2019屆浙江專(zhuān)版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第四章三角函數(shù)4.2三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)講義

§4.2三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)一三角函數(shù)的圖象及其變換1.y=sinx(x∈R)的圖象:

知識(shí)清單

2.y=cosx(x∈R)的圖象:

3.y=tanx

的圖象:考點(diǎn)二三角函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用1.三角函數(shù)的基本性質(zhì)2.正弦函數(shù)y=sinx圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)⑤

x=kπ+

,k∈Z

,對(duì)稱(chēng)函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx定義域RR①

值域[-1,1][-1,1]②

R

周期性最小正周期為2π最小正周期為2π最小正周期為π奇偶性③奇函數(shù)

④偶函數(shù)

奇函數(shù)單調(diào)性在

(k∈Z)上增,在

(k∈Z)上減在[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上增,在[2kπ,2

kπ+π](k∈Z)上減在

(k∈Z)上增中心為⑥(kπ,0),k∈Z

.3.余弦函數(shù)y=cosx圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)⑦

x=kπ,k∈Z

,對(duì)稱(chēng)中心為⑧

,k∈Z

.4.正切函數(shù)y=tanx圖象的對(duì)稱(chēng)中心為

,k∈Z,漸近線(xiàn)為直線(xiàn)x=kπ+

,k∈Z.5.函數(shù)y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)(ω≠0)的周期都是T=

.6.函數(shù)y=Atan(ωx+φ)(ω≠0)的周期是T=

.7.三角函數(shù)的單調(diào)性(1)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的單調(diào)區(qū)間的確定,基本思想是把ωx+φ

看作一個(gè)整體,比如,由2kπ-

≤ωx+φ≤2kπ+

(k∈Z)解出x的范圍,所得區(qū)間即為增區(qū)間,由2kπ+

≤ωx+φ≤2kπ+

(k∈Z)解出x的范圍,所得區(qū)間即為減區(qū)間.(2)圖象的對(duì)稱(chēng)性y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=xk

成軸對(duì)稱(chēng);關(guān)于點(diǎn)(xk,0)(ωxk+φ=kπ,k∈Z)成中心對(duì)稱(chēng).三角函數(shù)圖象變換的解題策略1.在三角函數(shù)圖象的變換過(guò)程中,一定要弄清哪一個(gè)是起始函數(shù),哪一個(gè)

是目標(biāo)函數(shù).2.在平移變換中,可以通過(guò)關(guān)鍵點(diǎn)的平移來(lái)判斷平移方向和距離.比如:

由函數(shù)y=sin

的圖象平移得到函數(shù)y=sin

的圖象,可分別令2x-

=0,2x+

=0,即相當(dāng)于由點(diǎn)A

平移到點(diǎn)B

,即向左平移了

個(gè)單位.3.在伸縮變換中,對(duì)于橫坐標(biāo)的伸縮,可用三角函數(shù)的最小正周期來(lái)判斷

伸縮的倍數(shù);對(duì)于縱坐標(biāo)的伸縮,可用三角函數(shù)的最值來(lái)判斷伸縮的倍數(shù).方法技巧方法1例1

(2017浙江名校協(xié)作體,4)為了得到函數(shù)y=sin

的圖象,可以將函數(shù)y=sin

的圖象

()A.向左平移

個(gè)單位長(zhǎng)度B.向右平移

個(gè)單位長(zhǎng)度C.向左平移

個(gè)單位長(zhǎng)度D.向右平移

個(gè)單位長(zhǎng)度D解題導(dǎo)引

把函數(shù)y=sin

改寫(xiě)成y=sin

→由平移變換得結(jié)論解析因?yàn)閥=sin

=sin

,所以?xún)H需將函數(shù)y=sin

的圖象向右平移

個(gè)單位長(zhǎng)度,即可得到函數(shù)y=sin

的圖象,故選D.三角函數(shù)性質(zhì)的解題策略1.周期性:求三角函數(shù)的最小正周期時(shí),一般地,先經(jīng)過(guò)恒等變換把三角

函數(shù)化為“y=Asin(ωx+φ)”或“y=Acos(ωx+φ)”或“y=Atan(ωx+φ)”

的形式,再利用周期公式即可.2.奇偶性:首先判斷定義域,若定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),對(duì)于函數(shù)f(x)=Asin

(ωx+φ),φ=kπ(k∈Z)時(shí)f(x)為奇函數(shù);φ=kπ+

(k∈Z)時(shí)f(x)為偶函數(shù).對(duì)于函數(shù)f(x)=Acos(ωx+φ),φ=kπ(k∈Z)時(shí)f(x)為偶函數(shù),φ=kπ+

(k∈Z)時(shí)f(x)為奇函數(shù).3.單調(diào)性:三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的確定,一般先將三角函數(shù)式化為基本三角

函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式,然后通過(guò)同解變形或利用數(shù)形結(jié)合方法求解.對(duì)于復(fù)方法2合函數(shù)單調(diào)性的確定,應(yīng)明確:由兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成時(shí),同增或同減則為

增,一增一減則為減,即同增異減.4.圖象的對(duì)稱(chēng)性:判斷函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(或g(x)=Acos(ωx+φ))(A>0,ω>

0)的圖象對(duì)稱(chēng)性的方法:當(dāng)x=x0時(shí),若f(x)(或g(x))取到最值,則f(x)(或g(x))

的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=x0軸對(duì)稱(chēng);若f(x0)=0(或g(x0)=0),則f(x)(或g(x))的圖象關(guān)

于點(diǎn)(x0,0)中心對(duì)稱(chēng).例2

(2017浙江名校(紹興一中)交流卷一,18)已知函數(shù)f(x)=

sin2x-cos2x.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和對(duì)稱(chēng)軸;(2)當(dāng)x∈

時(shí),求f(x)的取值范圍.解題導(dǎo)引

(1)利用輔助角公式把函數(shù)化為f(x)=Asin(ωx+φ)的形式→由三角函數(shù)的周期性和對(duì)稱(chēng)性得結(jié)論(2)求出2x-

的范圍→結(jié)合三角函數(shù)圖象和性質(zhì)得結(jié)論解析(1)f(x)=

sin2x-cos2x=2

=2sin

,所以函數(shù)f(x)的最小正周期為π.令2x-

=kπ+

(k∈Z),得x=

+

(k∈Z),故函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為x=

+

(k∈Z).(2)因?yàn)閤∈

,所以2x-

∈

,所以sin

∈

,所以f(x)的取值范圍是[-1,2].評(píng)析

本題考查三角恒等變換,函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖象和

性質(zhì),考查推理與運(yùn)算能力.求函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式的解題策略由圖象求解析式y(tǒng)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的一般步驟:(1)由函數(shù)的最值確定A的值;(2)由函數(shù)的周期來(lái)確定ω的值;(3)由函數(shù)圖象最高點(diǎn)(或最低點(diǎn))的坐標(biāo)得到關(guān)于φ的方程,再由φ的范圍

得φ的值,也可以由起始點(diǎn)的橫坐標(biāo)得φ的值.例3

(2017浙江湖州、衢州、麗水聯(lián)考(4月),18)函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)

的部分圖象如圖所示,M為最高點(diǎn),該圖象與y軸交于點(diǎn)F(0,

),與x軸交于點(diǎn)B,C,且△MBC的面積為π.方法3

(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)若f

=

,求cos2α的值.解題導(dǎo)引

(1)由三角形面積求得最小正周期,得ω的值→利用f(0)=

和φ的范圍,求得φ→得f(x)解析式

(2)由條件得sinα的值→由二倍角公式得結(jié)論解析(1)因?yàn)镾△MBC=

×2×BC=π,所