2019屆泰安專版中考數(shù)學(xué)第一部分基礎(chǔ)知識過關(guān)第三章函數(shù)及其圖象第12講二次函數(shù)講義

第12講實數(shù)及其運算泰安考情分析基礎(chǔ)知識過關(guān)泰安考點聚焦總綱目錄隨堂鞏固練習(xí)泰安考情分析基礎(chǔ)知識過關(guān)知識點一二次函數(shù)的定義知識點二二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)知識點四二次函數(shù)圖象的平移知識點三二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖特征與系數(shù)a、b、c的關(guān)系

知識點五二次函數(shù)解析式的求法(必考考點)知識點六二次函數(shù)的實際應(yīng)用(高頻考點,復(fù)習(xí)重點,難點)知識點一

二次函數(shù)的定義一般地,形如①

y=ax2+bx+c(a、b、c是常數(shù),a≠0)

的函數(shù)叫做二次函數(shù),其中x是自變量,a、b、c分別是二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.溫馨提示

二次函數(shù)的一般形式的結(jié)構(gòu)分析:(1)含自變量的代數(shù)式,是整式;(2)自變量x的最高次數(shù)為2;(3)二次項系數(shù)a≠0.知識點二

二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)1.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與性質(zhì)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)a>0a<0圖象

三要素開口方向向上向下對稱軸直線x=-?頂點坐標②

?-?,??

增減性在對稱軸的左側(cè),即當(dāng)x<-?時,y隨x的增大而③

減小

;在對稱軸的右側(cè),即當(dāng)x>-?時,y隨x的增大而④

增大

在對稱軸的左側(cè),即當(dāng)x<-?時,y隨x的增大而⑤

增大

;在對稱軸的右側(cè),即當(dāng)x>-?時,y隨x的增大而⑥

減小

最值拋物線有最低點,當(dāng)x=-?時,y有最小值,y最小=?拋物線有最高點,當(dāng)x=-?時,y有最大值,y最大=?2.二次函數(shù)y=a(x-h)2+k(a≠0)的圖象與性質(zhì)

a>0a<0圖象

開口方向向上向下頂點坐標(h,k)對稱軸直線x=⑦

h

增減性在對稱軸的左側(cè),即當(dāng)x<h時,y隨x的增大而⑧

減小

;在對稱軸的右側(cè),即當(dāng)x>h時,y隨x的

增大而⑨

增大

在對稱軸的左側(cè),即當(dāng)x<h時,y隨x的增大而⑩

增大

;在對稱軸的右側(cè),即當(dāng)x>h時,y隨x的

增大而?

減小

最大值或最小值當(dāng)x=h時,y有最小值,y最小=k當(dāng)x=h時,y有最大值,y最大=k知識點三

二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖特征與系數(shù)a、b、c的關(guān)系

符號圖象的特征aa>0開口向上a<0開口向下bab>0(a、b同號)對稱軸在y軸左側(cè)b=0對稱軸為y軸ab<0(a、b異號)對稱軸在y軸右側(cè)cc>0與y軸正半軸相交c=0經(jīng)過原點c<0與y軸負半軸相交Δ=b2-4acb2-4ac>0與x軸有兩個交點b2-4ac=0與x軸有唯一交點b2-4ac<0與x軸沒有交點知識點四

二次函數(shù)圖象的平移1.平移步驟(1)將二次函數(shù)的一般式變形為頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k(a≠0);(2)保持拋物線的形狀不變,依據(jù)平移規(guī)律,平移頂點坐標(h,k)即

可.2.平移規(guī)律

知識點五

二次函數(shù)解析式的求法(必考考點)1.一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0)若已知條件是圖象上的三個點的坐標,則設(shè)為一般式y(tǒng)=ax2+bx+c

(a≠0),將已知條件代入,求出a、b、c的值,進而得到解析式.2.頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k(a≠0)若已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標或?qū)ΨQ軸與最大值或最小值,則

設(shè)為頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k(a≠0),將已知條件代入,求出待定系數(shù)的

值,進而得到解析式.3.交點式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)若已知二次函數(shù)圖象與x軸的兩個交點的坐標,則設(shè)為交點式y(tǒng)=a

(x-x1)(x-x2)(a≠0),將第三點的坐標或其他已知條件代入,求出待定系數(shù)a的值,進而得到解析式.知識點六

二次函數(shù)的實際應(yīng)用(高頻考點,復(fù)習(xí)重點,難點)1.實際應(yīng)用的類型(1)涉及拱橋、隧道、投籃等問題,一般情況下用待定系數(shù)法設(shè)二

次函數(shù)的頂點式解答.(2)涉及利潤增長(或下降)等問題,一般情況下設(shè)總利潤為y,根據(jù)

總利潤y=單位利潤×銷售數(shù)量列函數(shù)關(guān)系式,求得函數(shù)最值.(3)涉及圖形面積問題,以三角形為例,可設(shè)三角形的底邊長為自

變量x,面積為函數(shù)S,根據(jù)三角形面積公式列函數(shù)關(guān)系式進而求解

實際問題.2.解答的一般步驟(1)找出問題中的變量和常量以及它們之間的函數(shù)關(guān)系;(2)列出函數(shù)關(guān)系式,并確定自變量的取值范圍;(3)應(yīng)用二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)解決實際問題;(4)檢驗結(jié)果的合理性,看其是否符合實際意義.3.二次函數(shù)與幾何知識的綜合應(yīng)用二次函數(shù)與幾何知識的綜合應(yīng)用題型非常廣泛,常見的類型有存

在性問題,動點問題,動手操作問題,關(guān)聯(lián)知識點有方程,函數(shù),三角

形,相似,四邊形等,解決這類綜合題,關(guān)鍵是分析題目中隱含的數(shù)

形結(jié)合思想,轉(zhuǎn)化與化歸思想,方程思想等建立數(shù)學(xué)模型,具體策

略如下:(1)存在性問題注意靈活運用數(shù)形結(jié)合思想,可以先假設(shè)存在,借

助條件求解.(2)動點問題通常利用數(shù)形結(jié)合,分類和化歸思想,借助于圖形,把握圖形運動的全過程,選取特殊點作為研究的突破口,建立函數(shù)或者方程模型求解.泰安考點聚焦考點一二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)考點二

二次函數(shù)圖象的平移考點三

待定系數(shù)法求二次函數(shù)表達式考點四函數(shù)與方程(組)、不等式的關(guān)系考點五二次函數(shù)的應(yīng)用考點一

二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)中考解題指導(dǎo)?？碱}型歸納如下:題型一:確定二次函數(shù)圖象上點的坐標題型二:確定二次函數(shù)圖象的最值和對稱軸題型三:根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)比較函數(shù)值的大小題型四:二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合考查考向1二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)例1

(2017泰安)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的y與x的部分對應(yīng)值如下表:x-1013y-3131

有下列結(jié)論:①拋物線的開口向下;②其圖象的對稱軸為x=1;

③當(dāng)x<1時,函數(shù)值y隨x的增大而增大;④方程ax2+bx+c=0(a≠0)有

一個根大于4,其中正確的結(jié)論有(B)A.1個

B.2個

C.3個

D.4個解析由題表可知,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)有最大值,當(dāng)x=

?=?時,函數(shù)取得最大值,∴拋物線的開口向下,故①正確;其圖象的對稱軸是直線x=?,故②錯誤;當(dāng)x<?時,y隨x的增大而增大,故③正確;∵方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一個根大于-1,小于0,∴方程的

另一個根大于2×?=3,小于3+1=4,故④錯誤,故選B.變式1-1

(2018威海)如圖,將一個小球從斜坡的點O處拋出,小球拋出的路線可以用二次函數(shù)y=4x-?x2刻畫,斜坡可以用一次函數(shù)y=?x刻畫,下列結(jié)論錯誤的是?(A)

A.當(dāng)小球拋出高度達到7.5m時,小球與O點的水平距離為3m

B.小球與O點的水平距離超過4米后呈下降趨勢C.小球落地與O點的水平距離為7米

D.斜坡的坡度為12解析當(dāng)y=7.5時,7.5=4x-?x2,整理得x2-8x+15=0,解得x1=3,x2=5,∴當(dāng)小球拋出高度達到7.5m時,小球與O點的水平距離為3m或5

m,A錯誤,符合題意;y=4x-?x2=-?(x-4)2+8,則拋物線的對稱軸為x=4,∴當(dāng)x>4時,y隨x的增大而減小,即小球與O點的水平距離超過4米

后呈下降趨勢,B正確,不符合題意;?解得??則小球落地點與O點的水平距離為7米,C正確,不符合題意;∵斜坡可以用一次函數(shù)y=?x刻畫,∴斜坡的坡度為12,D正確,不符合題意;故選A.變式1-2二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),且a≠0)中的x與y的

部分對應(yīng)值如下表:x-1013y-1353有下列結(jié)論:①ac<0;②當(dāng)x>1時,y隨x的增大而減小,③3是方程ax2+(b-1)x+c=0的一個根;④當(dāng)-1<x<3時,ax2+(b-1)x+c>0.其中正確的個數(shù)為?(B)A.4

B.3

C.2

D.1解析①易知二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的開口向下,∴a<0;又x=0

時,y=3,所以c=3>0,所以ac<0,故①正確;②∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的開口向下,且對稱軸為x=?=1.5,∴當(dāng)x≥1.5時,y隨x的增大而減小,故②錯誤;③∵當(dāng)x=3時,y=3,∴9a+3b+c=3,∵c=3,∴9a+3b+3=3,∴9a+3b=0,

∴3是方程ax2+(b-1)x+c=0的一個根,故③正確;④∵當(dāng)x=-1時,ax2+bx+c=-1,∴當(dāng)x=-1時,ax2+(b-1)x+c=0,∵當(dāng)x=3

時,ax2+(b-1)x+c=0,且函數(shù)有最大值,∴當(dāng)-1<x<3時,ax2+(b-1)x+c>0,故④正確.故選B.考向2比較函數(shù)值的大小例2

二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象如圖所示,若點A(x1,y1),B(x2,y2)在此函數(shù)圖象上,且x1<x2<1,則y1與y2的大小關(guān)系是?(B)A.y1≤y2

B.y1<y2

C.y1≥y2

D.y1>y2

解析∵二次函數(shù)y=-x2+bx+c圖象的對稱軸為x=1,且開口向下,x1

<x2<1,∴y2>y1.變式2-1

(2017連云港)已知拋物線y=ax2(a>0)過A(-2,y1),B(-1,y2)兩點,則下列關(guān)系式一定正確的是

?(C)A.y1>0>y2

B.y2>0>y1C.y1>y2>0

D.y2>y1>0解析拋物線y=ax2(a>0)的對稱軸為x=0,且開口向上,-2<-1,∴y1>y2>0.考向3二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系例3

(2018濱州)如圖,若二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象的對稱

軸為x=1,與y軸交于點C,與x軸交于點A、點B(-1,0),則①二次函數(shù)的最大值為a+b+c;②a-b+c<0;③b2-4ac<0;④當(dāng)y>0時,-1<x<3,其中正確的個數(shù)是?(B)A.1

B.2

C.3

D.4解析∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象的對稱軸為x=1,且圖象

開口向下,∴x=1時,y=a+b+c,即二次函數(shù)的最大值為a+b+c,故①正確;當(dāng)x=-1時,a-b+c=0,故②錯誤;圖象與x軸有2個交點,故b2-4ac>0,故③錯誤;∵圖象的對稱軸為x=1,與x軸交于點A、點B(-1,0),∴A(3,0),故當(dāng)y>0時,-1<x<3,故④正確.故選B.變式3-1

(2018泰安)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,則反

比例函數(shù)y=?與一次函數(shù)y=ax+b在同一坐標系內(nèi)的大致圖象是?(C)

解析根據(jù)二次函數(shù)的圖象開口向上,得a>0,根據(jù)對稱軸在y軸的

左側(cè),得b>0,∴反比例在第一、三象限,一次函數(shù)圖象過第一、

二、三象限,故選C.考點二

二次函數(shù)圖象的平移例4將拋物線y=2(x-1)2+2向左平移3個單位,再向下平移4個單

位,那么得到的拋物線的解析式為

y=2(x+2)2-2

.解析根據(jù)拋物線的平移規(guī)律知,將拋物線y=2(x-1)2+2向左平移3個單位,再向下平移4個單位得到的拋物線的解析式為y=2(x-1+3)2+2-4=2(x+2)2-2.變式4-1拋物線y=x2+4x+1可以由拋物線y=x2平移得到,則下列平

移過程正確的是?(B)A.先向左平移2個單位,再向上平移3個單位B.先向左平移2個單位,再向下平移3個單位C.先向右平移2個單位,再向下平移3個單位D.先向右平移2個單位,再向上平移3個單位解析∵拋物線y=x2+4x+1可轉(zhuǎn)化為y=(x+2)2-3,∴把拋物線y=x2先向左平移2個單位,再向下平移3個單位即可得到拋物線y=(x+2)2-3,故選B.考點三

待定系數(shù)法求二次函數(shù)表達式例5如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+bx+c的頂點坐標

為(2,9),與y軸交于點A(0,5),與x軸交于點E、B,求該拋物線的解析式.解析設(shè)拋物線解析式為y=a(x-2)2+9,∵拋物線與y軸交于點A(0,5),∴4a+9=5,∴a=-1,y=-(x-2)2+9=-x2+4x+5.變式5-1在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=ax2+bx+2(a≠0)過B

(-2,6),C(2,2)兩點.試求拋物線的解析式.解析由題意得?解得?∴拋物線的解析式為y=?x2-x+2.考點四

函數(shù)與方程(組)、不等式的關(guān)系例6若二次函數(shù)y=ax2-2ax+c的圖象經(jīng)過點(-1,0),則方程ax2-2ax+c=0的解為?(C)A.x1=-3,x2=-1

B.x1=1,x2=3C.x1=-1,x2=3

D.x1=-3,x2=1解析∵二次函數(shù)y=ax2-2ax+c的圖象經(jīng)過點(-1,0),∴方程ax2-2ax+c=0一定有一個解為x=-1,易知拋物線的對稱軸為直線x=1,∴二次函數(shù)y=ax2-2ax+c的圖象與x軸的另一個交點為(3,0),∴方程ax2-2ax+c=0的解為x1=-1,x2=3.變式6-1

二次函數(shù)y=x2+bx的圖象如圖,對稱軸為直線x=1.若方程x2+bx-t=0

(t為實數(shù))在-1<x<4上有解,則t的取值范圍是?(C)A.t≥-1

B.-1≤t<3C.-1≤t<8

D.3<t<8解析∵拋物線的對稱軸為x=1,∴-?=1,∴b=-2,∴二次函數(shù)的解析式為y=x2-2x,即y=(x-1)2-1,方程x2+bx-t=0在-1<x<4上有解,等解y=x2-2x的圖象與y=t的圖象在-1<x<4時有交點,由y=x2-2x(-1<x<4)得-1≤y<8,即-1≤t<8.考點五

二次函數(shù)的應(yīng)用例7

(2018濱州)如圖,一小球沿與地面成一定角度的方向飛出,

小球的飛行路線是一條拋物線,如果不考慮空氣阻力,小球的飛行

高度y(單位:m)與飛行時間x(單位:s)之間具有函數(shù)關(guān)系y=-5x2+2

0x,請根據(jù)要求解答下列問題.(1)在飛行過程中,當(dāng)小球的飛行高度為15m時,飛行時間是多少?(2)在飛行過程中,小球從飛出到落地所用時間是多少?(3)在飛行過程中,小球飛行高度何時最大?最大高度是多少?解析(1)當(dāng)y=15時,15=-5x2+20x,解得x1=1,x2=3,答:在飛行過程中,當(dāng)小球的飛行高度為15m時,飛行時間是1s或3s.(2)當(dāng)y=0時,0=-5x2+20x,解得x3=0,x4=4,∵4-0=4,∴在飛行過程中,小球從飛出到落地所用時間是4s.(3)y=-5x2+20x=-5(x-2)2+20,∴當(dāng)x=2時,y取得最大值,此時y=20.答:在飛行過程中,小球飛行高度在第2s時最大,最大高度是20m.變式7-1

(2017濟寧)某商店經(jīng)銷一種學(xué)生用雙肩包,已知這種雙肩包的成本價為每個30元.市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),這種雙肩包每天的銷售量y(個)與銷售單價x(元)的關(guān)系為y=-x+60(30≤x≤60).設(shè)這種雙肩包每天的銷售利潤為w元.(1)求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式;(2)這種雙肩包銷售單價定為多少元時,每天的銷售利潤最大?最

大銷售利潤是多少元?(3)如果物價部門規(guī)定這種雙肩包的銷售單價不得高于42元,該商

店銷售這種雙肩包每天要獲得200元的銷售利潤,銷售單價應(yīng)定

為多少元?解析(1)w=(x-30)·y=(x-30)·(-x+60)=-x2+90x-1800.∴w與x之間的函數(shù)關(guān)系式為w=-x2+90x-1800(30≤x≤60).(2)w=-x2+90x-1800=-(x-45)2+225.∵-1<0,∴當(dāng)x=45時,w有最大值,最大值為225.答:銷售單價定為45元時,每天的銷售利潤最大,最大銷售利潤為2

25元.(3)當(dāng)w=200時,可得方程-(x-45)2+225=200,解得x1=40,x2=50.∵50>42,∴x2=50不符合題意,舍去.答:該商店銷售這種雙肩包每天要獲得200元的銷售利潤,銷售單

價應(yīng)定為40元.一、選擇題1.拋物線y=2x2-2?x+1與坐標軸的交點個數(shù)是?(C)A.0

B.1

C.2

D.3隨堂鞏固訓(xùn)練2.在平面直角坐標系中,把一條拋物線先向上平移3個單位長度,

然后繞原點旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線y=x2+5x+6,則原拋物線的解析式

是?(A)A.y=-?-?

B.y=-?-?C.y=-?-?

D.y=-?+?3.(2018河北)對于題目“一段拋物線L:y=-x(x-3)+c(0≤x≤3)與直

線l:y=x+2有唯一公共點.若c為整數(shù),確定所有c的值.”甲的結(jié)果

是c=1,乙的結(jié)果是c=3或4,則?(D)A.甲的結(jié)果正確B.乙的結(jié)果正確C.甲、乙的結(jié)果合在一起才正確D.甲、乙的結(jié)果合在一起也不正確二、填空題4.已知二次函數(shù)y=3x2+c與正比例函數(shù)y=4x的圖象只有一個交點,

則c的值為

.解析將正比例函數(shù)y=4x代入到二次函數(shù)y=3x2+c中,得4x=3x2+c,即3x2-4x+c=0.∵兩函數(shù)圖象只有一個交點,∴方程3x2-4x+c=0有兩個相等的實數(shù)根,∴Δ=(-4)2-4×3c=0,解得c=?.5.若二次函數(shù)y=-x2+2x+k的部分圖象如圖所示,且關(guān)于x的一元二

次方程-x2+2x+k=0的一個解為x1=3,則另一個解為x2=

-1

.解析因為二次函數(shù)圖象為軸對稱圖形,根據(jù)圖象,以x=1為對稱

軸,與x軸的一個交點坐標為(3,0),所以另一個交點坐標為(-1,0),所以x2=-1.6.(2017日照)已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線x=2,與

x軸的一個交點坐標為(4,0),其部分圖象如圖所示,有下列結(jié)論:①拋物線過原點;②4a+b+c=0;③a-b+c<0;④拋物線的頂點坐標為(2,b);⑤當(dāng)x<2時,y隨x增大而增大.其中結(jié)論正確的是

①②④

.解析①∵拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線x=2,與x軸的

一個交點坐標為(4,0),∴拋物線與x軸的另一交點坐標為(0,0),故

結(jié)論①正確;②∵拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線x=2,且拋物線過原

點,∴-?=2,c=0,∴b=-4a,c=0,∴4a+b+c=0,故結(jié)論②正確;③∵當(dāng)x=-1和x=5時,y值相同,且均為正,∴a-b+c>0,故結(jié)論③錯誤;④當(dāng)x=2時,y=ax2+bx+c=4a+2b+c=(4a+b+c)+b=b,∴拋物線的頂點

坐標為(2,b),故結(jié)論④正確;⑤觀察函數(shù)圖象可知,當(dāng)x<2時,y隨x增大而減小,故結(jié)論⑤錯誤.綜上所述,正確的結(jié)論是①②④.三、解答題7.(2018江西)某鄉(xiāng)鎮(zhèn)實施產(chǎn)業(yè)扶貧,幫助貧困戶承包了荒山種植

某品種蜜柚.到了收獲季節(jié),已知該蜜柚的成本價為8元/千克,投入

市場銷售時,調(diào)查市場行情,發(fā)現(xiàn)該蜜柚銷售不會虧本,且每天銷

售量y(千克)與銷售單價x(元/千