2025版高中數(shù)學(xué)課時(shí)作業(yè)15直線與平面垂直平面與平面垂直的性質(zhì)新人教A版必修2

PAGEPAGE1課時(shí)作業(yè)15直線與平面垂直、平面與平面垂直的性質(zhì)基礎(chǔ)鞏固1．△ABC所在的平面為α，直線l⊥AB，l⊥AC，直線m⊥BC，m⊥AC，則直線l，m的位置關(guān)系是()A．相交 B．異面C．平行 D.不確定解析：因?yàn)閘⊥AB，l⊥AC且AB∩AC＝A，所以l⊥平面ABC.同理可證m⊥平面ABC，所以l∥m，故選C.答案：C2．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，給出如下命題：①若α⊥β，α∩β＝m，n?α，n⊥m，則n⊥β；②若α⊥β，且n⊥β，n⊥m，則m⊥α；③若α⊥β，m⊥β，m?α，則m∥α；④若α⊥β，m∥α，則m⊥β.其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2 C．3 D．4解析：依據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)知①正確；②中，m還可能在α內(nèi)或m∥α或m與α斜交，不正確；③中，α⊥β，m⊥β，m?α?xí)r，只可能有m∥α，正確；④中，m與β的位置關(guān)系可能是m∥β或m?β或m與β相交，不正確．綜上，可知正確命題的個(gè)數(shù)為2，故選B.答案：B3．如圖1，點(diǎn)P為四邊形ABCD外一點(diǎn)，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E為AD的中點(diǎn)，則下列結(jié)論不肯定成立的是()圖1A．PE⊥ACB．PE⊥BCC．平面PBE⊥平面ABCDD．平面PBE⊥平面PAD解析：因?yàn)镻A＝PD，E為AD的中點(diǎn)，所以PE⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PE⊥平面ABCD，所以PE⊥AC，PE⊥BC，所以A、B成立；又PE?平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD，所以C成立；若平面PBE⊥平面PAD，則AD⊥平面PBE，必有AD⊥BE，此關(guān)系不肯定成立，故選D.答案：D4．如圖2，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，E是PC上的點(diǎn)，且EF⊥BC，則eq\f(PE,EC)＝________．圖2解析：在三棱錐P－ABC中，因?yàn)镻A⊥底面ABC，∠BAC＝90°，所以AB⊥平面APC.因?yàn)镋F?平面PAC，所以EF⊥AB，因?yàn)镋F⊥BC，BC∩AB＝B，所以EF⊥底面ABC，所以PA∥EF，因?yàn)镕是AC的中點(diǎn)，E是PC上的點(diǎn)，所以E是PC的中點(diǎn)，所以eq\f(PE,EC)＝1.答案：15．若α⊥β，α∩β＝l，點(diǎn)P∈α，P?l，則下列命題中正確的為________．(只填序號)①過P垂直于l的平面垂直于β；②過P垂直于l的直線垂直于β；③過P垂直于α的直線平行于β；④過P垂直于β的直線在α內(nèi)．解析：由α⊥β，α∩β＝l，點(diǎn)P∈α，P?l知：在①中，由面面垂直的判定定理得：過P垂直于l的平面垂直于β，故①正確；在②中，過P垂直于l的直線有可能垂直于α，但不垂直于β，故②錯(cuò)誤；在③中，由線面平行的判定定理得過P垂直于α的直線平行于β，故③正確；在④中，由面面垂直的性質(zhì)定理得過P垂直于β的直線在α內(nèi)，故④正確．答案：①③④實(shí)力提升1．如圖3，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則點(diǎn)C1在平面ABC上的射影H必在()圖3A．直線AB上 B．直線BC上C．直線AC上 D.△ABC的內(nèi)部解析：因?yàn)锽C1⊥AC，AB⊥AC，BC1∩AB＝B，所以AC⊥平面ABC1.因?yàn)锳C?平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABC1.又平面ABC∩平面ABC1＝AB，所以過點(diǎn)C1再作C1H⊥平面ABC，則H∈AB，即點(diǎn)C1在平面ABC上的射影H在直線AB上．答案：A2．如圖4，設(shè)平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，F(xiàn)H⊥平面α，垂足分別為G，H.為使PQ⊥GH，則需增加的一個(gè)條件是()圖4A．EF⊥平面α B．EF⊥平面βC．PQ⊥GE D．PQ⊥FH解析：因?yàn)镋G⊥平面α，PQ?平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，則由PQ?平面β，得EF⊥PQ.又EG與EF為相交直線，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故選B.答案：B圖53．如圖5所示，三棱錐P-ABC的底面在平面α內(nèi)，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，點(diǎn)P，A，B是定點(diǎn)，則動點(diǎn)C的軌跡是()A．一條線段B．一條直線C．一個(gè)圓D．一個(gè)圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)解析：∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC?平面PAC，∴AC⊥平面PBC.又∵BC?平面PBC，∴AC⊥BC.∴∠ACB＝90°.∴動點(diǎn)C的軌跡是以AB為直徑的圓，除去A和B兩點(diǎn)．答案：D4．如圖6，四面體P-ABC中，PA＝PB＝13，平面PAB⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，則PC＝________．圖6解析：取AB的中點(diǎn)E，連接PE，EC(圖略)．∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝10，∴CE＝5.∵PA＝PB＝13，E是AB的中點(diǎn)，∴PE⊥AB，PE＝12.∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，∴PE⊥平面ABC.∵CE?平面ABC，∴PE⊥CE.在Rt△PEC中，PC＝eq\r(PE2＋CE2)＝13.答案：135．(2024年湖北武漢模擬)如圖7，在邊長為2的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，將△ADE，△CDF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點(diǎn)重合于點(diǎn)A′.圖7(1)求證：平面A′DE⊥平面A′EF；(2)求三棱錐A′-DEF的體積．解：(1)證明：折疊前，AD⊥AE，CD⊥CF.折疊后，A′D⊥A′E，A′D⊥A′F.又∵A′E∩A′F＝A′，∴A′D⊥平面A′EF.∵A′D?平面A′DE，∴平面A′DE⊥平面A′EF.(2)∵E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，∴AE＝BE＝BF＝1，EF＝eq\r(2).折疊后，A′E＝A′F＝1，∴A′E2＋A′F2＝EF2，∴A′E⊥A′F，∴S△A′EF＝eq\f(1,2)A′E×A′F＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2).由(1)知，A′D⊥平面A′EF，∴VA′-DEF＝VD-A′EF＝eq\f(1,3)S△A′EF·A′D＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2＝eq\f(1,3).圖86．在斜三棱柱A1B1C1-ABC(側(cè)棱與底面不垂直)中，底面是等腰三角形，AB＝AC，側(cè)面BB1C1C⊥底面ABC.若D是BC的中點(diǎn)．(1)求證：AD⊥CC1；(2)過側(cè)面BB1C1C的對角線BC1的平面交側(cè)棱于M，若AM＝MA1，求證：截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C.證明：(1)因?yàn)锳B＝AC，D是BC的中點(diǎn)，所以AD⊥BC，因?yàn)榈酌鍭BC⊥側(cè)面BB1C1C，所以AD⊥側(cè)面BB1C1C，所以AD⊥CC1.(2)如圖9，取BC1的中點(diǎn)E，連接ME，DE.因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，圖9所以DE∥CC1，DE＝eq\f(1,2)CC1.因?yàn)锳A1∥CC1，AA1＝CC1，且M為AA1的中點(diǎn)，所以AM∥CC1且AM＝eq\f(1,2)CC1.所以DE∥AM，DE＝AM，所以四邊形ADEM是平行四邊形，所以EM∥AD.因?yàn)锳D⊥平面BB1C1C，所以EM⊥平面BB1C1C.又EM?截面MBC1，所以截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C.拓展要求如圖10①，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝eq\f(π,2)，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD＝a，E是AD的中點(diǎn)，O是AC與BE的交點(diǎn)．將△ABE沿BE折起到圖10②中△A1BE的位置，得到四棱錐A1BCDE.圖10(1)證明：CD⊥平面A1OC；(2)當(dāng)平面A1BE⊥平面BCDE時(shí)，四棱錐A1BCDE的體積為36eq\r(2)，求a的值．解：(1)證明：在圖10①中，因?yàn)锳B＝BC＝eq\f(1,2)AD＝a，E是AD的中點(diǎn)，∠BAD＝eq\f(π,2)，所以BE⊥AC.即在圖10②中，BE⊥A1O，BE⊥OC，從而BE⊥平面A1OC，又易得CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.(2)由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，又由(1)得A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE，即A1O是四棱錐A1BCDE的高．