常系數(shù)線性微分方程

常系數(shù)線性微分方程一、常系數(shù)齊次線性微分方程

根據(jù)二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)可知，求解二階線性微分方程，關(guān)鍵在于如何求得二階齊次線性微分方程的通解和非齊次線性微分方程的一個特解.本節(jié)和下一節(jié)將著重討論二階線性微分方程的一種特殊類型，即二階常系數(shù)線性微分方程及其解法.本節(jié)先討論二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法，再把二階方程的解法推廣到n階方程.二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法1.

設(shè)給定二階常系數(shù)齊次線性微分方程為y″+py′+qy=0，（6-25）其中p，q是常數(shù)，要求方程（6-25）的通解，只要求出其任意兩個線性無關(guān)的特解y1，y2就可以了，下面討論這兩個特解的求法.先來分析方程（6-25）可能具有什么形式的特解.從方程的形式上看，它的特點是y″，y′與y各乘以常數(shù)因子后相加等于零，如果能找到一個函數(shù)y，其y″，y′與y之間只相差一個常數(shù)，這樣的函數(shù)就有可能是方程（6-25）的特解，易知在初等函數(shù)中，指數(shù)函數(shù)erx符合上述要求，于是，令y=erx，一、常系數(shù)齊次線性微分方程

其中r為待定常數(shù).將y=erx，y′=rerx，y″=r2erx代入方程（6-25），得(r2+pr+q)erx=0，因為erx≠0，故有r2+pr+q=0.（6-26）由此可見，如果r是二次方程r2+pr+q=0的根，則y=erx就是方程（6-25）的特解，這樣，齊次方程（6-25）的求解問題就轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程（6-26）的求根問題，稱方程（6-26）為微分方程（6-25）的特征方程，并稱特征方程的兩個根r1，r2為特征根.根據(jù)初等代數(shù)的知識，特征根有三種可能的情況，下面分別討論.一、常系數(shù)齊次線性微分方程

(1)特征方程（6-26）有兩個不相等的實根r1，r2.此時p2－4q>0，er1x，er2x是方程（6-25）的兩個特解，因為所以為線性無關(guān)函數(shù)，因此，齊次方程（6-25）的通解為其中C1，C2為任意常數(shù).一、常系數(shù)齊次線性微分方程(2)特征方程（6-26）有兩個相等的實根r1=r2.此時p2－4q=0，特征根r1=r2=－p/2，這樣只能得到方程（6-25）的一個特解y1=er1x，因此，還要設(shè)法找出另一個特解y2，并使得y1與y2的比不是常數(shù)，為此可設(shè)y2=uer1x,其中u=u(x)為待定函數(shù).將y2，y′2，y″2的表達(dá)式代入方程（6-25），得合并整理，并在方程兩端消去非零因子er1x，得一、常系數(shù)齊次線性微分方程因r1是特征方程（6-26）的根，所以，在上述關(guān)于函數(shù)u的方程的第2項和第3項中的系數(shù)均等于零，于是上式成為u″=0，取這個方程的最簡單的一個解u(x)=x，就得到方程（6-25）的另一個特解y2=xer1x，且y1與y2線性無關(guān)，從而得到方程（6-25）的通解為y=(C1+C2x)er1x,其中C1，C2為任意常數(shù).一、常系數(shù)齊次線性微分方程

(3)特征方程（6-26）有一對共軛復(fù)根r1=α+iβ，r2=α－iβ，其中此時p2－4q<0，方程（6-25）有兩個特解y1=e(α+iβ)x，y2=e(α－iβ)x,所以，方程（6-25）的通解為y=C1e(α+iβ)x+C2e(α－iβ)x.一、常系數(shù)齊次線性微分方程

由于這種復(fù)數(shù)形式的解在應(yīng)用上不方便，在實際問題中，常常需要實數(shù)形式的通解，為此可借助歐拉公式eiθ=cosθ+isinθ對上述兩個特解重新組合得到方程（6-25）的另外兩個特解y1，y2.實際上，令則由第四節(jié)的定理1知，y1，y2是方程（6-25）的兩個特解，從而方程（6-25）的通解又可表示為y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)，其中C1，C2為任意常數(shù).一、常系數(shù)齊次線性微分方程綜上所述，求二階常系數(shù)齊次線性微分方程（6-25）的通解，只需先求出其特征方程（6-26）的根，再根據(jù)根的情況確定其通解，如表6-1所示表6-1一、常系數(shù)齊次線性微分方程

這種根據(jù)二階常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根直接確定其通解的方法稱為特征方程法.一、常系數(shù)齊次線性微分方程

求微分方程y″－y′－6y=0的通解.

解

其特征方程為r2－r－6=0,特征根為r1=－2,r2=3,所以微分方程的通解為y=C1e－2x+C2e3x.【例1】一、常系數(shù)齊次線性微分方程

求微分方程y″－10y′+25y=0的通解.解其特征方程為r2－10r+25=0,特征根為r1=r2=5,所以微分方程的通解為y=(C1+C2x)e5x.【例2】一、常系數(shù)齊次線性微分方程

求微分方程y″+2y′+2y=0的通解.

解

其特征方程為r2+2r+2=0,特征根為r1,2=－1±i,所以微分方程的通解為y=e－x(C1cosx+C2sinx).【例3】一、常系數(shù)齊次線性微分方程

求以y=C1ex+C2e－4x為通解的二階常系數(shù)齊次線性微分方程.解由于二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解為y=C1ex+C2e－4x,可知其特解為ex,e－4x,從而特征根為r1=1,r2=－4,相應(yīng)的特征方程為r2+3r－4=0,從而可知所求的微分方程為y″+3y′－4y=0.【例4】一、常系數(shù)齊次線性微分方程

求微分方程y″+2y′+y=0滿足初始條件y|x=0=4,y′|x=0=－2的特解.

解

其特征方程為r2+2r+1=0,特征根為r1=r2=－1,所以此微分方程的通解為y=(C1+C2x)e－x.將初始條件y|x=0=4代入通解,得C1=4,【例5】一、常系數(shù)齊次線性微分方程

從而y=(4+C2x)e－x.將上式對x求導(dǎo),得y′=(C2－4－C2x)e－x,將初始條件y′|x=0=－2代入,得C2=2,從而所求的特解為y=(4+2x)e－x.一、常系數(shù)齊次線性微分方程n階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法2.上面討論的關(guān)于二階常系數(shù)齊次線性微分方程所用的方法以及通解的形式，可推廣到n階常系數(shù)齊次線性微分方程的情形.這里不再詳細(xì)討論，只簡單敘述如下.

n階常系數(shù)齊次線性微分方程的一般形式為y(n)+p1y(n－1)+…+pn－1y′+pny=0，

其特征方程為rn+p1rn－1+…+pn－1r+pn=0.一、常系數(shù)齊次線性微分方程根據(jù)特征方程的根，可按表6-2所示直接寫出其對應(yīng)的微分方程的解.表6-2一、常系數(shù)齊次線性微分方程n次代數(shù)方程有n個根（重根按重數(shù)計算），而特征方程的每一個根都對應(yīng)著通解中的一項，且每一項各含一個任意常數(shù).這樣就得到n階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解為y=C1y1+C2y2+…+Cnyn.注意一、常系數(shù)齊次線性微分方程

求微分方程y(4)－2y+y″=0.

解

其特征方程為r4－2r3+r2=0,特征根為r1=r2=0,r3=r4=1,所以此微分方程的通解為y=C1+C2x+ex(C3+C4x).【例6】一、常系數(shù)齊次線性微分方程二、常系數(shù)非齊次線性微分方程

本節(jié)著重討論二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法，并對n階方程的解法作必要的說明.二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的一般形式為y″+py′+qy=f(x).（6-27）

根據(jù)線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)定理可知，要求方程（6-27）的通解，只要求出它的一個特解和其對應(yīng)的齊次方程y″+py′+qy=0（6-28）的通解，兩個解相加就得到了方程（6-27）的通解，前面已經(jīng)解決了求其對應(yīng)齊次方程的通解的方法，因此，本節(jié)要解決的問題是如何求得方程（6-27）的一個特解y*.方程（6-27）的特解的形式與右端的自由項f(x)有關(guān)，在一般情形下，要求出方程（6-27）的特解是非常困難的，所以，下面僅就f(x)的兩種常見的情形進(jìn)行討論：（1）f(x)=Pm(x)eλx，其中λ是常數(shù)，Pm(x)是x的一個m次多項式，即Pm(x)=a0xm+a1xm－1+…+am－1x+am.（2）f(x)=eλx［Pm(x)cosωx+Pn(x)sinωx］，其中λ，ω是常數(shù)，Pm(x),Pn(x)分別是x的m次、n次多項式，其中有一個可為零.二、常系數(shù)非齊次線性微分方程f(x)=Pm(x)eλx型1.要求方程（6-27）的一個特解y*就是要求一個滿足方程（6-27）的函數(shù)，在f(x)=Pm(x)eλx的情況下，方程（6-27）的右端是多項式Pm(x)與指數(shù)函數(shù)eλx的乘積，而多項式與指數(shù)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)仍是同類型的函數(shù)，因此，可以推測方程（6-27）具有如下形式的特解y*=Q(x)eλx（其中Q(x)為某個多項式）.二、常系數(shù)非齊次線性微分方程

y*=Q(x)eλx，y*′=［λQ(x)+Q′(x)］eλx,y*″=［λ2Q(x)+2λQ′(x)+Q″(x)］eλx,代入方程（6-27），并消去因子eλx，得Q″(x)+(2λ+p)Q′(x)+(λ2+pλ+q)Q(x)=Pm(x).（6-29）于是，根據(jù)λ是否為方程（6-28）的特征方程r2+pr+q=0（6-30）的特征根，分下列三種情況討論：二、常系數(shù)非齊次線性微分方程(1)如果λ不是特征方程（6-30）的根，則λ2+pλ+q≠0，由于Pm(x)是x的一個m次多項式，由式（6-29）知Q(x)為一個m次多項式，設(shè)Qm(x)=b0xm+b1xm－1+…+bm－1x+bm,將其代入式（6-29），便可求出待定系數(shù)bi（i=0,1,2,…,m）的值，并得到所求特解y*=Qm(x)eλx.二、常系數(shù)非齊次線性微分方程（2）如果λ是特征方程（6-30）的單根，則λ2+pλ+q=0，2λ+p≠0，由式（6-30）知Q′(x)必須是m次多項式，故可設(shè)Q(x)=xQm(x),將其代入式（6-29），便可確定Qm(x)的待定系數(shù)bi（i=0,1,2,…,m）.于是，所求特解為y*=xQm(x)eλx.二、常系數(shù)非齊次線性微分方程（3）如果λ是特征方程（6-30）的重根，則λ2+pλ+q=0，2λ+p=0.由式（6-29）知Q″(x)必須是m次多項式，故可設(shè)Q(x)=x2Qm(x),將其代入式（6-29），便可確定Qm(x)的待定系數(shù).于是，所求特解為y*=x2Qm(x)eλx.綜上所述，二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y″+py′+qy=Pm(x)eλx具有形如y*=xkQm(x)eλx的特解，其中Qm(x)是與Pm(x)同次（m次）的多項式，k按λ不是特征方程的根，是特征方程的單根或是特征方程的重根依次取0，1或2.二、常系數(shù)非齊次線性微分方程上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程，k按λ不是特征方程的根,是特征方程的單根，是特征方程的重根，…，是特征方程的n重根依次取0，1，2，…，n.二、常系數(shù)非齊次線性微分方程

求微分方程y″+3y′+2y=3e2x的通解.解對應(yīng)齊次方程的特征方程為r2+3r+2=0,特征根為r1=－2,r2=－1,對應(yīng)齊次方程的通解是Y=C1e－2x+C2e－x.f(x)=3e2x寫成Pm(x)eλx形式，就是P0(x)=3,λ=2.【例7】二、常系數(shù)非齊次線性微分方程因為2不是特征方程的根,所以特解為y=be2x,其中b是待定系數(shù),求出y的一階和二階導(dǎo)數(shù)y′=2be2x,y″=4be2x,代入微分方程,得4be2x+6be2x+2be2x=3e2x,即12be2x=3e2x,解得b=1/4.故微分方程的一個特解為y=1/4e2x,所以微分方程的通解為y=C1e－2x+C2e－x+1/4e2x.二、常系數(shù)非齊次線性微分方程

求微分方程y″+y′=3x的通解.解對應(yīng)齊次方程的特征方程為r2+r=0,特征根為r1=0,r2=－1,對應(yīng)齊次方程的通解是Y=C1+C2e－x.f(x)=3x寫成Pm(x)eλx形式，就是P1(x)=3x,λ=0.【例8】二、常系數(shù)非齊次線性微分方程因為0是特征方程的單根,所以特解為y

=x(a1x+a0)=a1x2+a0x,

求出y的一階和二階導(dǎo)數(shù)y

′=2a1x+a0,y

″=2a1,

代入微分方程,得2a1+(2a1x+a0)=3x,

比較等式兩端同次冪的系數(shù)，得2a1=3,2a1+a0=0,二、常系數(shù)非齊次線性微分方程

解得a1=32,a0=－3,因此求得一個特解為y=3/2x2－3x,所以微分方程的通解為y=C1+C2e－x+3/2x2－3x.二、常系數(shù)非齊次線性微分方程f(x)=eλx［Pm(x)cosωx+Pn(x)sinωx］型2.下面介紹如何求得形如y″+py′+qy=eλx［Pm(x)cosωx+Pn(x)sinωx］（6-31）的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解.

由歐拉公式可知二、常系數(shù)非齊次線性微分方程

其中是互為共軛的l次多項式，而l=max{m,n}.對于f(x)=P(x)e(λ+iω)x+P(x)e(λ－iω)x中的第一項P(x)e(λ+iω)x，可求出一個l次多項式Ql(x)，使得y1=xkQl(x)e(λ+iω)x為方程y″+py′+qy=P(x)e(λ+iω)x的特解，其中k按λ+iω不是特征方程的根或是特征方程的單根依次取0或1.由于f(x)=P(x)e(λ+iω)x+P(x)e(λ－iω)x中的第二項P(x)e(λ－iω)x與第一項P(x)e(λ+iω)x共軛，所以與y1=xkQl(x)e(λ+iω)x共軛的函數(shù)y2=xkQl(x)e(λ－iω)x必然是方程y″+py′+qy=P(x)e(λ－iω)x的特解，這里Ql(x)表示與Ql(x)共軛的l次多項式.二、常系數(shù)非齊次線性微分方程因此，方程（6-31）的特解形如由于