福建省南平市建甌第六中學(xué)2020年高一數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析

福建省南平市建甌第六中學(xué)2020年高一數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)是定義在上的一個(gè)函數(shù)，則函數(shù)，在上一定是（

）奇函數(shù)

偶函數(shù)

既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)參考答案：A2.已知函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有，且當(dāng)，的值域是，則的值是

（）A．

B．

C．

D．參考答案：C略3.若f（x）=，且f（f（e））=10，則m的值為（）A．2 B．﹣1 C．1 D．﹣2參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)的值．【分析】由題意昨f（e）=lne=1，從而f（f（e））=f（1）=2+m3=10，由此能求出m的值．【解答】解：∵f（x）=，且f（f（e））=10，∴f（e）=lne=1，f（f（e））=f（1）=2+m3=10，解得m=2．故選：A．4.若（R）是周期為2的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則方程的實(shí)根個(gè)數(shù)是（

）A.1

B.2

C.3

D.4參考答案：D略5.已知冪函數(shù)是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值是（）A．4 B．﹣1 C． D．4或﹣1參考答案：A【考點(diǎn)】冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域．【分析】根據(jù)函數(shù)y是冪函數(shù)列出方程求出m的值，再驗(yàn)證函數(shù)y是偶函數(shù)即可．【解答】解：函數(shù)是冪函數(shù)，則m2﹣3m﹣3=1，解得m=﹣1或m=4；當(dāng)m=﹣1時(shí)，y=不是偶函數(shù)；當(dāng)m=4時(shí)，y=是偶函數(shù)；綜上，實(shí)數(shù)m的值是4．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了冪函數(shù)的定義與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．6.函數(shù)f（x）=ax﹣1+4（a＞0，且a≠1）的圖象過一個(gè)定點(diǎn)，則這個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（5，1） B．（1，5） C．（1，4） D．（4，1）參考答案：B【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)．【分析】由題意令x﹣1=0，解得x=1，再代入函數(shù)解析式求出y的值為5，故所求的定點(diǎn)是（1，5）．【解答】解：令x﹣1=0，解得x=1，則x=1時(shí)，函數(shù)y=a0+4=5，即函數(shù)圖象恒過一個(gè)定點(diǎn)（1，5）．故選B．7.已知直線,若,則a的值為（

）A.－2 B.2 C. D.8參考答案：A【分析】兩直線垂直，斜率相乘等于.【詳解】由題意得，直線的斜率是，直線的斜率是，因?yàn)橹本€，所以，解得.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查直線垂直的斜率關(guān)系.8.已知平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A(3，-1)、C(2，-3)，點(diǎn)D在直線3x-y+1=0上移動，則點(diǎn)B的軌跡方程為(

)A.3x-y-20=0(x≠3)

B.3x-y-10=0(x≠3)C.3x-y-9=0(x≠2)

D.3x-y-12=0(x≠5)參考答案：A略9.定義在R上的函數(shù)若函數(shù)有4個(gè)不零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：D略10.方程組的解集是（）A.{(1，﹣1),(﹣1，1)} B.{(1，1),(﹣1，﹣1)}C.{(2，﹣2),（﹣2，2)} D.{(2，2),(﹣2，﹣2)}參考答案：A【分析】求出方程組的解，注意方程組的解是一對有序?qū)崝?shù)．【詳解】方程組的解為或，其解集為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查集合的表示，二元二次方程組的解是一對有序?qū)崝?shù)，表示時(shí)用小括號括起來，表示有序，即代表元可表示為，一個(gè)解可表示為．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在四棱柱ABCD﹣A′B′C′D′中，AA′⊥底面ABCD，四邊形ABCD為梯形，AD∥BC且AD=AA′=2BC．過A′，C，D三點(diǎn)的平面與BB′交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為CC′，A′D′的中點(diǎn)（如圖所示）給出以下判斷：①E為BB′的中點(diǎn)；②直線A′E和直線FG是異面直線；③直線FG∥平面A′CD；④若AD⊥CD，則平面ABF⊥平面A′CD；⑤幾何體EBC﹣A′AD是棱臺．其中正確的結(jié)論是．（將正確的結(jié)論的序號全填上）參考答案：①③④⑤【考點(diǎn)】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；棱柱的結(jié)構(gòu)特征．【專題】空間位置關(guān)系與距離．【分析】利用四棱柱的性質(zhì)，結(jié)合線面關(guān)系、面面關(guān)系定理對選項(xiàng)分別分析解答．【解答】解：對于①，∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四邊形ABCD為梯形，AD∥BC，∴平面EBC∥平面A1D1DA，∴平面A1CD與面EBC、平面A1D1DA的交線平行，∴EC∥A1D∴△EBC∽△A1AD，∴，∴E為BB1的中點(diǎn)；故①正確；對于②，因?yàn)镋，F(xiàn)都是棱的中點(diǎn)，所以EF∥B'C'，又B'C'∥A'D'，所以EF∥A'D'，所以A'E，F(xiàn)G都在平面EFD'A'中；故②錯(cuò)誤；對于③，由②可得EF∥A'G，EF=A'G，所以四邊形A'EFG是平行四邊形，所以FG∥A'E，又A'E?平面A'CD中，F(xiàn)G?平面A'CD，所以直線FG∥平面A′CD正確；對于④，連接AD'，容易得到BF∥AD'，所以ABFD'四點(diǎn)共面，因?yàn)锳D⊥CD，AD'在底面的射影為AD，所以CD⊥AD'，又AD'⊥BF，所以BF⊥CD，又BF⊥CE，所以BF⊥平面A'CD，BF?平面ABFD'，所以平面ABF⊥平面A′CD；故④正確；對于⑤，由④得到，AB與D'F，DC交于一點(diǎn)，所以幾何體EBC﹣A′AD是棱臺．故⑤正確；故答案為：①③④⑤．【點(diǎn)評】本題考查了三棱柱的性質(zhì)的運(yùn)用以及其中的線面關(guān)系和面面關(guān)系的判斷，比較綜合．12.甲、乙兩人在天中每天加工的零件的個(gè)數(shù)用莖葉圖表示如圖．中間一列的數(shù)字表示零件個(gè)數(shù)的十位數(shù)，兩邊的數(shù)字零件個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)，則這天中甲、乙兩人日加工零件的平均水平_________更高。參考答案：甲因?yàn)?，所以這天中甲、乙兩人日加工零件的平均水平甲更高。13.若，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為

.參考答案：已知向量14.且，則=————————參考答案：-15.已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為

參考答案：16.若函數(shù)y=f(x)的定義域是[0,2],則函數(shù)

的定義域

參考答案：略17.定義運(yùn)算，例如，，則函數(shù)的最大值為

▲

.參考答案：.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知∠A=45°，a=6．（1）若∠C=105°，求b；（2）求△ABC面積的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用和差公式與正弦定理即可得出．（2）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bcsinA，利用基本不等式的性質(zhì)可得：36≥2bc﹣2bc×，進(jìn)而得出．【解答】解：（1）sin105°=sin75°=sin（30°+45°）=+=．由正弦定理可得：=，∴c==．（2）a2=b2+c2﹣2bcsinA，∴36≥2bc﹣2bc×，解得bc≤′18（2+）．當(dāng)且僅當(dāng)b=c=3時(shí)取等號．∴S△ABC=sinA≤×=9（1+）．∴△ABC面積的最大值是9（1+）．19.已知A、B是函數(shù)y=f（x），x∈[a，b]圖象的兩個(gè)端點(diǎn)，M（x，y）是f（x）上任意一點(diǎn)，過M（x，y）作MN⊥x軸交直線AB于N，若不等式|MN|≤k恒成立，則稱函數(shù)f（x）在[a，b]上“k階線性近似”．（1）若f（x）=x+，x∈[，2]，證明：f（x）在[，2]上“階線性近似”；（2）若f（x）=x2在[﹣1，2]上“k階線性近似”，求實(shí)數(shù)k的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象．【分析】（1）根據(jù)對勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得到f（x）=x+，x∈[，2]，滿足|MN|≤，進(jìn)而得到答案．（2）由已知可得N和M的橫坐標(biāo)相同，根據(jù)|MN|=x+2﹣x2=﹣（x﹣）2+及x∈[﹣1，2]，求出|MN|的范圍，再由|MN|≤k恒成立，求得k的取值范圍．【解答】證明：（1）若f（x）=x+，x∈[，2]，則A（，）、B（2，），故直線AB的方程為：y=，則由|MN|=﹣（x+），∴|MN|∈[0，]，故|MN|≤，故f（x）在[，2]上“階線性近似”；解：（2）由MN⊥x交直線AB于N，得N和M的橫坐標(biāo)相同．對于區(qū)間[﹣1，2]上的函數(shù)f（x）=x2，A（﹣1，1）、B（2，4），則直線AB的方程為：y=x+2，則有|MN|=x+2﹣x2=﹣（x﹣）2+，∴|MN|∈[0，]．再由|MN|≤k恒成立，可得k≥．故實(shí)數(shù)k的最小值為．【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是新定義“k階線性近似”，正確理解新定義“k階線性近似”，是解答的關(guān)鍵．20.已知a＋b≠0，證明a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要條件是a＋b＝1.參考答案：證明：先證充分性：若a＋b＝1，則a2＋b2－a－b＋2ab＝(a＋b)2－(a＋b)＝1－1＝0，即充分性成立．必要性：若a2＋b2－a－b＋2ab＝0，則(a＋b)2－(a＋b)＝(a＋b)(a＋b－1)＝0，因?yàn)閍＋b≠0，所以a＋b－1＝0，即a＋b＝1成立，綜上，a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要條件是a＋b＝1.21.已知數(shù)列滿足，．（1）求證：數(shù)列成等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．參考答案：（1）∵∴又，即∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列

………6′（2）由（1）知，∴，又

∴，即

…………12′

略22.（12分）如圖等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥BD，M為AB的中點(diǎn)，矩形ABEF所在的平面和平面ABCD相互垂直．（1）求證：AD⊥平面DBE（2）設(shè)DE的中點(diǎn)為P，求證MP∥平面DAF（3）若AB=2，AD=AF=1求三棱錐E﹣BCD的體積．參考答案：考點(diǎn)： 棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定．專題： 證明題；空間位置關(guān)系與距離．分析： （1）要證線與面垂直，需先證明直線AF垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，因?yàn)榫匦蜛BCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，所以BC垂直于平面ABEF，從而AF垂直于BC，依題意，AF垂直于BF，從而命題得證．（2）取DF的中點(diǎn)為N，由三角形中位線定理，MN平行CD且等于CD的一半，而OA也是如此，從而MN平行且等于OA，四邊形MNAO為平行四邊形，所以O(shè)M平行于AN，由線面平行的判定定理即可得證OM平行于平面DAF．（3）先計(jì)算底面三角形BEF的面積，在等腰梯形ABEF中，可得此三角形的高為，底EF為1，再計(jì)算三棱錐C﹣BEF的高，即為CB，最后由三棱錐體積計(jì)算公式計(jì)算即可．解答： 證明：（1）∵面ABCD⊥面ABEF，面ABCD∩面ABEF=AB，∵矩形ABEF，∴EB⊥AB，∵EB?面ABEF，∴EB⊥面ABCD，∵AD?面ABCD，∴EB⊥AD，AD⊥BD，BD∩BE=B，∴AD⊥面BDE．（2）取DF的中點(diǎn)N，連接PN，AN，因?yàn)镻為DE的中點(diǎn)，∴PN∥EF，PN=，∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)∴AM∥EF，AM=EF，即AM∥