高中數(shù)學(xué)第二章推理與證明2.1合情推理與演繹推理2.1.2演繹推理課件新人教A版選修

2.1.2演繹推理第二章

§2.1合情推理與演繹推理學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解演繹推理的意義.2.掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單推理.3.了解合情推理和演繹推理之間的區(qū)別和聯(lián)系.問(wèn)題導(dǎo)學(xué)達(dá)標(biāo)檢測(cè)題型探究?jī)?nèi)容索引問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一演繹推理思考分析下面幾個(gè)推理，找出它們的共同點(diǎn).(1)所有的金屬都能導(dǎo)電，鈾是金屬，所以鈾能夠?qū)щ姡?2)一切奇數(shù)都不能被2整除，(2100＋1)是奇數(shù)，所以(2100＋1)不能被2整除.答案

問(wèn)題中的推理都是從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理叫演繹推理.定義從一般性的原理出發(fā)，推出

的結(jié)論的推理特點(diǎn)由

的推理梳理演繹推理的概念某個(gè)特殊情況下一般到特殊思考所有的金屬都能導(dǎo)電，銅是金屬，所以銅能導(dǎo)電，這個(gè)推理可以分為幾段？每一段分別是什么？答案

分為三段.大前提：所有的金屬都能導(dǎo)電.小前提：銅是金屬.結(jié)論：銅能導(dǎo)電.知識(shí)點(diǎn)二三段論

一般模式常用格式大前提________________M是P小前提__________________S是M結(jié)論根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的判斷S是P梳理三段論的基本模式已知的一般原理所研究的特殊情況1.演繹推理的結(jié)論一定正確.(

)2.在演繹推理中，大前提描述的是一般性原理，小前提描述的是大前提里的特殊情況，結(jié)論是根據(jù)一般性原理對(duì)特殊情況做出的判斷.(

)3.大前提和小前提都正確，推理形式也正確，則所得結(jié)論是正確的.(

)[思考辨析判斷正誤]√×√題型探究類(lèi)型一演繹推理與三段論例1將下列演繹推理寫(xiě)成三段論的形式.①平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分，菱形是平行四邊形，所以菱形的對(duì)角線(xiàn)互相平分；解

平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分，

大前提菱形是平行四邊形，

小前提菱形的對(duì)角線(xiàn)互相平分. 結(jié)論解答②等腰三角形的兩底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的兩底角，則∠A＝∠B；解

等腰三角形的兩底角相等，

大前提∠A，∠B是等腰三角形的兩底角，

小前提∠A＝∠B. 結(jié)論解答③通項(xiàng)公式為an＝2n＋3的數(shù)列{an}為等差數(shù)列.解

在數(shù)列{an}中，如果當(dāng)n≥2時(shí)，an－an－1為常數(shù)，則{an}為等差數(shù)列，

大前提當(dāng)通項(xiàng)公式為an＝2n＋3時(shí)，若n≥2，則an－an－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常數(shù))，

小前提通項(xiàng)公式為an＝2n＋3的數(shù)列{an}為等差數(shù)列. 結(jié)論解答反思與感悟用三段論寫(xiě)推理過(guò)程時(shí)，關(guān)鍵是明確大、小前提，三段論中的大前提提供了一個(gè)一般性的原理，小前提指出了一種特殊情況，兩個(gè)命題結(jié)合起來(lái)，揭示了一般原理與特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系.有時(shí)可省略小前提，有時(shí)甚至也可把大前提與小前提都省略，在尋找大前提時(shí)，可找一個(gè)使結(jié)論成立的充分條件作為大前提.跟蹤訓(xùn)練1下面四個(gè)推導(dǎo)過(guò)程符合演繹推理三段論形式且推理正確的是A.大前提：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)；小前提：π是無(wú)理數(shù)；結(jié)論：π是

無(wú)限不循環(huán)小數(shù)B.大前提：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)；小前提：π是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)；結(jié)

論：π是無(wú)理數(shù)C.大前提：π是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)；小前提：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)；結(jié)

論：π是無(wú)理數(shù)D.大前提：π是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)；小前提：π是無(wú)理數(shù)；結(jié)論：無(wú)限不循

環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)解析答案√解析

對(duì)于A，小前提與大前提間邏輯錯(cuò)誤，不符合演繹推理三段論形式；對(duì)于B，符合演繹推理三段論形式且推理正確；對(duì)于C，大小前提顛倒，不符合演繹推理三段論形式；對(duì)于D，大小前提及結(jié)論顛倒，不符合演繹推理三段論形式.類(lèi)型二演繹推理的應(yīng)用證明命題角度1證明幾何問(wèn)題例2如圖，D，E，F(xiàn)分別是BC，CA，AB上的點(diǎn)，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求證：ED＝AF，寫(xiě)出三段論形式的演繹推理.證明

因?yàn)橥唤窍嗟?，兩直線(xiàn)平行，

大前提∠BFD與∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，

小前提所以FD∥AE. 結(jié)論因?yàn)閮山M對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，

大前提DE∥BA，且FD∥AE，

小前提所以四邊形AFDE為平行四邊形. 結(jié)論因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)邊相等，

大前提ED和AF為平行四邊形AFDE的對(duì)邊，

小前提所以ED＝AF. 結(jié)論反思與感悟

(1)大前提的正確性：幾何證明往往采用演繹推理，它往往不是經(jīng)過(guò)一次推理就能完成的，常需要幾次使用演繹推理，每一個(gè)推理都暗含著大、小前提，前一個(gè)推理的結(jié)論往往是下一個(gè)推理的前提，在使用時(shí)不僅要推理的形式正確，還要前提正確，才能得到正確的結(jié)論.(2)大前提可省略：在幾何證明問(wèn)題中，每一步都包含著一般原理，都可以分析出大前提和小前提，將一般原理應(yīng)用于特殊情況，就能得出相應(yīng)結(jié)論.跟蹤訓(xùn)練2已知：在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，如圖所示，求證：EF∥平面BCD.證明證明

因?yàn)槿切蔚闹形痪€(xiàn)平行于底邊，

大前提點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，

小前提所以EF∥BD. 結(jié)論若平面外一條直線(xiàn)平行于平面內(nèi)一條直線(xiàn)，則直線(xiàn)與此平面平行，

大前提EF?平面BCD，BD?平面BCD，EF∥BD，

小前提所以EF∥平面BCD. 結(jié)論命題角度2證明代數(shù)問(wèn)題例3設(shè)函數(shù)f(x)＝

，其中a為實(shí)數(shù)，若f(x)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解答解

若函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)恒有意義，則函數(shù)定義域?yàn)镽，

大前提因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)镽，

小前提所以x2＋ax＋a≠0恒成立. 結(jié)論所以Δ＝a2－4a<0，所以0<a<4.即當(dāng)0<a<4時(shí)，f(x)的定義域?yàn)镽.引申探究

若本例的條件不變，求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.解答由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2－a.∵0<a<4，∴當(dāng)0<a<2時(shí)，2－a>0.∴在(－∞，0)和(2－a，＋∞)上，f′(x)>0.∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，0)，(2－a，＋∞).當(dāng)a＝2時(shí)，f′(x)≥0恒成立，∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，＋∞).當(dāng)2<a<4時(shí)，2－a<0，∴在(－∞，2－a)和(0，＋∞)上，f′(x)>0，∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，2－a)，(0，＋∞).綜上所述，當(dāng)0<a<2時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，0)，(2－a，＋∞)；當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，＋∞)；當(dāng)2<a<4時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，2－a)，(0，＋∞).反思與感悟應(yīng)用演繹推理解決的代數(shù)問(wèn)題(1)函數(shù)類(lèi)問(wèn)題：比如函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性和對(duì)稱(chēng)性等.(2)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)的極值和最值，證明與函數(shù)有關(guān)的不等式等.(3)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).(4)數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推公式以及求和，數(shù)列的性質(zhì).(5)不等式的證明.證明證明

方法一

(定義法)任取x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1<x2，因?yàn)閤2－x1>0，且a>1，所以

>1，而－1<x1<x2，所以x1＋1>0，x2＋1>0，所以f(x2)－f(x1)>0，所以f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù).方法二

(導(dǎo)數(shù)法)又因?yàn)閍>1，所以ln

a>0，ax>0，所以axln

a>0，所以f′(x)>0.達(dá)標(biāo)檢測(cè)1.下面幾種推理過(guò)程是演繹推理的是A.兩條直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，如果∠A與∠B是兩條平行直線(xiàn)的同旁

內(nèi)角，則∠A＋∠B＝180°B.某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人數(shù)

超過(guò)50人C.由平面三角形的性質(zhì)，推測(cè)空間四邊形的性質(zhì)√公式1234解析答案1234解析

A是演繹推理，B，D是歸納推理，C是類(lèi)比推理.12342.指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>1)是R上的增函數(shù)，y＝2|x|是指數(shù)函數(shù)，所以y＝2|x|是R上的增函數(shù).以上推理A.大前提錯(cuò)誤 B.小前提錯(cuò)誤C.推理形式錯(cuò)誤 D.正確解析

此推理形式正確，但是，函數(shù)y＝2|x|不是指數(shù)函數(shù)，所以小前提錯(cuò)誤，故選B.解析答案√3.把“函數(shù)y＝x2＋x＋1的圖象是一條拋物線(xiàn)”恢復(fù)成三段論，則大前提：____________________________；小前提：___________________________；結(jié)論：___________________________________.1234答案二次函數(shù)的圖象是一條拋物線(xiàn)

函數(shù)y＝x2＋x＋1是二次函數(shù)

函數(shù)y＝x2＋x＋1的圖象是一條拋物線(xiàn)證明4.設(shè)m為實(shí)數(shù)，利用三段論證明方程x2－2mx＋m－1＝0有兩個(gè)相異實(shí)根.證明

因?yàn)槿绻辉畏匠蘟x2＋bx＋c＝0(a≠0)的判別式Δ＝b2－4ac>0，那么方程有兩個(gè)相異實(shí)根. 大前提方程x2－2mx＋m－1＝0的判別式Δ＝4m2－4(m－1)＝4m2－4m＋4＝(2m