學的基礎。2．力的概念力的概念是從勞動中產(chǎn)生的。人們在生活和生產(chǎn)中，由于肌肉緊張收縮的感覺，逐漸產(chǎn)生了對力的感性認識。隨著生產(chǎn)的發(fā)展，又逐漸認識到:物體的機械運動狀態(tài)的改變(包括變形)，都是由于其它物體對該物體施加力的結果。這樣，逐步由感性到理性，建立了抽象的力的概念。力是物體間相互的機械作用，這種作用使物體的機械運動狀態(tài)發(fā)生變化。物體之間的機械作用，大致可分為兩類，一類是接觸作用，例如:機車牽引車廂的拉力，物體之間的擠壓力等。另一類是"場"對物體的作用，例如:地球引力場對物體的引力，電場對電荷的引力或斥力等。盡管各種物體間相互作用力的來源和性質不同，但在力學中將撇開力的物理本質，只研究各種力的共同表現(xiàn)，即力對物體產(chǎn)生的效應。力對物體產(chǎn)生的效應一般可分為兩個方面:一是物體運動狀態(tài)的改變，另一個是物體形狀的改變。通常把前者稱為力的運動效應，后者稱為力的變形效應。理論力學中把物體都視為剛體，因而只研究力的運動效應，即研究力使剛體的移動或轉動狀態(tài)發(fā)生改變這兩方面的效應。實踐表明，力對物體的作用效果應決定于三個要素:(1)力的大小;(2)力的方向，(3)力的作用點。我們可用一個矢量來表示力的三個要素，如圖1-1所示。這矢量的長度(AB)按一定的比例尺表示力的大小;矢量的方向表

示力的方向;矢量的始端(點A)表示力的作用點;矢量所沿著的直線(圖1-1上的虛線)表示力的作用線。我們常用黑體字母表示力的矢量，而用普通宇母表示力的大小。若以表示沿矢量方向的單位矢(圖1-2)，則力矢可寫成=即力的矢量可以用它的模（即力的矢量大?。┖蛦挝皇噶康某朔e表示。在國際單位制（SI）中，以“N”作為力的單位符號，稱作牛[頓]。有時也以“kN”作為力的單位符號，稱作千牛[頓]。§1-2靜力學公理公理是人們在生活和生產(chǎn)實踐中長期積累的經(jīng)驗總結，又經(jīng)過實踐反復檢驗，被確認是符合客觀實際的最普遍、最一般的規(guī)律。公理1力的平行四邊形規(guī)則作用在物體上同一點的兩個力，可以合成為一個合力。合力的作用點也在該點，合力的大小和方向，由這兩個力為邊構成的平行四邊形的對角線確定，如圖1-3a所示?；蛘哒f，合力矢等于這兩個力矢的幾何和，即=+(1-1)應用此公理求兩匯交力合力的大小和方向(即合力矢)時，可由任一點0起，另作一力三角形，如圖1-3b、c所示。力三角形的兩個邊分別為力矢和，第三邊，即代表合力矢，而合力的作用點仍在匯交點A。這個公理表明了最簡單力系的簡化規(guī)律，它是復雜力系簡化的基礎。公理2二力平衡條件作用在剛體上的兩個力，使剛體保持平衡的必要和充分條件是這兩個力的大小相等，方向相反，且在同一直線上，如圖1-4所示，即=-(1-2)這個公理表明了作用于剛體上的最簡單的力系平衡時所必須滿足的條件。公理3加減平衡力系原理在已知力系上加上或減去任意的平衡力系，并不改變原力系對剛體的作用。就是說，如果兩個力系只相差一個或幾個平衡力系，則它們對剛體的作用是相同的，因此可以等效替換。這個公理是研究力系等效變換的重要依據(jù)。根據(jù)上述公理可以導出下列推理:推理1力的可傳性作用于剛體上某點的力，可以沿著它的作用線移到剛體內任意一點，并不改變該力對剛體的作用。證明:設有力作用在剛體上的點A，如圖1-5a所示。根據(jù)加減平衡力系原理，可在力的作用線上任取一點B，并加上兩個相互平衡的力和，使==-，如圖1-5b所示。由于力和也是一個平衡力系，故可除去;這樣只剩下一個力，如圖1-5c所示。于是，原來的這個力與力系(、、)以及力均等效，即原來的力沿其作用線移到了點B。由此可見，對于剛體來說，力的作用點己不是決定力的作用效應的要素，它已為作用線所代替。因此，作用于剛體上的力的三要素是:力的大小、方向和作用線。作用于剛體上的力可以沿著作用線移動，這種矢量稱為滑動矢量。推理2三力平衡匯交定理作用于剛體上三個相互平衡的力，若其中兩個力的作用線匯交于一點，則此三力必在同一平面內，且第三個力的作用線通過匯交點。證明:如圖1-6所示，在剛體的A、B、C三點上，分別作用三個相互平衡的力、、。根據(jù)力的可傳性，將力和移到匯交點0，然后根據(jù)力的平行四邊形規(guī)則，得合力。則力應與平衡。由于兩個力平衡必需共線，所以力必定與力和共面，且通過力與的交點O。于是定理得證。公理4作用和反作用定律作用力和反作用力總是同時存在，兩力的大小相等、方向相反，沿著同一直線，分別作用在兩個相互作用的物體上。這個公理概括了物體間相互作用的關系，表明作用力和反作用力總是成對出現(xiàn)的。下面舉一個實例來說明。如圖1-7a所示，放置在基座上的電動機，受重力和基座的兩個反力和的作用(圖1-7b)。重力是地球對電動機的吸引力，作用在電動機上;同時，電動機對地球也有一個吸引力＇作用在地球上(圖1-7c)，這兩個力是作用力和反作用力，兩者等值、反向共線，即=-＇。此外，電動機對基座也作用兩個壓力＇，和＇，其中力與＇、力與＇是作用力與反作用力關系，即=-＇、=-＇。今后，作用力和反作用力用同一字母表示，但其中之一，在字母的上方加一“＇”。必須強調指出，由于作用力與反作用力分別作用在兩個物體上，因此，不能認為作用力與反作用力相互平衡。公理5剛化原理變形體在某一力系作用下處于平衡，如將此變形體剛化為剛體，其平衡狀態(tài)保持不變。這個公理提供了把變形體看作為剛體模型的條件。如圖1-8所示，繩索在等值、反向、共線的兩個拉力作用下處于平衡，如將繩索剛化成剛體，其平衡狀態(tài)保持不變。若繩索在兩個等值、反向、共線的壓力作用下并不能平衡，這時繩索就不能剛化為剛體。但剛體在上述兩種力系的作用下都是平衡的。由此可見，剛體的平衡條件是變形體平衡的必要條件，而非充分條件。在剛體靜力學的基礎上，考慮變形體的特性，可進一步研究變形體的平衡問題。靜力學全部理論都可以由上述五個公理推證而得到，如前述的推理1和推理2。本篇基本上采用這種邏輯推演的方法，建立靜力學的理論體系。這一方面能保證理論體系的完整和嚴密性，另一方面也可以培養(yǎng)讀者的邏輯思維能力。然而，對于某些易于理解而推證過程又比較繁瑣的個別結論，本書將省略其證明過程，直接給出結論，以便于應用。讀者也可自行推證?！?-3約束和約束反力有些物體，例如：飛行的飛機、炮彈和火箭等，它們在空間的位移不受任何限制。位移不受限制的物體稱為自由體。相反有些物體在空間的位移卻要受到一定的限制。如機車受鐵軌的限制，只能沿軌道運動;電機轉子受軸承的限制，只能繞軸線轉動;重物由鋼索吊住，不能下落等。位移受到限制的物體稱為非自由體。對非自由體的某些位移起限制作用的周圍物體稱為約束。例如，鐵軌對于機車，軸承對于電機轉子，鋼索對于重物等，都是約束。既然約束阻礙著物體的位移，也就是約束能夠起到改變物體運動狀態(tài)的作用，所以約束對物體的作用，實際上就是力，這種力稱為約束反力，簡稱反力。因此，約束反力的方向必與該約束所能夠阻礙的位移方向相反。應用這個準則，可以確定約束反力的方向或作用線的位置。至于約束反力的大小則是未知的。在靜力學問題中，約束反力和物體受的其它已知力(稱主動力)組成平衡力系，因此可用平衡條件求出未知的約束反力。下面介紹兒種在工程中常遇到的簡單的約束類型和確定約束反力方向的方法。1．具有光滑接觸表面的約束例如，支持物體的固定面(圖1-9a、b)、嚙合齒輪的齒面(圖1-10)、機床中的導軌等，當摩擦忽略不計時，都屬于這類約束。這類約束不能限制物體沿約束表面切線的位移，只能阻礙物體沿接觸表面法線并向約束內部的位移。因此，光滑支撐面對物體的約束反力，作用在接觸點處，方向沿接觸表面的公法線，并指向受力物體。這種約束反力稱為法向反力，通常用表示，如圖1-9中的、和圖1-10中的，等。2．由柔軟的繩索、鏈條或膠帶等構成的約束細繩吊往重物，如圖1-lla所示。由于柔軟的繩索本身只能承受拉力(圖1-llb)，所以它給物體的約束反力也只可能是拉力(圖1-Ilc)。因此，繩索對物體的約束反力，作用在接觸點，方向沿著繩索背離物體。通常用或表示這類約束反力。鏈條或膠帶也都只能承受拉力。當它們繞在輪子上，對輪子的約束反力沿輪緣的切線方向(圖1-12)。

3．光滑鉸鏈約束這類約束有向心軸承、圓柱形鉸鏈和固定鉸鏈支座等。(1)向心軸承(徑向軸承)圖1-13a、b所示為軸承裝置，可畫成如圖1-13c所示的簡圖。軸可在孔內任意轉動，也可沿孔的中心線移動;但是，軸承阻礙著軸沿徑向向外的位移。忽略摩擦，當軸和軸承在某點A光滑接觸時，軸承對軸的約束反力作用在接觸點A，且沿公法線指向軸心(圖1-13a)。但是，隨著軸所受的主動力不同，軸和孔的接觸點的位置也隨之不同。所以，當主動力尚未確定時，約束反力的方向預先不能確定。然而，無論約束反力朝向何方，它的作用線必垂直于軸線并通過軸心。這樣一個方向不能預先確定的約束反力，通?？捎猛ㄟ^軸心的兩個大小未知的正交分力、來表示，如圖1-13b或c所示，、的指向暫可任意假定。(2)圓柱鉸鏈和固定鉸鏈支座圖1-14a所示的拱形橋，它是由兩個拱形構件通過圓柱鉸鏈C以及固定鉸鏈支座A和B連接而成。圓柱鉸鏈簡稱鉸鏈，它是由銷釘C將兩個鉆有同樣大小孔的構件連接在一起而成(圖1-14c)，其簡圖如圖1-14a的鉸鏈C。如果鉸鏈連接中有一個固定在地面或機架上作為支座，則這種約束稱為固定鉸鏈支座，簡稱固定鉸支，如圖1-14c中所示的支座B。其簡圖如圖1-14a所示的固定鉸鏈支座A和B。在分析鉸鏈C處的約束反力時，通常把銷釘C固連在其中任意一個構件上，如構件II;則構件I、II互為約束。顯然，當忽略摩擦時，構件II上的銷釘與構件I的結合，實際上是軸與光滑孔的配合問題。因此，它與軸承具有同樣的約束性質，即約束反力的作用線不能預先定出，但約束反力垂直軸線并通過鉸鏈中心，故也可用兩個大小未知的正交分力、和、來表示，如圖1-14b所示。其中=-，=-，表明它們互為作用與反作用關系。同理，把銷釘固連在A飛B支座上，則固定鉸支A、B對構件I、II的約束反力分別為、與、，如圖1-14b所示。當需要分析銷釘C的受力時，才把銷釘分離出來單獨研究。這時，銷釘C將同時受到構件I、II上的孔對它的反作用力。其中=-，=-，為構件I與銷釘C的作用與反作用力;又=-，=-，則為構件II與銷釘C的作用與反作用力。銷釘C所受到的約束反力如圖1-14d所示。當將銷釘C與構件II固連為一體時，與，與為作用在同一剛體上的成對的平衡力，可以消去不畫。此時，力的下角不必再區(qū)分為Cl和C2，鉸鏈C處的約束反力仍如圖1-14b所示。請讀者思考，若將銷釘C與構件I固連，鉸鏈C處的約束反力將如何表達?上述三種約束(向心軸承、鉸鏈和固定鉸鏈支座)，它們的具體結構雖然不同，但構成約束的性質是相同的，都可表示為光滑鉸鏈此類約束的特點是只限制兩物體徑向的相對移動，而不限制兩物體繞鉸鏈中心的相對轉動及沿軸向的位移。4．其它約束(1)滾動支座在橋梁、屋架等結構中經(jīng)常采用滾動支座約束。這種支座是在鉸鏈支座與光滑支承面之間，裝有幾個輥軸而構成的，又稱輥軸支座，如圖1-l5a所示，其簡圖如圖1-l5b所示。它可以沿支承面移動，允許由于溫度變化而引起結構跨度的自由伸長或縮短。顯然，滾動支座的約束性質與光滑面約束相同，其約束反力必垂直于支承面，且通過鉸鏈中心。通常用表示其法向約束反力，如圖1-l5c所示。(2)球鉸鏈通過圓球和球殼將兩個構件連接在一起的約束稱為球鉸鏈，如圖1-16a所示。它使構件的球心不能有任何位移，但構件可繞球心任意轉動。若忽略摩擦，與圓柱鉸鏈分析相似，其約束力應是通過球心但方向不能預先確定的一個空間力，可用三個正交分力、、表示，其簡圖及約束反力如圖1-16b所示。(3)止推軸承止推軸承與徑向軸承不同，它除了能限制軸的徑向位移以外，還能限制軸沿軸向的位移。因此，它比徑向軸承多一個沿軸向的約束力，即其約束反力有三個正交分量、、。止推軸承的簡圖及其約束反力如圖1-17所示。以上只介紹了幾種簡單約束，在工程中，約束的類型遠不止這些，有的約束比較復雜，分析時需要加以簡化或抽象化，在以后的某些章節(jié)中，我們將再作介紹。

§1-4物體的受力分析和受力圖在工程實際中，為了求出未知的約束反力，需要根據(jù)已知力，應用平衡條件求解。為此，首先要確定構件受了幾個力，每個力的作用位置和力的作用方向，這種分析過程稱為物體的受力分析。作用在物體上的力可分為兩類:一類是主動力，例如:物體的重力、風力、氣體壓力等，一般是已知的;另一類是約束對于物體的約束反力，為未知的被動力。為了清晰地表示物體的受力情況，我們把需要研究的物體(稱為受力體)從周圍的物體(稱為施力體)中分離出來，單獨畫出它的簡圖，這個步驟叫做取研究對象或取分離體。然后把施力物體對研究對象的作用力(包括主動力和約束反力)全部畫出來。這種表示物體受力的簡明圖形，稱為受力圖。畫物體受力圖是解決靜力學問題的一個重要步驟。下面舉例說明。例1-1用力拉動碾子以壓平路面，重為的碾子受到一石塊的阻礙，如圖1-18a所示。試畫出碾子的受力圖。解:(1)取碾子為研究對象(即取分離體)，并單獨畫出其簡圖。(2)畫主動力。有地球的引力和桿對碾子中心的拉力。(3)畫約束反力。因碾子在A和B兩處受到石塊和地面的約束，如不計摩擦，均為光滑表面接觸，故在A處受石塊的法向反力的作用，在B處受地面的法向反力的作用，它們都沿著碾子上接觸點的公法線而指向圓心。碾子的受力圖如圖1-18b所示。例1-2屋架如圖1-19a所示。A處為固定鉸鏈支座，B處為滾動支座，擱在光滑的水平面上。已知屋架自重在屋架的AC邊上承受了垂直于它的均勻分布的風力，單位長度上承受的力為q。試畫出屋架的受力圖。解:(1)取屋架為研究對象，除去約束并畫出其簡圖。(2)畫主動力。有屋架的重力和均布的風力q。(3)畫約束反力。因A處為固定鉸文，其約束反力通過鉸鏈中心A，但方向不能確定，可用兩個大小未知的正交分力和表示。B處為滾動支座，約束反力垂直向上，用表示。屋架的受力圖如圖1-19b所示。例1-3如圖1-20a所示，水平梁AB用斜桿CD支撐，A、C、D三處均為光滑鉸鏈連接。均質梁重其上放置一重為的電動機。如不計桿CD的自重，試分別畫出桿CD和梁AB（包括電動機）的受力圖。解:(1)先分析斜桿CD的受力。由于斜桿的自重不計，因此桿只在鉸鏈C、D處受有兩個約束反力和。根據(jù)光滑鉸鏈的特性，這兩個約束反力必定通過鉸鏈C、D的中心，方向暫不確定。考慮到桿CD只在、二力作用下平衡，根據(jù)二力平衡公理，這兩個力必定沿同一直線，且等值、反向。由此可確定和的作用線應沿鉸鏈中心C與D的連線，由經(jīng)驗判斷，此處桿CD受壓力，其受力圖如圖1-2Ob所示。一般情況下，與的指向不能預先判定，可先任意假設桿受拉力或壓力。若根據(jù)平衡方程求得的力為正值，說明原假設力的指向正確;若為負值，則說明實際桿受力與原假設指向相反。只在兩個力作用下平衡的構件，稱為二力構件，簡稱二力桿。它所受的兩個力必定沿兩力作用點的連線，且等值、反向。二力桿在工程實際中經(jīng)常遇到，有時也把它作為一種約束，如圖1-l5b。(2)取梁AB(包括電動機)為研究對象。它受有、兩個主動力的作用。梁在鉸鏈D處受有二力桿CD給它的約束反力的作用。根據(jù)作用和反作用定律，=-。梁在A處受固定鉸支給它的約束反力的作用，由于方向未知，可用兩個大小未定的正交分力和表示。梁AB的受力圖如圖1-2Oc所示。例1-4如圖1-2la所示的三鉸拱橋，由左、右兩拱鉸接而成。設各拱自重不計，在拱AC上作用有載荷。試分別畫出拱AC和CB的受力圖。解:(1)先分析拱BC受力。由于拱BC自重不計，且只在B、C兩處受到鉸鏈約束，因此拱BC為二力構件。在鉸鏈中心B、C處分別受、兩力的作用，且=-，這兩個力的方向如圖1-2lb所示。(2)取拱AC為研究對象。由于自重不計，因此主動力只有載荷P。拱在鉸鏈C處受有拱BC給它的約束反力的作用，根據(jù)作用和反作用定律，=-。拱在A處受有固定鉸支給它的約束反力的作用，由于方向未定，可用兩個大小末知的正交分力和代替。拱AC的受力圖如圖1-2lc所示。再進一步分析可知，由于拱AC在、和三個力作用下平衡，故可根據(jù)三力平衡匯交定理，確定鉸鏈A處約束反力的方向。點D為力和作用線的交點，當拱AC平衡時，反力的作用線必通過點D(圖1-2ld);至于的指向，暫且假定如圖，以后由平衡條件確定。請讀者考慮:若左右兩拱都計入自重時，各受力圖有何不同?例1-5如圖1-22a所示，梯子的兩部分AB和AC在點A鉸接，又在D、E兩點用水平繩連接。梯子放在光滑水平面上，若其自重不計，但在AB的中點H處作用一鉛直載荷。試分別畫出繩子DE和梯子的AB、AC部分以及整個系統(tǒng)的受力圖。解:(1)繩子DE的受力分析。繩子兩端D、E分別受到梯子對它的拉力、的作用(圖1-22b)。(2)梯子AB部分的受力分析。它在H處受載荷P的作用，在鉸鏈A處受AC部分給它的約束反力和的作用。在點D受繩子對它的拉力(與互為作用力和反作用力)。在點B受光滑地面對它的法向反力的作用。梯子AB部分的受力圖如圖1-22c所示。(3)梯子AC部分的受力分析。在鉸鏈A處受AB部分對它的作用力和(分別與和互為作用力和反作用力)。在點E受繩子對它的拉力(與互為作用力和反作用力)。在C處受光滑地面對它的法向反力。梯子AC部分的受力圖如圖1-22d所示。(4)整個系統(tǒng)的受力分析。當選整個系統(tǒng)為研究對象時，可把平衡的整個結構剛化為剛體。由于鉸鏈A處所受的力互為作用力與反作用力關系，即=-，=-;繩子與梯子連接點D和E所受的力也分別互為作用力與反作用力關系，即=-，=-，這些力都成對地作用在整個系統(tǒng)內，稱為內力。內力對系統(tǒng)的作用效應相互抵消，因此可以除去，并不影響整個系統(tǒng)的平衡。故內力在受力圖上不必畫出。在受力圖上只需畫出系統(tǒng)以外的物體給系統(tǒng)的作用力，這種力稱為外力。這里，載荷和約束反力、都是作用于整個系統(tǒng)的外力。整個系統(tǒng)的受力圖如圖1-22e所示。應該指出，內力與外力的區(qū)分不是絕對的。例如，當我們把梯子的AC部分作為研究對象時，、和均屬外力，但取整體為研究對象時，、和又成為內力。可見，內力與外力的區(qū)分，只有相對于某一確定的研究對象才有意義。例1-6圖1-23a所示的平面構架，由桿AB、DE及DB鉸接而成。A為滾動支座，E為固定鉸鏈。鋼繩一端拴在K處，另一端繞過定滑輪I和動滑輪II后拴在銷釘B上。物重為，各桿及滑輪的自重不計。(1)試分別畫出各桿、各滑輪、銷釘B以及整個系統(tǒng)的受力圖;(2)畫出銷釘B與滑輪I一起的受力圖;(3)畫出桿AB、滑輪I、II、鋼繩和重物作為一個系統(tǒng)時的受力圖。解:(1)取桿BD為研究對象(B處為沒有銷釘?shù)目?。由于桿BD為二力桿，故在鉸鏈中心D、B處分別受、兩力的作用，其中為銷釘給孔B的約束反力，其受力圖如圖1-23b所示。(2)取桿AB為研究對象(B處仍為沒有銷釘?shù)目?。A處受有滾動支座的約束反力的作用;C為鉸鏈約束，其約束反力可用兩個正交分力、表示；B處受有銷釘給孔B的約束反力，亦可用兩個正交分力、表示，方向暫先假設如圖。桿AB的受力圖如圖1-23c所示。(3)取桿DE為研究對象。其上共有D、K、C、E四處受力，D處受二力桿給它的約束反力(=-);K處受鋼繩的拉力，鉸鏈C受到反作用力與(=-，=-);E為固定鉸鏈，其約束反力可用兩個正交分力與表示。桿D也的受力圖如圖1-23d所示。(4)取輪I為研究對象(B處為沒有銷釘?shù)目?。其上受有兩段鋼繩的拉力、(=-)外，還有銷釘B對孔B的約束反力,及，其受力圖如圖1-23e所示(亦可根據(jù)三力平衡匯交定理，確定鉸鏈B處約束反力的方向，如圖中虛線所示)。(5)取輪II為研究對象，其上受三段鋼繩拉力、及，其中=-。輪II的受力圖如圖1-23f所示。(6)單獨取銷釘B為研究對象，它與桿DB、AB、輪I及鋼繩等四個物體連接，因此這四個物體對銷釘都有力作用。二力桿DB對它的約束反力為(=-);桿AB對它的約束反力為、(=-、=-);輪I給銷釘B的約束反力為與(=-、=-);另外還受到鋼繩對銷釘B的拉力(=-)。其受力圖如圖1-23g所示。(7)當取整體為研究對象時，可把整個系統(tǒng)剛化為剛體;其上鉸鏈B、C、D及鋼繩各處均受到成對的內力，故可不畫。系統(tǒng)的外力除主動力P外，還有約束反力與、。其受力圖如圖1-23h所示。(8)當取銷釘B與滑輪I一起為研究對象時，銷釘B與滑輪I之間的作用與反作用力為內力，可不畫。其上除受三繩拉力、及外，還受到二力桿BD及桿AB在B處對它的約束反力及、。其受力圖如圖1-2i所示。(9)當取桿AB、滑輪I、II以及重物、鋼繩(包括銷釘B)一起為研究對象時，此時可將此系統(tǒng)剛化為一個剛體。這樣，銷釘B與輪I、桿AB、鋼繩之間的作用與反作用力，都是作用在同一剛體上的成對內力，可不畫。系統(tǒng)上的外力有主動力，約束反力、及、外，還有K處的鋼繩拉力。其受力圖如圖1-2引所示。此題較難，是由于銷釘B與四個物體連接，銷釘B與每個連接物體之間都有作用與反作用關系，故銷釘B上受到的力較多，因此必須明確其上每一個力的施力物體。必須注意:當分析各物體在B處的受力時，應根據(jù)求解需要，將銷釘單獨畫出或將它屬于某一個物體。因為各研究對象在B處是否包括銷釘，其受力圖是不同的，如圖1-23e與圖1-23i。以后凡遇到銷釘與三個以上物體連接時，都應注意上述問題。讀者還可以分析當桿DB包括銷釘B或桿AB包括銷釘B為研究對象時的受力圖，并與圖1-23b或圖1-23c比較，且說明各力之間的作用力與反作用力關系。正確地畫出物體的受力圖，是分析、解決力學問題的基礎。畫受力圖時必須注意如下幾點:1．必須明確研究對象。根據(jù)求解需要，可以取單個物體為研究對象，也可以取由幾個物體組成的系統(tǒng)為研究對象。不同的研究對象的受力圖是不同的。2．正確確定研究對象受力的數(shù)目。由于力是物體之間相互的機械作用，因此，對每一個力都應明確它是哪一個施力物體施加給研究對象的，決不能憑空產(chǎn)生。同時，也不可漏掉一個力。一般可先畫已知的主動力，再畫約束反力;凡是研究對象與外界接觸的地方，都一定存在約束反力。3.正確畫出約束反力。一個物體往往同時受到幾個約束的作用，這時應分別根據(jù)每個約束本身的特性來確定其約束反力的方向，而不能憑主觀臆測。4．當分析兩物體間相互的作用力時，應遵循作用、反作用關系。若作用力的方向一經(jīng)假定，則反作用力的方向應與之相反。當畫整個系統(tǒng)的受力圖時，由于內力成對出現(xiàn)，組成平衡力系，因此不必畫出，只需畫出全部外力。

小結1．靜力學研究作用于物體上力系的平衡。具體研究以下三個問題。(1)物體的受力分析;(2)力系的等效替換;(3)力系的平衡條件。2．力是物體間相互的機械作用，這種作用使物體的機械運動狀態(tài)發(fā)生變化(包括變形)。力的作用效應由力的大小、方向和作用點決定，稱為力的三要素。力是矢量。作用在剛體上的力可以沿著作用線移動，這種力矢量是滑動矢量。3．靜力學公理是力學的最基本、最普遍的客觀規(guī)律。公理1力的平行四邊形規(guī)則。公理2二力平衡條件。以上兩個公理，闡明了作用在一個物體上最簡單的力系的合成規(guī)則及其平衡條件。公理3加減平衡力系原理。這個公理是研究力系等效變換的依據(jù)。公理4作用和反作用定律。這個公理闡明了兩個物體相互作用的關系。公理5剛化原理。這個公理闡明了變形體抽象成剛體模型的條件，并指出剛體平衡的必要和充分條件只是變形體平衡的必要條件。4．約束和約束反力限制非自由體某些位移的周圍物體，稱為約束，如:繩索、光滑鉸鏈、滾動支座、二力構件、球鉸鏈及止推軸承等。約束對非自由體施加的力稱為約束反力。約束反力的方向與該約束所能阻礙的位移方向相反。畫約束反力時，應分別根據(jù)每個約束本身的特性確定其約束反力的方向。5．物體的受力分析和受力圖是研究物體平衡和運動的前提。畫物體受力圖時，首先要明確研究對象(即取分離體)。物體受的力分為主動力和約束反力。當分析多個物體組成的系統(tǒng)受力時，要注意分清內力與外力，內力成對可不畫;還要注意作用力與反作用力之間的相互關系。第二章平面匯交力系與平面力偶系平面匯交力系與平面力偶系是兩種簡單力系，是研究復雜力系的基礎。本章將分別用幾何法與解析法研究平面匯交力系的合成與平衡問題，同時介紹平面力偶的基本特性及平面力偶系合成與平衡問題?！?-1平面匯交力系合成與平衡的幾何法平面匯交力系是指各力的作用線都在同一平面內且匯交于一點的力系。1．平面匯交力系合成的幾何法、力多邊形規(guī)則設一剛體受到平面匯交力系，，，的作用，各力作用線匯交于點A，根據(jù)剛體內部力的可傳性，可將各力沿其作用線移至匯交點A，如圖2-la所示。為合成此力系，可根據(jù)力的平行四邊形規(guī)則，逐步兩兩合成各力，最后求得一個通過匯交點A的合力;還可以用更簡便的方法求此合力的大小與方向。任取一點a，先作力三角形求出與的合力大小與方向，再作力三角形合成與得，最后合成與得，如圖2-lb所示。多邊形abcde稱為此平面匯交力系的力多邊形，矢量稱此力多邊形的封閉邊。封閉邊矢量即表示此平面匯交力系合力的大小與方向(即合力矢)，而合力的作用線仍應通過原匯交點A，如圖2-la所示的。必須注意，此力多邊形的矢序規(guī)則為:各分力的矢量沿著環(huán)繞力多邊形邊界的同一方向首尾相接。由此組成的力多邊形abcde有一缺口，故稱為不封閉的力多邊形，而合力矢則應沿相反方向連接此缺口，構成力多邊形的封閉邊。多邊形規(guī)則是一般矢量相加(幾何和)的幾何解釋。根據(jù)矢量相加的交換律，任意變換各分力矢的作圖次序，可得形狀不同的力多邊形，但其合力矢仍然不變，如圖2-lc所示。總之，平面匯交力系可簡化為一合力，其合力的大小與方向等于各分力的矢量和(幾何和)，合力的作用線通過匯交點。設平面匯交力系包含n個力，以表示它們的合力矢，則有=++…+=(2-1)合力對剛體的作用與原力系對該剛體的作用等效。如果一力與某一力系等效，則此力稱為該力系的合力。如力系中各力的作用線都沿同一直線，則此力系稱為共線力系，它是平面匯交力系的特殊情況，它的力多邊形在同一直線上。若沿直線的某一指向為正，相反為負，則力系合力的大小與方向決定于各分力的代數(shù)和，即=（2-2）2·平面匯交力系平衡的幾何條件由于平面匯交力系可用其合力來代替，顯然，平面匯交力系平衡的必要和充分條件是:該力系的合力等于零。如用矢量等式表示，即=０(2-3)在平衡情形下，力多邊形中最后一力的終點與第一力的起點重合，此時的力多邊形稱為封閉的力多邊形。于是，可得如下結論:平面匯交力系平衡的必要和充分條件是:該力系的力多邊形自行封閉，這就是平面匯交力系平衡的幾何條件。求解平面匯交力系的平衡問題時可用圖解法，即按比例先畫出封閉的力多邊形，然后，用尺和量角器在圖上量得所要求的本知量;也可根據(jù)圖形的幾何關系，用三角公式計算出所要求的未知量，這種解題方法稱為幾何法。例2-1如圖2-2a所示的壓路碾子，自重=20kN，半徑R=0.6m，障礙物高h=0.08m。碾子中心O處作用一水平拉力。試求:(1)當水平拉力=5kN時，碾子對地面及障礙物的壓力;(2)欲將碾子拉過障礙物，水平拉力至少應為多大;(3)力沿什么方向拉動碾子最省力，此時力為多大。解:(1)選碾子為研究對象，其受力圖如圖2-2b所示，各力組成平面匯交力系。根據(jù)平衡的幾何條件，力、、與應組成封閉的力多邊形。按比例先畫已知力矢與如圖2-2c，再從a、c兩點分別作平行于、的平行線，相交于點d。將各力矢首尾相接，組成封閉的力多邊形，則圖2-2c中的矢量和即為A、B兩點約束反力、的大小與方向。從圖2-2c中按比例量得=l1.4kN，=lOkN由圖2-2c的幾何關系，也可以計算、的數(shù)值。由圖2-2a，按已知條件可求得

cosα==0.886故α≈30°

再由圖2-2c中各矢量的幾何關系，可得sinα=F+cosα=解得==10kN=-cosα=l1.34kN根據(jù)作用與反作用關系，碾子對地面及障礙物的壓力分別等于11.34kN和10kN。(2)碾子能越過障礙物的力學條件是=O，因此，碾子剛剛離開地面時，其封閉的力三角形如圖2-2d所示。由幾何關系，此時水平拉力=tanα=11.55kN此時B處的約束反力==23.09kN(3)從圖2-2d中可以清楚地看到，當拉力與垂直時，拉動碾子的力為最小，即=sinα=l0kN由此例題可以看出，用幾何法解題時，各力之間的關系很清楚，一目了然。例2-2支架的橫梁AB與斜桿DC彼此以鉸鏈C相聯(lián)接，并各以鉸鏈A、D連接于鉛直墻上。如圖2-3a所示。已知AC=CB;桿DC與水平線成45°角;載荷F=l0kN，作用于B處。設梁和桿的重量忽略不計，求鉸鏈A的約束反力和桿DC所受的力。解:選取橫梁AB為研究對象。橫梁在B處受載荷作用。DC為二力桿，它對橫梁C處的約束反力的作用線必沿兩鉸鏈D、C中心的連線。鉸鏈A的約束反力的作用線可根據(jù)三力平衡匯交定理確定，即通過另兩力的交點E，如圖2-3b所示。根據(jù)平面匯交力系平衡的幾何條件，這三個力應組成一封閉的力三角形。按照圖中力的比例尺，先畫出已知力=,再由點a作直線平行于AE，由點b作直線平行CE，這兩直線相交于點d,如圖2-3c。由力三角形abd封閉，可確定和的指向。在力三角形中，線段bd和da分別表示力和的大小，量出它們的長度，按比例換算得:=28.3kN=22.4kN根據(jù)作用力和反作用力的關系，作用于桿DC的C端的力與的大小相等，方向相反。由此可知桿DC受壓力，如圖2-3b所示。應該指出，封閉力三角形也可以如圖2-3d所示，同樣可求得力和，且結果相同。通過以上例題，可總結幾何法解題的主要步驟如下:1．選取研究對象。根據(jù)題意，選取適當?shù)钠胶馕矬w作為研究對象，并畫出簡圖。2．分析受力，畫受力圖。在研究對象上，畫出它所受的全部已知力和未知力(包括約束反力)。若某個約束反力的作用線不能根據(jù)約束特性直接確定(如鉸鏈)，而物體又只受三個力作用，則可根據(jù)三力平衡必須匯交的條件確定該力的作用線。３.作力多邊形或力三角形。選擇適當?shù)谋壤?，作出該力系的封閉力多邊形或封閉力三角形。必須注意，作圖時總是從已知力開始。根據(jù)矢序規(guī)則和封閉特點，就可以確定末知力的指向。4．求出未知量。用比例尺和量角器在圖上量出未知量，或者用三角公式計算出來。

§2-2平面匯交力系合成與平衡的解析法解析法是通過力矢在坐標軸上的投影來分析力系的合成及其平衡條件。1.力在正交坐標軸系的投影與力的解析表達式如圖2-4所示，已知力F與平面內正交軸x、y的夾角為α、β，則力在x、y軸上的投影分別為X=cosαY=cosβ=Fsinα(2-4)即力在某軸的投影，等于力的模乘以力與投影軸正向間夾角的余弦。力在軸上的投影為代數(shù)量，當力與軸間夾角為銳角時，其值為正;當夾角為鈍角時，其值為負。由圖2-4可知，力F沿正交軸Ox、Oy可分解為兩個分力和時，其分力與力的投影之間有下列關系=Xi,=Yj由此，力的解析表達式為=Xi+Yj(2-5)其中i、j分別為x、y軸的單位矢量。顯然，己知力在平面內兩個正交軸上的投影X和Y時，該力矢的大小和方向余弦分別為=(2一6)cos(,i)=,cos(,j)=必須注意，力在軸上的投影X、Y為代數(shù)量，而力沿軸的分量=Xi和=Yj為矢量，二者不可混淆。當Ox、Oy兩軸不相垂直時，力沿兩軸的分力、在數(shù)值上也不等于力在兩軸上的投影X、Y，如圖2-5所示。2．平面匯交力系合成的解析法設由n個力組成的平面匯交力系作用于一個剛體上，以匯交點0作為坐標原點，建立直角坐標系0xy，如圖2-6a所示。根據(jù)式(2-5)，此匯交力系的合力的解析表達式為=i+j式中，、為合力在x、y軸上的投影。圖2-6根據(jù)合矢量投影定理：合矢量在某一軸上的投影等于各分矢量在同一軸上投影的代數(shù)和，將式（2-1）向x、y軸投影，可得=++…+==++…+=（2-7）其中和，和，…，和分別為各分力在x和y軸上的投影。根據(jù)式(2-6)可求得合力失的大小和方向余弦為==，cos(,i)=,cos(,j)=（2-8）例2-3求圖2-7所示平面共點力系的合力。解:用式(2-7)和(2-8)計算。==cos30°-cos60°-cos45°+cos45°=200cos30°-300cos60°_100cos45°+250cos45°=129.3N==cos60°+cos30°-cos45°-cos45°=200cos60°+300cos30°-100cos45°-250cos45°=112.3N===171.3Ncosα===0.7548,cosβ===0.6556則合力與x、y軸夾角分別為α=40.99°,β=49.01°合力的作用線通過匯交點0。3．平面匯交力系的平衡方程由§2-1知，平面匯交力系平衡的必要和充分條件是：該力系的合力等于零。由式(2-8)應有==0欲使上式成立，必須同時滿足:=0=0于是，平面匯交力系平衡的必要和充分條件是:各力在兩個坐標軸上投影的代數(shù)和分別等于零。式(2-9)稱為平面匯交力系的平衡方程。這是兩個獨立的方程，可以求解兩個未知量。下面舉例說明平面匯交力系平衡方程的實際應用。例2-4如圖2-8a所示，重物P=20kN，用鋼絲繩掛在支架的滑輪B上，鋼絲繩的另一端纏繞在鉸車D上。桿AB與BC鉸接，并以鉸鏈A、C與墻連接。如兩桿和滑輪的自重不計，并忽略摩擦和滑輪的大小，試求平衡時桿AB和BC所受的力。解:(1)取研究對象。由于AB、BC兩桿都是二力桿，假設桿AB受拉力、桿BC受壓力，如圖2-8b所示。為了求出這兩個未知力，可通過求兩桿對滑輪的約束反力來解決。因此選取滑輪B為研究對象。(2)畫受力圖?；喪艿戒摻z繩的拉力和(已知==P)。此外桿AB和BC對滑輪的約束反力為和。由于滑輪的大小可忽略不計，故這些力可看作是匯交力系，如圖2-8c所示。(3)列平衡方程。選取坐標軸如圖所示。為使每個未知力只在一個軸上有投影，在另一軸上的投影為零，坐標軸應盡量取在與未知力作用線相垂直的方向。這樣在一個平衡方程中只有一個未知數(shù)，不必解聯(lián)立方程，即=0，-+cos60°-cos30°=0(a)=0,-cos30°-cos60°=0(b)(4)求解方程。由式(a)得=-0.366P=-7.321kN由式(b)得=1.366P=27.32kN所求結果，為正值，表示這力的假設方向與實際方向相同，即桿BC受壓。為負值，表示這力的假設方向與實際方向相反，即桿AB也受壓力。例2-5圖2-9a所示的壓榨機中，桿AB和BC的長度相等，自重忽略不計。A、B、C處為鉸鏈連接。已知活塞D上受到油缸內的總壓力為=3kN,h=2OOmm,l=15OOmmn。試求壓塊C對工件與地面的壓力，以及，AB桿所受的力。

解:根據(jù)作用力和反作用力的關系，壓塊對工件的壓力與工件對壓塊的約束反力等值、反向。而已知油缸的總壓力作用在活塞上，因此要分別研究活塞桿DB和壓塊C的平衡才能解決問題。先選活塞桿DB為研究對象。設二力桿AB、BC均受壓力。因此活塞桿的受力圖如圖2-9b所示。按圖示坐標軸列出平衡方程=0,cosα-cosα=0解得==0,sinα+sinα-F=0解得===11.35kN再選壓塊C為研究對象，其受力圖如圖2-9c所示。通過二力桿BC的平衡，可知=。按圖示坐標軸列出平衡方程=O，-+cosα=0=0，-sinα+=0解得==cotα==11.25kN=sinα==1.5kN壓塊C對地面的壓力與等值而方向相反。§2-3平面力對點之矩的概念及計算力對剛體的作用效應使剛體的運動狀態(tài)發(fā)生改變(包括移動與轉動)，其中力對剛體的移動效應可用力矢來度量;而力對剛體的轉動效應可用力對點的矩(簡稱力矩)來度量，即力矩是度量力對剛體轉動效應的物理量。1．力對點之矩(力矩)如圖2-10所示，平面上作用一力F，在同平面內任取一點0，點0稱為矩心，點0到力的作用線的垂直距離h稱為力臂，則在平面問題中力對點的矩的定義如下:力對點之矩是一個代數(shù)量，它的絕對值等于力的大小與力臂的乘積，它的正負可按下法確定:力使物體繞矩心逆時針轉向轉動時為正，反之為負。力對于點O的矩以記號Mo()表示，于是,計算公式為Mo()=±h(2-10)由圖2-10容易看出，力對點0的矩的大小也可用三角形OAB面積的兩倍表示，即Mo()=±2△OAB(2-lOa)顯然，當力的作用線通過矩心，即力臂等于零時，它對矩心的力矩等于零。力矩的單位常用N·m或kN·m。如以r表示由點O到A的矢徑(圖2-10)，由矢量積定義,r×的大小就是三角形OAB面積的兩倍。由此可見，此矢積的模就等于力F對點0的矩的大小，其指向與力矩的轉向符合右手法則。2．合力矩定理定理:平面匯交力系的合力對于平面內任一點之矩等于所有各分力對于該點之矩的代數(shù)和。證明:如圖2-11所示，r為矩心0到匯交點A的矢徑，為平面匯交力系,，…的合力，即=++…以r對上式兩端作矢積，有r×R=r×+r×+…+r×由于力,，…與點0共面，上式各矢積平行，因此上式矢量和可按代數(shù)和計算。而各矢量積的大小就是力對點0之矩，于是證得合力矩定理，即Mo()=Mo()+Mo()+…+Mo()=(2-11)按力系等效概念，上式易于理解，且式(2-11)應適用于任何有合力存在的力系。順便指出，當平面匯交力系平衡時，合力為零;由式(2-11)可知，各力對任一點0之矩的代數(shù)和皆為零。即=0上式說明:可用力矩方程代替投影方程求解平面匯交力系的平衡問題。3．力矩與合力矩的解析表達式如圖2-12所示，已知力，作用點A(x,y)及其夾角α。欲求力對坐標原點0之矩，可按式(2-11)，通過其分力與對點0之矩而得到，即Mo()=Mo()+Mo()=xsinα-ycosα或Mo(F)=xY-yX（2-12）式(2-12)為平面內力矩的解析表達式。其中x、y為力作用點的坐標;X、Y為力在x、y軸的投影。計算時應注意它們的代數(shù)量代入。若將式(2-12)代入式(2-11)，即可得合力對坐標原點之矩的解析表達式，即Mo()=（-）(2一12)'例2-6如圖2-13a所示圓柱直齒輪，受到嚙合力的作用。設=1400N。壓力角α=20°，齒輪的節(jié)圓(嚙合圓)的半徑r=6Omm,試計算力對于軸心0的力矩。

解:計算力R對點0的矩，可直接按力矩的定義求得(圖2-13a)，即Mo()=.h其中力臂h=rcosα,故Mo()=rcosα=1400×6O×cos20°=78.93N·m我們也可以根據(jù)合力矩定理，將力見分解為圓周力F和徑向力(圖2-13b)，由于徑向力通過矩心0，則Mo()=Mo(F)+Mo()=Mo(F)=cosα·r由此可見，似上兩種方法的計算結果是相同的。例2-7圖2-14a所示的踏板，各桿自重不計。已知:力F及其與x軸的夾角α,力作用點B坐標(，)，距離l。試求平衡時水平桿CD的拉力。解:取整體為研究對象，其上受三力作用，且F、與匯交于點E(其中為二力桿的拉力)，受力圖如圖2-14b所示。平衡時應滿足=0。設力F對點A的力臂為h則有h-l=O上式就是熟知的杠桿平衡條件。由于力臂A未知，可用合力矩定理求得力對點A之矩。得cosα·-sinα·-l=0求得拉力為=

例2-8水平梁AB受按三角形分布的載荷作用，如圖2-15所示。載荷的最大值為q,梁長l。試求合力作用線的位置。解:在梁上距A端為x的微段dx上，作用力的大小為q'dx，其中q'為該處的載荷強度。由圖可知,q'=q。因此分布載荷的合力的大小為==ql設合力的作用線距A端的距離為h,在微段dx上的作用力對點A的矩為q'dx·x，全部載荷對點A的矩的代數(shù)和可用積分求出，根據(jù)合力矩定理可寫成h=l計算結果說明:合力大小等于三角形線分布載荷的面積，合力作用線通過該三角形的幾何中心?！?-4平面力偶理論1．力偶與力偶矩實踐中，我們常常見到汽車司機用雙手轉動駕駛盤(圖2-16a)、電動機的定子磁場對轉子作用電磁力使之旋轉(圖2-16b)、鉗工用絲錐攻螺紋等。在駕駛盤、電機轉子、絲錐等物體上，都作用了成對的等值、反向且不共線的平行力。等值反向平行力的矢量和顯然等于零，但是由于它們不共線而不能相互平衡，它們能使物體改變轉動狀態(tài)。這種由兩個大小相等、方向相反且不共線的平行力組成的力系，稱為力偶，如圖2-17所示，記作(，)。力偶的兩力之間的垂直距離d稱為力偶臂，力偶所在的平面稱為力偶的作用面。力偶不能合成為一個力，或用一個力來等效替換;力偶也不能用一個力來平衡。因此，力和力偶是靜力學的兩個基本要素。力偶是由兩個力組成的特殊力系，它的作用只改變物體的轉動狀態(tài)。因此，力偶對物體的轉動效應，可用力偶矩來度量，即用力偶的兩個力對其作用面內某點的矩的代數(shù)和來度量。設有力偶(，)，其力偶臂為d，如圖2-18所示。力偶對點0的矩為Mo(，)，則Mo(，)=Mo()+Mo()=·aO-·b0=F(aO-b0)=d矩心0是任意選取的，由此可知，力偶的作用效應決定于力的大小和力偶臂的長短，與矩心的位置無關。力與力偶臂的乘積稱為力偶矩，記作M(，)，簡記為M。力偶在平面內的轉向不同，其作用效應也不相同。因此，平面力偶對物體的作用效應，由以下兩個因素決定:(1)力偶矩的大小;(2)力偶在作用平面內的轉向。因此力偶矩可視為代數(shù)量，即M=±d(2-13)于是可得結論:力偶矩是一個代數(shù)量，其絕對值等于力的大小與力偶臂的乘積，正負號表示力偶的轉向：一般以逆時針轉向為正，反之則為負。力偶矩的單位與力矩相同，也是N·m。由圖2-18可見，力偶矩也可用三角形面積表示，即M=±2△ABC(2-13)’2．同平面內力偶的等效定理定理:在同平面內的兩個力偶，如果力偶矩相等，則兩力偶彼此等效。證明:如圖2-19所示，設在同平面內有兩個力偶(，)和(，)作用，它們的力偶矩相等，且力的作用線分別交于點A和B，現(xiàn)證明這兩個力偶是等效的。將力和分別沿它們的作用線移到點A和B;然后分別沿連線AB和力偶(，)的兩力的作用線方向分解，得到、和'、'四個力，顯然，這四個力與原力偶(，)等效。由于兩個力平行四邊形全等，于是力'與大小相等，方向相反，并且共線，是一對平衡力，可以除去;剩下的兩個力與'大小相等，方向相反，組成一個新力偶(，')，并與原力偶(Fo，F(xiàn)o')等效。連接CB和DB。根據(jù)式(2-13)計算力偶矩，有:M(，)=-2△ACBM(，')=-2△ADB因為CD平行AB，△ACB和△ADB同底等高，面積相等，于是得M(,)=M(，')即力偶(Fo，F(xiàn)o')與(，')等效時，它們的力偶矩相等。由假設知M(,)=M(,)因此有M(,')=M(,)由圖可見，力偶(，')和(，)有相等的力偶臂d和相同的轉向，于是得=，'=可見力偶(,')與(，)完全相等。又因為力偶(，')與(，)等效,所以力偶(，)與(，)等效。于是定理得到證明。上述定理給出了在同一平面內力偶等效的條件。由此可得推論(1)任一力偶可以在它的作用面內任意移轉，而不改變它對剛體的作用。因此，力偶對剛體的作用與力偶在其作用面內的位置無關。(2)只要保持力偶矩的大小和力偶的轉向不變，可以同時改變力偶中力的大小和力偶臂的長短，而不改變力偶對剛體的作用。由此可見，力偶的臂和力的大小都不是力偶的特征量，只有力偶矩是力偶作用的唯一量度。今后常用圖2-20所示的符號表示力偶。M為力偶的矩。3．平面力偶系的合成和平衡條件(1)平面力偶系的合成設在同一平面內有兩個力偶(，')和(，')，它們的力偶臂各為和，如圖2-2la所示。這兩個力偶的矩分別為和，求它們的合成結果。為此，在保持力偶矩不變的情況下，同時改變這兩個力偶的力的大小和力偶臂的長短，使它們具有相同的臂長d，并將它們在平面內移轉，使力的作用線重合，如圖2-2lb所示。于是得到與原力偶等效的兩個新力偶(，')和(，')。和的大小為:=，=分別將作用在點A和B的力合成(設>)，得=-=-由于與是相等的，所以構成了與原力偶系等效的合力偶(，)，如圖2-2lc所示，以M表示合力偶的矩，得M==(-)d=d-d=-如果有兩個以上的力偶，可以按照上述方法合成。這就是說:在同平面內的任意個力偶可合成為一個合力偶，合力偶矩等于各個力偶矩的代數(shù)和，可寫為M=(2-14)(2)平面力偶系的平衡條件由合成結果可知，力偶系平衡時，其合力偶的矩等于零。因此，平面力偶系平衡的必要和充分條件是:所有各力偶矩的代數(shù)和等于零，即=0(2-15)例2-9如圖2-22所示的工件上作用有三個力偶。已知:三個力偶的矩分別為:==lON·m，=2ON·m;固定螺柱A和B的矩離=2OOmm。求兩個光滑螺柱所受的水平力。解:選工件為研究對象。工件在水平面內受三個力偶和兩個螺柱的水平反力的作用。根據(jù)力偶系的合成定理，三個力偶合成后仍為一力偶，如果工件平衡，必有一反力偶與它相平衡。因此螺柱A和B的水平反力，和必組成一力偶，它們的方向假設如圖所示，則=。由力偶系的平衡條件知=0，l=0得=

代人己給數(shù)值后，得=2OON因為是正值，故所假設的方向是正確的，而螺柱A、B所受的力則應與、大小相等，方向相反。例2-10圖2-23a所示機構的自重不計。圓輪上的銷子A放在搖桿BC上的光滑導槽內。圓輪上作用一力偶，其力偶矩為=21kN·m，OA=r=O.5m。圖示位置時OA與OB垂直,α=30°，且系統(tǒng)平衡。求作用于搖桿BC上力偶的矩，及鉸鏈O、B處的約束反力。解:先取圓輪為研究對象，其上受有矩為，的力偶及光滑導槽對銷子A的作用力心和鉸鏈O處約束反力Fo的作用。由于力偶必須由力偶來平衡，因而與必定組成一力偶;力偶矩方向與相反，由此定出指向如圖2-23b。而與等值且反向。由力偶平衡條件=0，-rsinα=0解得=(a)再以搖桿BC為研究對象，其上作用有矩為的力偶及力'與，如圖2-23c所示。同理，'與必組成力偶，由平衡條件=0,-+'=0其中'=。將式(a)代人式(b)，得=4=8kN·m與組成力偶，與'組成力偶，則有====8kN方向如圖2-23b、c所示。

小結1．力在坐標軸上的投影為X=cosα式中α為力與x軸間的夾角，投影值為代數(shù)量。2．平面內力的解析表達式為=Xi+Yj3．求平面匯交力系的合力(1)幾何法求合力。根據(jù)力多邊形規(guī)則，求得合力的大小和方向為=合力作用線通過各力的匯交點。(2)解析法求合力。根據(jù)合力投影定理。利用各分力在兩個正交軸上的投影的代數(shù)和，求得合力的大小和方向余弦為:=cos(,i)=cos(,j)=合力作用線通過各力的匯交點。4．平面匯交力系的平衡條件(1)平衡的必要和充分條件:平面匯交力系的合力為零。即==O(2)平衡的幾何條件:平面匯交力系的力多邊形自行封閉。(3)平衡的解析條件:平面匯交力系的各分力在兩個坐標軸上投影的代數(shù)和分別等于零，即:=0=O由兩個獨立的平衡方程，可求得兩個未知量。5．平面內的力對點0之矩是代數(shù)量，記為Mo()Mo()=±h=±2△ABO其中為力的大小,h為力臂，△ABO為力矢AB與矩心0組成三角形的面積。一般以逆時針轉向為正，反之為負。6．力矩的解析表達式為Mo()=xY-yX其中x、y為力作用點的坐標，X、Y為力的投影。7．合力矩定理:平面匯交力系的合力從對于平面內任一點的矩等于所有各力對該點的矩的代數(shù)和，即Mo()==8．力偶和力偶矩力偶是由等值、反向、不共線的兩個平行力組成的特殊力系。力偶沒有合力，也不能用一個力來平衡。力偶對物體的作用效應決定于力偶矩M的大小和轉向，即M=±d式中正負號表示力偶的轉向，一般以逆時針轉向為正，反之為負。力偶在任一軸上的投影等于零，它對平面內任一點的矩等于力偶矩，力偶矩與矩心的位置無關。9．同平面內力偶的等效定理:在同平面內的兩個力偶，如果力偶矩相等，則彼此等效。力偶矩是力偶作用的唯一度量。10．平面力偶系的合成與平衡同平面內幾個力偶可以合成為一個合力偶。合力偶矩等于各分力偶矩的代數(shù)和，即M=,平面力偶系的平衡條件為=0第三章平面任意力系工程中經(jīng)常遇到平面任意力系的問題，即作用在物體上的力的作用線都分布在同一平面內(或近似地分布在同一平面內)，并呈任意分布的力系。當物體所受的力都對稱于某一平面時，也可將它視作平面任意力系問題。本章將在前面兩章的基礎上，詳述平面任意力系的簡化和平衡問題，并介紹平面簡單桁架的內力計算。§3-1平面任意力系向作用面內一點簡化力系向一點簡化是一種較為簡便并具有普遍性的力系簡化方法。此方法的理論基礎是力的平移定理。1．力的平移定理定理:可以把作用在剛體上點A的力F平行移到任一點B，但必須同時附加一個力偶，這個附加力偶的矩等于原來的力對新作用點B的矩。證明:圖3-1a中的力作用于剛體的點A。在剛體上任取一點B，并在點B加上兩個等值反向的力'和〃，使它們與力平行，且'=〃，如圖3-1b所示。顯然，三個力、'、〃組成的新力系與原來的一個力等效。但是，這三個力可看作是一個作用在點B的力'和一個力偶(,〃)。這樣，就把作用于點A的力平移到另一點B，但同時附加上一個相應的力偶，這個力偶稱為附加力偶(圖3-1c)。顯然，附加力偶的矩為M=d其中d為附加力偶的臂，也就是點B到力的作用線的垂距，因此d也等于力對點B的矩()由此證得M=()反過來，根據(jù)力的平移定理，也可以將平面內的一個力和一個力偶用作用在平面內另一點的力來等效替換。力的平移定理不僅是力系向一點簡化的依據(jù)，而且可用來解釋一些實際問題。例如，攻絲時，必須用兩手握扳手，而且用力要相等。為什么不允許用一只手扳動扳手呢(圖3-2a)?因為作用在扳手AB一端的力，與作用在點C的一個力'和一個矩為M的力偶(圖3-2b)等效。這個力偶使絲錐轉動，而這個力'卻往往使攻絲不正，甚至折斷絲錐。2．平面任意力系向作用面內一點簡化·主矢和主矩為了具體說明力系向一點簡化的方法和結果，設想物體上只作用有三個力、、組成的平面任意力系，如圖3-3a所示。在平面內任取一點0，稱為簡化中心;應用力的平移定理，把各力都平移到點0。這樣，得到作用于點0的力'、'、'，以及相應的附加力偶，其矩分別為、和，如圖3-3b所示。這些力偶作用在同一平面內，它們的矩分別等于力、、對點0的矩，即:=Mo()=Mo()=Mo()

這樣，平面任意力系分解成了兩個簡單力系:平面匯交力系和平面力偶系。然后，再分別合成這兩個力系。平面匯交力系'、'、'均可合成為作用線通過點0的一個力'，如圖3-3c所示。因為各力矢'、'、'分別與原力矢、、相等，所以'='+'+'=++即力矢'等于原來各力的矢量和。矩為、、的平面力偶系可合成為一個力偶，這個力偶的矩Mo等于各附加力偶矩的代數(shù)和。由于附加力偶矩等于力對簡化中心的矩，所以Mo=++=Mo()+Mo()+Mo()即這力偶的矩等于原來各力對點0的矩的代數(shù)和。對于力的數(shù)目為n的平面任意力系，不難推廣為'=（3-1）

Mo=(3-2)平面任意力系中所有各力的矢量和'，稱為該力系的主矢;而這些力對于任選簡化中心0的矩的代數(shù)和Mo，稱為該力系對于簡化中心的主矩。上面所得結果可陳述如下:在一般情形下，平面任意力系向作用面內任選一點0簡化，可得一個力和一個力偶，這個力等于該力系的主矢，作用線通過簡化中心O。這個力偶的矩等于該力系對于點0的主矩。由于主矢等于各力的矢量和，所以，它與簡化中心的選擇無關。而主矩等于各力對簡化中心的矩的代數(shù)和，當取不同的點為簡化中心時，各力的力臂將有改變，各力對簡化中心的矩也有改變，所以在一般情況下主矩與簡化中心的選擇有關。以后說到主矩時，必須指出是力系對于哪一點的主矩。取坐標系0xy，如圖3-3所示，i,j為沿x、y軸的單位矢量，則力系主矢的解桁表達式為'='+'=i+j(3-3)于是主矢'的大小和方向余弦為:'=cos(',i)=,cos(',j)=力系對點0的主矩的解桁表達式為Mo=(Fi)=(-)(3-4)其中、為力作用點的坐標?，F(xiàn)利用力系向一點簡化的方法，分桁固定端(插人端)支座的約束反力。如圖3-4a和b所示，車刀和工件分別夾持在刀架和卡盤上固定不動，這種約束稱為固定端或插人端支座，其簡圖如圖3-4c所示。固定端支座對物體的作用，是在接觸面上作用了一群約束反力。在平面問題中，這些力為一平面任意力系，如圖3-5a所示。將這群力向作用平面內點A簡化得到一個力和一個力偶，如圖3-5b所示。一般情況下這個力的大小和方向均為未知量?？捎脙蓚€未知分力來代替。因此，在平面力系情況下，固定端A處的約束反作用可簡化為兩個約束反力、，和一個矩為的約束反力偶，如圖3-5c所示。比較固定端支座與固定鉸鏈支座的約束性質可見，固定端支座除了限制物體在水平方向和鉛直方向移動外，還能限制物體在平面內轉動。因此，除了約束反力、外，還有矩為的約束反力偶。而固定鉸鏈支座沒有約束反力偶，因為它不能限制物體在平面內轉動。工程中，固定端支座是一種常見的約束，除前面講到的刀架、卡盤外，還有插人地基中的電線桿以及懸臂梁等?！?-2平面任意力系的簡化結果分析平面任意力系向作用面內一點簡化的結果，可能有四種情況，即:(l)'=O,Mo≠0;(2)'≠0,Mo=0;(3)'≠0，Mo≠0;(4)'=0,Mo=0。下面對這幾種情況作進一步的分析討論。1.平面任意力系簡化為一個力偶的情形如果力系的主矢等于零，而力系對于簡化中心的主矩Mo不等于零，即'=O,Mo≠0在這種情形下，作用于簡化中心0的力'，'，…，'相互平衡。但是，附加的力偶系并不平衡，可合成為一個力偶，即與原力系等效的合力偶。合力偶矩為Mo=因為力偶對于平面內任意一點的矩都相同，因此當力系合成為一個力偶時，主矩與簡化中心的選擇無關。2．平面任意力系簡化為一個合力的情形·合力矩定理如果平面力系向點0簡化的結果為主矩等于零，主矢不等于零，即'≠0，Mo=0此時附加力偶系互相平衡，只有一個與原力系等效的力'。顯然，'就是原力系的合力，而合力的作用線恰好通過選定的簡化中心O。如果平面力系向點O簡化的結果是主矢和主矩都不等于零，如圖3-6a所示，即'≠0，Mo≠0現(xiàn)將矩為Mo的力