2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心考點精準(zhǔn)研析5.3平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用文含解析北師大版

PAGE9-平面對量的數(shù)量積及平面對量的應(yīng)用核心考點·精準(zhǔn)研析考點一平面對量的數(shù)量積的基本概念及運算

1.(2024·全國卷II)已知向量a,b滿意|a|=1,a·b=-1,則a·(2a-b)=()A.4 B.3 C.2 【解析】選B.因為|a|=1,a·b=-1,所以a·(2a-b)=2a2-a·b=2×1-(-1)=3.2.(2024·皖南八校聯(lián)考)已知|a|=|b|=1,向量a與b的夾角為45°,則(a+2b)·a=.

【解析】因為|a|=|b|=1,向量a與b的夾角為45°,所以(a+2b)·a=a2+2a·b=|a|2+2|a|·|b|cos45°=1+2.答案:1+2【一題多解】坐標(biāo)法解T2,因為|a|=|b|=1,向量a與b的夾角為45°,可設(shè)a=22b=(1,0),則a+2b=22+2,22,(a+2b)·a=22+2答案:1+23.(2024·合肥模擬)已知平面對量a,b滿意|a|=1,|b|=2,|a+b|=3,則a在b方向上的射影等于.

【解析】因為|a|=1,|b|=2,|a+b|=3,所以(a+b)2=|a|2+|b|2+2a·b=5+2a·b=3,所以a·b=-1,所以a在b方向上的射影為a·b|答案:-1平面對量數(shù)量積的三種運算方法(1)當(dāng)已知向量的模和夾角時,可利用定義法求解,即a·b=|a||b|cos<a,b>.(2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時,可利用坐標(biāo)法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a·b=x1x2+y1y2.(3)對于數(shù)量積與線性運算的綜合問題,可先運用數(shù)量積的運算律,幾何意義等化簡,再運算.考點二平面對量的數(shù)量積在幾何中的應(yīng)用

【典例】1.在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若=2,=λ-(λ∈R),且·=-4,則λ的值為.

2.已知O,N,P在△ABC所在平面內(nèi),且||=||=||,++=0,且·=·=·,則點O,N,P依次是△ABC的 ()世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號A.重心外心垂心 B.重心外心內(nèi)心C.外心重心垂心 D.外心重心內(nèi)心(注:三角形的三條高線交于一點,此點為三角形的垂心)【解題導(dǎo)思】序號聯(lián)想解題1看到“·=-4”,想到和分別用,來表示2看到三個題設(shè)條件,想到△ABC的“三心”【解析】1.·=3×2×cos60°=3,=13+23,則·=·(λ-)=λ3×3+2λ3×4-13×9-23答案:32.選C.由||=||=||知,O為△ABC的外心;由++=0知,N為△ABC的重心;因為·=·,所以(-)·=0,所以·=0,所以⊥,即CA⊥PB,同理AP⊥BC,CP⊥AB,所以P為△ABC的垂心.1.平面對量中數(shù)量積的三種求法(1)利用定義求解.(2)利用向量的坐標(biāo)運算求解.(3)利用向量數(shù)量積的幾何意義求解.2.向量的數(shù)量積在平面幾何應(yīng)用中的解題策略(1)利用運算律結(jié)合圖形先化簡再運算.(2)留意向量的夾角與已知平面幾何中的角的關(guān)系(相等還是互補).【拓展】三角形四心的向量表示在三角形ABC中,點O為平面內(nèi)一點,若滿意:(1)++=0,則點O為三角形的重心.(2)||=||=||,則點O為三角形的外心.(3)·=·=·,則點O為三角形的垂心.(4)||·+||·+||·=0,則點O為三角形的內(nèi)心.1.(2024·濟寧模擬)平面四邊形ABCD中,+=0,(-)·=0,則四邊形ABCD是 ()A.矩形 B.正方形C.菱形 D.梯形【解析】選C.因為+=0,所以=-=,所以四邊形ABCD是平行四邊形.又(-)·=·=0,所以四邊形對角線相互垂直,所以四邊形ABCD是菱形.2.已知A,B,C是平面上不共線的三點,O為坐標(biāo)原點,動點P滿意=13[(1-λ)+(1-λ)+(1+2λ)·],λ∈R,則點P的軌跡肯定經(jīng)過 ()A.△ABC的內(nèi)心B.△ABC的垂心C.△ABC的重心D.AB邊的中點【解析】選C.取AB的中點D,則2=+,因為=13[(1-λ)+(1-λ)+(1+2λ)],所以=13[2(1-λ)+(1+2λ)]=2(1-λ)3+1+2λ3,又2(1-λ)3+1+2λ3考點三平面對量數(shù)量積的綜合應(yīng)用

命題精解讀1.考什么:(1)平面對量的模,平面對量的夾角,平行、垂直問題;(2)考查數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng),以及數(shù)形結(jié)合,轉(zhuǎn)化與化歸的思想.2.怎么考:與平面對量基本定理,坐標(biāo)運算,平面幾何結(jié)合考查求模,夾角,夾角余弦值,參數(shù)等等.學(xué)霸好方法1.在求向量的模時,肯定要留意公式|a|=a·a的應(yīng)用,即將向量的長度(或模)2.求兩個向量的夾角,經(jīng)常利用兩個向量夾角的余弦公式,求其夾角的余弦,然后利用余弦函數(shù)的單調(diào)性求角.3.解決關(guān)于平面對量的平行與垂直問題,其關(guān)鍵是充分利用平行與垂直的充要條件,得出一個等式,然后求解.平面對量的?！镜淅?.(2024·全國卷Ⅱ)已知向量a=(2,3),b=(3,2),則|a-b|= ()A.2 B.2 C.52 D.50【解析】選A.由向量a=(2,3),b=(3,2),可得a-b=(-1,1),所以|a-b|=122.2.已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的動點,則|+3|的最小值為. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號

【解析】建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示,則A(2,0),設(shè)P(0,y),C(0,b),則B(1,b).所以+3=(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y),所以|+3|=25+(3b-4y)2(0≤y≤b),當(dāng)y=34b時答案:5求向量模的最值(范圍)有哪些方法?提示:(1)代數(shù)法,把所求的模表示成某個變量的函數(shù),再用求最值的方法求解.(2)幾何法(數(shù)形結(jié)合法),弄清所求的模表示的幾何意義,結(jié)合動點表示的圖形求解.平面對量的夾角【典例】1.(2024·全國卷Ⅲ)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),則cos<a,b>=.

【解析】cos<a,b>=2×-8+2×答案:-22.(2024·運城模擬)已知平面對量a,b滿意a·(a+b)=3,且|a|=2,|b|=1,則向量a與b的夾角的正弦值為.

【解析】因為a·(a+b)=a2+a·b=22+2×1×cos<a,b>=4+2cos<a,b>=3,所以cos<a,b>=-12又<a,b>∈[0,π],所以sin<a,b>=1-cos答案:3對于兩個不共線的向量,數(shù)量積的符號與夾角有何關(guān)系?提示:當(dāng)數(shù)量積大于0時,夾角為銳角;當(dāng)數(shù)量積等于0時,夾角為直角;當(dāng)數(shù)量積小于0時,夾角為鈍角.平行、垂直問題【典例】1.(2024·天津模擬)已知向量a=(1,2),a-b=(4,5),c=(x,3),若(2a+b)∥c,則x= ()A.-1 B.-2 C.-3 【解析】選C.因為a=(1,2),a-b=(4,5),所以b=a-(a-b)=(1,2)-(4,5)=(-3,-3),所以2a+b=2(1,2)+(-3,-3)=(-1,1).又因為c=(x,3),(2a+b)∥c,所以-1×3-x=0,所以x=-3.2.(2024·全國卷Ⅰ)已知非零向量a,b滿意|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,則a與b的夾角為 ()世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號A.π6 B.π3 C.2π【解析】選B.設(shè)夾角為θ,因為(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a·b-b2=0,所以a·b=b2,所以cosθ=a·ba·b=|b|22|b|2=兩個非零向量垂直的充要條件有哪些?提示:a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0?|a-b|=|a+b|.留意:數(shù)量積的運算a·b=0?a⊥b中,是對非零向量而言的,若a=0,雖然有a·b=0,但不能說a⊥b.1.已知向量a,b的夾角為60°,|a|=2,|b|=1,則|a+2b|=.

【解析】a+2b2=(a+2=a2+2·a·2b·cos=22+2×2×2×12+22所以a+2b=12=2答案:232.若非零向量a,b滿意|a|=3|b|=|a+2b|,則a與b的夾角余弦值為.

【解析】因為|a|=|a+2b|,所以|a|2=|a|2+4a·b+4|b|2,所以a·b=-|b|2,令夾角為θ,所以cosθ=a·b|a||答案:-13.(2024·北京高考)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且a⊥b,則m=.

【解析】因為a⊥b,所以a·b=-4×6+3m=0,所以m=8.答案:81.(2024·天津高考)在四邊形ABCD中,AD∥BC,AB=23,AD=5,∠A=30°,點E在線段CB的延長線上,且AE=BE,則·=.

【解析】如圖,過點B作AE的平行線交AD于F,因為AD∥BC,所以四邊形AEBF為平行四邊形,因為AE=BE,故四邊形AEBF為菱形.因為∠BAD=30°,AB=23,所以AF=2,即=25.因為==-=-25,所以·=(-)·=75·--25=75×23×5×32-12-10=-1.答案:-1【一題多解】解答本題還可以用如下方法解決:建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則B(23,0),D53因為AD∥BC,∠BAD=30°,所以∠ABE=30°,因為AE=BE,所以∠BAE=30°,所以直線BE的斜率為33,其方程為y=33(x-23),直線AE的斜率為-33,其方程為由y=33(所以E(3,-1).所以·=32,52·(答案:-12.(2024·武漢模擬)已知a,b,e是平