2025年北師版八年級數(shù)學寒假預習 第08講 三角形的證明 單元綜合檢測

第08講三角形的證明單元綜合檢測（重點）一、單選題1．兩邊長3和7的等腰三角形的周長是（

）A．17 B．13 C．17或13 D．122．在中，，，，則的長是（

）A．6 B．4 C．3 D．23．如圖，，，要根據(jù)“”證明，還應添加一個條件是（

）A． B． C． D．4．在中，所對的邊分別為，下列選項中能判定是直角三角形的是（

）A． B．C． D．5．如圖，平分，于點，點在上．若，，則的面積為（）A．10 B．6 C．5 D．36．如圖，等邊的周長為，則它的高為（

）A． B． C． D．7．如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，的頂點都在格點上，則下列結論錯誤的是（

）

A． B． C． D．8．如圖，對于，小穎作如下操作：①分別以A、C為圓心，大于長為半徑在的兩側畫弧，兩弧相交于M、N兩點；②作直線交于E、F兩點；連接，恰好，已知于D，周長為16，，則長為（

）A．5 B．8 C．9 D．109．將一副直角三角板和一把寬度為的直尺按如圖方式擺放：先把和角的頂點及它們的直角邊重合，再將此直角邊垂直于直尺的上沿，重合的頂點落在直尺下沿上，這兩個三角板的斜邊分別交直尺上沿于A，B兩點，則的長是（）A． B． C．3 D．10．如圖，已知等邊和等邊，點在的延長線上，的延長線交于點，連接BM；下列結論：①；②；③BM平分；（4），其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題11．如圖，在中，，，是的平分線，則．12．到三角形三個頂點距離相等的點是三角形的交點；到三角形三邊距離相等的點是三角形的交點．13．如圖，點在的平分線上，于點，且，如果是射線上一點，那么長度的最小值是．14．若等腰三角形的一個內(nèi)角為，則它的底角的度數(shù)為．15．如圖，在中，邊上的垂直平分線交于點D，交于點E，，的周長為，則的長為．

16．如圖，在中，，點在上，作交于點，若，，則的長度為．17．如圖，是等邊三角形，是邊上的高，點E是邊的中點，點P是上的一個動點，當最小時，的度數(shù)是．18．如圖，在中，，點D在內(nèi)，平分，連接，把沿折疊，落在處，交于F，恰有．若，，則．三、解答題19．如圖，在中，，且于點，是AB的延長線上一動點，是CB上的一動點（不與、重合），若，求證：．20．如圖，已知．(1)求證：；(2)當時，求的度數(shù)．21．如圖，是線段的垂直平分線，，是上的兩點，求證：．

22．如圖，中，，長為，點是上的一點，，(1)求證：；(2)求線段的長．23．如圖，在中．(1)尺規(guī)作圖：作的平分線BD，交于點D；（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)尺規(guī)作圖：在（1）問所得的角平分線上取一點，使得；(3)求點D到AB的距離．24．上午8時，一條漁船從港口A出發(fā)，以每小時15海里的速度向正北方向航行，上午10時到達海島B處．從望海島C，測得（如圖所示）．(1)求海島B到海島C的距離；(2)這條船繼續(xù)向正北航行，問什么時間小船與燈塔C的距離最短？(3)漁船從海島B按原來的方向繼續(xù)航行30海里（記為點D處）出現(xiàn)了故障，它向海島B和海島C都發(fā)出了求救信號．接到求救信號后，海島B派出的救援隊立即以每小時20海里的速度前往，海島C派出的救援隊晚出發(fā)10分鐘，速度為每小時25海里，通過計算說明兩支救援隊誰先到達漁船處？25．如圖，在等腰直角三角形中，，，以為邊作等邊三角形，點，分別在線段，上，，，與相交于點，延長交于點．(1)求證：是等邊三角形；(2)試判斷線段和的數(shù)量關系，并說明理由．26．如圖，已知等腰和等腰，，點在內(nèi)部，連接，，，其中，，．(1)求證：；(2)求的大??；(3)求的長．27．如圖①，直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，與直線交于點．(1)直接寫出點A，B的坐標：A（，），B（，）；(2)點P是y軸上一點，若的面積為6，求點P的坐標；(3)如圖②，過x軸正半軸上的動點作直線軸，點Q在直線l上，若以B，C，Q為頂點的三角形是等腰直角三角形，請求出m的值．28．【問題提出】如圖1，、都是等邊三角形，求證：．【方法提煉】這兩個共頂點的等邊三角形，其在相對位置變化的同時，始終存在一對全等三角形，即．如果把小等邊三角形的一邊看作“小手”，大等邊三角形的一邊看作“大手”，這樣就類似“大手拉著小手”，不妨稱之為“手拉手”基本圖形，當圖形中只有一個等邊三角形時，可嘗試在它的一個頂點作另一個等邊三角形，構造“手拉手”基本圖形，從而解決問題．【方法應用】(1)等邊三角形中，是邊上一定點，是直線上一動點，以為一邊作等邊：等邊三角形，連接．①如圖2，若點在邊上，線段、、之間的關系為__________（直接寫出結論）．②如圖3，若點在邊的延長線上，試證明線段、、之間的關系．(2)如圖4，等腰中，，，，且交于點，以為邊作等邊，直線交直線于點，連接交于點，寫出、、之間的數(shù)量關系，并加以說明．(3)如圖5，在中，，，點是的中點，點是邊上的一個動點，連接，以為邊在的下方作等邊三角形，連接，則是否有最小值，如有，求出它的最小值，沒有，請說明理由．第08講三角形的證明單元綜合檢測（重點）一、單選題1．兩邊長3和7的等腰三角形的周長是（

）A．17 B．13 C．17或13 D．12【答案】A【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關鍵．分類討論，運用三角形的三邊關系驗證能否組成三角形．【解析】解：當腰為7時，周長；當腰長為3時，，根據(jù)三角形三邊關系可知此情況不成立；根據(jù)三角形三邊關系可知：等腰三角形的腰長只能為7，這個三角形的周長是17．故選：A．2．在中，，，，則的長是（

）A．6 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】此題考查了含角直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握角所對的直角邊等于斜邊的一半是解題的關鍵．根據(jù)角所對的直角邊等于斜邊的一半即可得到的的長．【解析】解：在中，，，，∴，故選：A3．如圖，，，要根據(jù)“”證明，還應添加一個條件是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了全等三角形的判定定理．根據(jù)垂直定義求出，再根據(jù)全等三角形的判定定理推出即可．【解析】解：還需要添加的條件是，理由是：∵，，，在和中，，∴，故選：C．4．在中，所對的邊分別為，下列選項中能判定是直角三角形的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，等腰三角形的知識，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．根據(jù)求出最大角，勾股定理逆定理，等腰三角形依次判斷四個選項即可．【解析】A、∵，∴最大角∴不是直角三角形，故選項不符合題意．B、∵，∴∴不是直角三角形，故選項不符合題意．C、∵，∴∴∴是直角三角形，故選項符合題意．D、∵，∴是等腰三角形，不一定是直角三角形，故選項不符合題意．故選C．5．如圖，平分，于點，點在上．若，，則的面積為（）A．10 B．6 C．5 D．3【答案】C【分析】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，過點作于，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出，再根據(jù)三角形面積公式計算，得到答案．熟知角平分線的性質(zhì)是關鍵．【解析】解：如圖，過點作于，平分，，，，，，故選：．6．如圖，等邊的周長為，則它的高為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由等邊三角形的性質(zhì)可得，由三線合一可得，由垂線的性質(zhì)可得，由等邊的周長為可得，于是可得，在中，根據(jù)勾股定理可得，于是得解．【解析】解：是等邊三角形，，又，，，，，，在中，根據(jù)勾股定理可得：，故選：．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，三線合一，垂線的性質(zhì)，線段的和與差，等式的性質(zhì)，勾股定理等知識點，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理是解題的關鍵．7．如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，的頂點都在格點上，則下列結論錯誤的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查的是勾股定理：如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么．以及勾股定理的逆定理，根據(jù)勾股定理、勾股定理的逆定理計算，判斷即可．【解析】解：A、∵，本選項結論正確，不符合題意；B、∵，本選項結論正確，不符合題意；C、∵，本選項結論錯誤，符合題意；D、∵∴，∴是直角三角形，且，本選項結論正確，不符合題意；故選：C．8．如圖，對于，小穎作如下操作：①分別以A、C為圓心，大于長為半徑在的兩側畫弧，兩弧相交于M、N兩點；②作直線交于E、F兩點；連接，恰好，已知于D，周長為16，，則長為（

）A．5 B．8 C．9 D．10【答案】A【分析】本題考查了線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)．由作圖痕跡知直線是線段的垂直平分線，推出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得，據(jù)此求解即可．【解析】解：由作圖痕跡知直線是線段的垂直平分線，∴，∵，∴，∵，，∴，∵周長為16，，∴，即，∴，故選：A．9．將一副直角三角板和一把寬度為的直尺按如圖方式擺放：先把和角的頂點及它們的直角邊重合，再將此直角邊垂直于直尺的上沿，重合的頂點落在直尺下沿上，這兩個三角板的斜邊分別交直尺上沿于A，B兩點，則的長是（）A． B． C．3 D．【答案】A【分析】本題考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，含角直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，由含30度角直角三角形的性質(zhì)可得，由勾股定理可得的長，即可得到結論．【解析】解：如圖，在中，，

∴，∴，在中，，∴，∴，∴，∴．故選：A．10．如圖，已知等邊和等邊，點在的延長線上，的延長線交于點，連接BM；下列結論：①；②；③BM平分；（4），其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的判定等知識，證明即可判斷①，進而根據(jù)全等三角三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理可得即可判斷②，作于N，于F，進而證明，得出，根據(jù)角平分線的判定即可判斷③，在上截取，連接．證明得出為等邊三角形，則，進而判斷④，即可求解．【解析】證明：①∵等邊和等邊，∴，，，在和中，，∴，∴，故①正確；②∵，∴，∵，則，故②正確；③作于N，于F，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴平分，故③正確；④在上截取，連接．由②知，∴，由③知：平分，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴為等邊三角形，則，故，故④正確；正確的有①②③④，共4個．故答案為：D．二、填空題11．如圖，在中，，，是的平分線，則．【答案】5【分析】本題考查三線合一，根據(jù)等腰三角形三線合一，即可得出結果．【解析】解：，的平分線交邊于點，，．故答案為：512．到三角形三個頂點距離相等的點是三角形的交點；到三角形三邊距離相等的點是三角形的交點．【答案】三邊的中垂線三個內(nèi)角的角平分線【分析】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，利用線段的垂直平分線的性質(zhì)與角平分線的性質(zhì)可得答案．【解析】解：∵到線段兩端點距離都相等的點在這條線段的中垂線上，∴到三角形三個頂點距離都相等的點是三角形三邊的中垂線的交點，∵角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等，∴到三角形三邊距離相等的點是三角形的三個內(nèi)角平分線的交點，故答案為：三邊的中垂線，三個內(nèi)角的角平分線．13．如圖，點在的平分線上，于點，且，如果是射線上一點，那么長度的最小值是．【答案】1【分析】過點C作CE⊥OB于點E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)解答即可．【解析】解：過點C作CE⊥OB于點E，∵點C在∠AOB的平分線上，CD⊥OA于點D，且CD＝1，∴CE＝CD＝1，即CE長度的最小值是1，故答案為：1．【點睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關鍵．14．若等腰三角形的一個內(nèi)角為，則它的底角的度數(shù)為．【答案】或【分析】本題考查等腰三角形的定義、三角形內(nèi)角和定理，解題的關鍵是注意分情況討論，避免漏解．分是等腰三角形的底角或頂角兩種情況，利用三角形內(nèi)角和定理求解．【解析】解：①是等腰三角形的底角，②當是等腰三角形的頂角時，它的底角的度數(shù)為：，符合要求；故答案為：或．15．如圖，在中，邊上的垂直平分線交于點D，交于點E，，的周長為，則的長為．

【答案】/9厘米【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)．先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)“線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等”可得，再利用的周長為，即可求出的長．【解析】解：∵是的垂直平分線，∴，∴的周長，∵，的周長為，∴，解得，故答案為：．16．如圖，在中，，點在上，作交于點，若，，則的長度為．【答案】6【分析】本題考查勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，連接，得出，得出，求出，設，則，，在中，，解得：，即可得出答案．【解析】解：連接，∵，，，，∴，∴，∵，∴，在中，，，∴，設，則，，在中，，解得：，∴，故答案為：6．17．如圖，是等邊三角形，是邊上的高，點E是邊的中點，點P是上的一個動點，當最小時，的度數(shù)是．【答案】【分析】根據(jù)等邊三角形的對稱性，等邊三角形的性質(zhì)，線段和最小原理計算即可．本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和對稱性，垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的對稱性是解題的關鍵．【解析】解：∵是等邊三角形，是邊上的高，點E是邊的中點，∴，，∴直線為的一條對稱軸，∴點B，點C關于直線對稱，連接，交于點，則點為取最小值時的位置點，此時，點P與點M重合，∵是等邊三角形，是邊上的高，點E是邊的中點，∴，∴直線是線段的垂直平分線，∴，∴，∴，∴，故答案為：．18．如圖，在中，，點D在內(nèi)，平分，連接，把沿折疊，落在處，交于F，恰有．若，，則．【答案】【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理等知識，延長，交于點，由等腰三角形的性質(zhì)可得出，，，證明是等腰直角三角形，可求出，則根據(jù)三角形面積求出的值，即可得解．【解析】解：延長，交于點，，平分，，，，，，，，，，，由折疊的性質(zhì)可知，，，是等腰直角三角形，，，在中，，，，，,．故答案為：．三、解答題19．如圖，在中，，且于點，是AB的延長線上一動點，是CB上的一動點（不與、重合），若，求證：．【答案】見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，通過“”證明，即可作答．【解析】證明：∵，在和中，∴20．如圖，已知．(1)求證：；(2)當時，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定：（1）根據(jù)，，即可求得答案；（2）根據(jù)，可得，進而可求得．【解析】（1）∵，∴．∴．∴．（2）∵，∴，．∴．∴．21．如圖，是線段的垂直平分線，，是上的兩點，求證：．

【答案】證明見解析【分析】本題考查垂直平分線的性質(zhì)，等邊對等角，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到，，再由等邊對等角得到，，根據(jù)角的和差即可證明．【解析】證明：是線段的垂直平分線，，．，，∴，即．22．如圖，中，，長為，點是上的一點，，(1)求證：；(2)求線段的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題主要考查勾股定理、勾股定理的逆定理.（1）根據(jù)，可求得；（2）設，則，根據(jù)，可得關于的一元二次方程．【解析】（1）∵，，，∴．∴．∴．（2）設，則．∵，∴．∵，∴，解得：．∴．23．如圖，在中．(1)尺規(guī)作圖：作的平分線BD，交于點D；（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)尺規(guī)作圖：在（1）問所得的角平分線上取一點，使得；(3)求點D到AB的距離．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】本題考查了角平分線的尺規(guī)作圖及性質(zhì)、線段垂直平分線的尺規(guī)作圖、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識點，掌握相關結論是解題關鍵．（1）以點為圓心，任意長為半徑畫弧與相交；再以兩交點為圓心，同一半徑畫弧即可完成作圖；（2）作出線段的垂直平分線即可；（3）作，證，得，；根據(jù)，即可求解；【解析】（1）解：如圖所示：BD即為所求（2）解：如圖所示：點即為所求（3）解：作，如圖所示：∵BD平分，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，解得：，∴點D到AB的距離為．24．上午8時，一條漁船從港口A出發(fā)，以每小時15海里的速度向正北方向航行，上午10時到達海島B處．從望海島C，測得（如圖所示）．(1)求海島B到海島C的距離；(2)這條船繼續(xù)向正北航行，問什么時間小船與燈塔C的距離最短？(3)漁船從海島B按原來的方向繼續(xù)航行30海里（記為點D處）出現(xiàn)了故障，它向海島B和海島C都發(fā)出了求救信號．接到求救信號后，海島B派出的救援隊立即以每小時20海里的速度前往，海島C派出的救援隊晚出發(fā)10分鐘，速度為每小時25海里，通過計算說明兩支救援隊誰先到達漁船處？【答案】(1)海島B到海島C的距離為30海里(2)上午11時，小船與燈塔C的距離最短(3)救援隊先到【分析】本題考查三角形的外角，等腰三角形和等邊三角形的判定：（1）根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)求出，進而得到即可；（2）過C作于H，先求出，根據(jù)含的直角三角形的性質(zhì)求出，進而即可解答；（3）證明為等邊三角形，進而得到的長，根據(jù)時間等于路程除以速度，進行求解即可得出結論．【解析】（1）解：由題意，得：海里；∵，∴，∴∴海里；答：海島B到海島C的距離為30海里；（2）解：過C作于點H，又，∴，∴（海里），∴從B處到H處需要小時，∴答：小船與燈塔C的距離最短時，此時為上午時；（3）解∶由題意：海里，由（1）知：海里，∴，∵，∴為等邊三角形，∴海里，∴救援隊所用時間為（小時），救援隊所用時間為（小時），∵，∴救援隊先到．25．如圖，在等腰直角三角形中，，，以為邊作等邊三角形，點，分別在線段，上，，，與相交于點，延長交于點．(1)求證：是等邊三角形；(2)試判斷線段和的數(shù)量關系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)，理由見解析【分析】（1）證明，得到，進而得到，推出，即可證明；（2）連接，由（1）知，得到，證明，得到，，推出，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)即可求解．【解析】（1）證明：是等邊三角形，，，在和中，，，，，，，，，，，是等邊三角形；（2）解：如圖，連接，由（1）知，，是等邊三角形，，在與中，，，，，，在中，，，．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握相關知識．26．如圖，已知等腰和等腰，，點在內(nèi)部，連接，，，其中，，．(1)求證：；(2)求的大小；(3)求的長．【答案】(1)見詳解(2)(3)【分析】（1）運用證明解題即可；（2）利用勾股定理求出長，然后利用勾股定理的逆定理得到，解題即可；（3）過點作于點，先利用勾股定理求出，然后在中利用勾股定理解題即可．【解析】（1）證明：∵和是等腰直角三角形，，，，．（2）解：在中，，，在中，，，，．（3）解：過點作于點，，，，，由勾股定理可得，即，解得：或（舍去），，，在中，．【點睛】本題考查勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握勾股定理是解題的關鍵．27．如圖①，直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，與直線交于點．(1)直接寫出點A，B的坐標：A（，），B（，）；(2)點P是y軸上一點，若的面積為6，求點P的坐標；(3)如圖②，過x軸正半軸上的動點作直線軸，點Q在直線l上，若以B，C，Q為頂點的三角形是等腰直角三角形，請求出m的值．【答案】(1)，；(2)點P的坐標為或；(3)存在，或4或3【分析】本題主要考查了求一次函數(shù)與坐標軸的交點坐標，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，（1）把代入求得點A的坐標，把x=0代入求得點的坐標即可；（2）過點作軸，垂足為，由的面積為6，求的長度，從而得到點的坐標；（3）由條件分，，，再通過全等三角形的判定和性質(zhì)求出邊的長度，從而得到的值；熟練掌握其性質(zhì)，合理添加輔助線是解決此題的關鍵．【解析】（1）解：把代入，解得，點的坐標為，把代入，解得，點的坐標為，故答案為：，；（2）解：如圖，過點作軸，垂足為E，的面積為6，，即，解得，點，,點的坐標為或；（3）解：存在以為頂點的三角形是等腰直角三角形，理由如下，①當時，如圖，過點C作軸，垂足為M，交直線l于點N，軸，直線軸，直線，，，，，，，，，，，，，②當時，如圖，過點C作軸，垂足為M，過點Q作軸，垂足為N，同理可證，，，，，當時，如圖，過點作直線，垂足為，過點作直線，垂足為，同理可證，，，設，，，，，，解得，，綜上所述，若以B，C，Q為頂點的三角形是等腰直角三角形，或4或3．28．【問題提出】如圖1，、都是等邊三角形，求證：．【方法提煉】這兩個共頂點的等邊三角形，其在相對位置變化的同時，始終存在一對全等