2025版高中數(shù)學(xué)第3章不等式3.1不等關(guān)系與不等式第1課時(shí)不等關(guān)系與不等式的性質(zhì)課時(shí)作業(yè)案新人教A版必修5

PAGEPAGE1第1課時(shí)不等關(guān)系與不等式的性質(zhì)A級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．(2024·山東菏澤一中高二月考)假如a∈R，且a2＋a＜0，那么a，a2，－a，－a2的大小關(guān)系是(B)A．a(chǎn)2＞a＞－a2＞－a B．－a＞a2＞－a2＞aC．－a＞a2＞a＞－a2 D．a(chǎn)2＞－a＞a＞－a2[解析]∵a2＋a＜0，∴－1＜a＜0，取a＝－eq\f(1,2)，可知－a＞a2＞－a2＞a，解除A，C，D，故選B．2．完成一項(xiàng)裝修工程，請木工需付工資每人500元，請瓦工需付工資每人400元，現(xiàn)有工人工資預(yù)算20000元，設(shè)木工x人，瓦工y人，則請工人滿意的關(guān)系式是(D)A．5x＋4y<200 B．5x＋4y≥200C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤200[解析]由題意可知500x＋400y≤20000.即5x＋4y≤200.3．設(shè)a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，則(C)A．a(chǎn)>b B．a(chǎn)<bC．a(chǎn)≥b D．a(chǎn)≤b[解析]a－b＝3x2－x＋1－2x2－x＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0.故a≥b.4．設(shè)a，b∈R，定義運(yùn)算“?”和“⊕”如下：a?b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≤b，,b，a>b，))a⊕b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b，a≤b,a，a>b.))若m?n≥2，p?q≤2，則(A)A．mn≥4且p＋q≤4 B．m＋n≥4且pq≤4C．mn≤4且p＋q≥4 D．m＋n≤4且pq≤4[解析]m?n≥2表示eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥2,m≤n))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n≥2,m>n))∴mn≥4，p⊕q表示eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p≤2,p>q))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(q≤2,p≤q))∴p＋q≤4，故選A．5．已知a＝2－eq\r(5)，b＝eq\r(5)－2，c＝5－2eq\r(5)，那么下列各式正確的是(A)A．a(chǎn)<b<c B．a(chǎn)<c<bC．b<a<c D．c<a<b[解析]∵a<0，b>0，∴a<b.又∵c－b＝7－3eq\r(5)＝eq\r(49)－eq\r(45)>0，∴c>b，∴a<b<c.6．已知P＝eq\f(1,a2＋a＋1)，Q＝a2－a＋1，則P、Q的大小關(guān)系為(C)A．P>Q B．P<QC．P≤Q D．無法確定[解析]P－Q＝eq\f(1,a2＋a＋1)－a2＋a－1＝eq\f(1－a4－a3－a2＋a3＋a2＋a－a2－a－1,a2＋a＋1)＝eq\f(－a2a2＋1,a2＋a＋1)，∵a2＋a＋1＝(a＋eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)>0，－a2(a2＋1)≤0，∴eq\f(－a2a2＋1,a2＋a＋1)≤0，∴P≤Q.二、填空題7．已知x≤1，f(x)＝3x3，g(x)＝3x2－x＋1，則f(x)與g(x)的大小關(guān)系是f(x)__≤__g(x)．[解析]f(x)－g(x)＝3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)，∵x≤1得x－1≤0，而3x2＋1>0，∴(3x2＋1)(x－1)≤0，∴3x3≤3x2－x＋1.∴f(x)≤g(x)．8．若x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，則x與y的大小關(guān)系是__x＜y__.[解析]x－y＝(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7＜0，∴x＜三、解答題9．有糧食和石油兩種物質(zhì)，可用輪船與飛機(jī)兩種方式運(yùn)輸，每天每艘輪船和每架飛機(jī)的運(yùn)輸效果如下表：方式效果種類輪船運(yùn)輸量(t)飛機(jī)運(yùn)輸量(t)糧食300150石油250100現(xiàn)在要在一天內(nèi)運(yùn)輸2000t糧食和1500t石油．寫出支配輪船艘數(shù)和飛機(jī)架數(shù)所滿意的全部不等關(guān)系的不等式．[解析]設(shè)需支配x艘輪船和y架飛機(jī)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(300x＋150y≥2000,250x＋100y≥1500,x≥0,y≥0))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6x＋3y≥40,5x＋2y≥30,x≥0,y≥0)).10．(2024·山東日照青山中學(xué)高二月考)比較x6＋1與x4＋x2的大小，其中x∈R.[解析]x6＋1－(x4＋x2)＝x6－x4－x2＋1＝x4(x2－1)－(x2－1)＝(x2－1)(x4－1)＝(x2－1)2(x2＋1)≥0，∴當(dāng)x＝±1時(shí)，x6＋1＝x4＋x2，當(dāng)x≠±1時(shí)，x6＋1＞x4＋x2.綜上可知，x6＋1≥x4＋x2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝±1時(shí)等號成立．B級素養(yǎng)提升一、選擇題1．設(shè)a＝sin15°＋cos15°，b＝sin16°＋cos16°，則下列各式正確的是(B)A．a(chǎn)<eq\f(a2＋b2,2)<b B．a(chǎn)<b<eq\f(a2＋b2,2)C．b<a<eq\f(a2＋b2,2) D．b<eq\f(a2＋b2,2)<a[解析]a＝sin15°＋cos15°＝eq\r(2)sin60°，b＝sin16°＋cos16°＝eq\r(2)sin61°，∴a<b，解除C、D兩項(xiàng)．又∵a≠b，∴eq\f(a2＋b2,2)－ab＝eq\f(a－b2,2)>0，∴eq\f(a2＋b2,2)>ab＝eq\r(2)sin60°×eq\r(2)sin61°＝eq\r(3)sin61°>eq\r(2)sin61°＝b，故a<b<eq\f(a2＋b2,2)成立．2．已知－1<a<0，A＝1＋a2，B＝1－a2，C＝eq\f(1,1＋a)，比較A、B、C的大小結(jié)果為(B)A．A<B<C B．B<A<CC．A<C<B D．B<C<A[解析]不妨設(shè)a＝－eq\f(1,2)，則A＝eq\f(5,4)，B＝eq\f(3,4)，C＝2，由此得B<A<C，解除A、C、D，選B．詳細(xì)比較過程如下：由－1<a<0得1＋a>0，A－B＝(1＋a2)－(1－a2)＝2a2>0得A>BC－A＝eq\f(1,1＋a)－(1＋a2)＝－eq\f(aa2＋a＋1,1＋a)＝－eq\f(a\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))2＋\f(3,4))),1＋a)>0，得C>A，∴B<A<C.3．甲，乙兩人同時(shí)從寢室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半時(shí)間步行，一半時(shí)間跑步，假如兩人步行速度，跑步速度均相同，則(B)A．甲先到教室 B．乙先到教室C．兩人同時(shí)到教室 D．誰先到教室不確定[解析]設(shè)甲用時(shí)間T，乙用時(shí)間2t，步行速度為a，跑步速度為b，距離為s，則T＝eq\f(\f(s,2),a)＋eq\f(\f(s,2),b)＝eq\f(s,2a)＋eq\f(s,2b)＝s×eq\f(a＋b,2ab)，ta＋tb＝s?2t＝eq\f(2s,a＋b)，∴T－2t＝eq\f(sa＋b,2ab)－eq\f(2s,a＋b)＝s×eq\f(a＋b2－4ab,2aba＋b)＝eq\f(sa－b2,2aba＋b)>0.故選B．4．若d>0，d≠1，m，n∈N*，則1＋dm＋n與dm＋dn的大小關(guān)系是(A)A．1＋dm＋n>dm＋dn B．1＋dm＋n<dm＋dnC．1＋dm＋n≥dm＋dn D．不能確定[解析]1＋dm＋n－(dm＋dn)＝(1－dm)＋dn(dm－1)＝(1－dm)(1－dn)．∵m，n∈N*,1－dm與1－dn同號，∴(1－dm)(1－dn)>0.二、填空題5．若a<0，b<0，則p＝eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)與q＝a＋b的大小關(guān)系為__p≤q__.[解析]p－q＝eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)－a－b＝eq\f(b2－a2,a)＋eq\f(a2－b2,b)＝(b2－a2)·(eq\f(1,a)－eq\f(1,b))＝eq\f(b2－a2b－a,ab)＝eq\f(b－a2b＋a,ab)，因?yàn)閍<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0.綜上，p≤q.6．a(chǎn)≠2、b≠－1、M＝a2＋b2、N＝4a－2b－5，比較M與N大小的結(jié)果為__M＞N[解析]∵a≠2，b≠－1，∴M－N＝a2＋b2－4a＋2b＋5＝(a－2)2＋(b＋1)2＞0，∴M>N三、解答題7．已知a，b，c這三個實(shí)數(shù)中至少有一個不等于1，試比較a2＋b2＋c2與2a＋2b＋2[解析]a2＋b2＋c2－(2a＋2b＋2c－3)＝a2－2a＋1＋b2－2b＋1＋c2＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2.∵a，b，c這三個數(shù)中至少有一個不等于1，∴a－1，b－1，c－1中至少有一個不為0，∴(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2>0.∴a2＋b2＋c2>2a＋2b＋28．某糧食收購站分兩個等級收購小麥．一級小麥價(jià)格為a(元/kg)，二級小麥價(jià)格為b(元/kg)(b<a)，現(xiàn)有一級小麥m(kg)，二級小麥n(kg)，若以兩種價(jià)格的平均數(shù)收購，是否合理？為什么？[解析]若以a(元/k