定積分的概念與性質(zhì)

定積分的概念與性質(zhì)

實(shí)例1求曲邊梯形的面積.設(shè)f(x)為閉區(qū)間［a,b］上的連續(xù)函數(shù)，且f(x)≥0．由曲線y=f(x)，直線x=a，x=b以及x軸所圍成的平面圖形，稱為曲邊梯形，如圖5-1所示．那么，這個(gè)曲邊圖形的面積如何計(jì)算呢？一、定積分的概念實(shí)例引入1.

我們知道，平面圖形可以劃為若干個(gè)曲邊梯形之和．為了解決求平面圖形面積的問題，先來解決如何求曲邊梯形的面積問題．現(xiàn)在，我們所遇到的主要困難是：它的一條邊f(xié)(x)是曲線，如果f(x)是平行于x軸的直線段，則為矩形，其面積公式為矩形的面積＝底×高．一、定積分的概念

但曲邊梯形的面積不能用這個(gè)公式計(jì)算，因?yàn)樗魈幍母呤遣煌模疄榱私鉀Q上面的困難，我們用一組平行于y軸的直線將曲邊梯形分割成若干個(gè)小窄曲邊梯形．針對(duì)每個(gè)小窄曲邊梯形，由于它的底很窄，高f(x)變化不大，可以近似地看做不變，小窄曲邊圖形可近似為窄矩形．把這些小窄曲邊圖形面積的近似值加起來就得到了原曲邊梯形面積的近似值．可以想象，把曲邊梯形分的越細(xì)，所得到的近似值的精確度就越高．因此，當(dāng)無限細(xì)分（每個(gè)小矩形的底邊長(zhǎng)都趨于零）時(shí)，所得的近似值如果有極限，就可定義該極限值為曲邊梯形的面積．下面分四步具體討論：一、定積分的概念（1）分割在［a,b］區(qū)間內(nèi)任取n－1個(gè)分點(diǎn)a=x0<x1<…<xn－1<xn=b，把區(qū)間［a,b］分成個(gè)n小區(qū)間［x0,x1］,［x1,x2］,…,［xn－1,xn］，它們的長(zhǎng)度依次為Δx1=x1－x0，Δx2=x2－x1，…，Δxn=xn－xn－1，過每一個(gè)分點(diǎn)作平行于y軸的直線段，把曲邊梯形分成n個(gè)窄曲邊梯形．一、定積分的概念

（2）近似在每個(gè)小區(qū)間［xi－1,xi］上任取一點(diǎn)ξi(xi－1≤ξi≤xi)，以Δxi=xi－xi－1為底，f(ξi)為高的窄矩形代替第i個(gè)小曲邊梯形(i=1,2,…,n)，若記ΔAi為第i個(gè)小曲邊梯形面積，則有ΔAi≈f(ξi)Δxi(i=1,2,…,n)．一、定積分的概念（3）求和把這樣得到的n個(gè)窄矩形面積之和作為所求曲邊梯形面積A的近似值，即一、定積分的概念（4）取極限為了保證每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度都趨近于零，就必須要求小區(qū)間長(zhǎng)度的最大值趨于零，若記λ=max{Δx1,Δx2,…,Δxn}，則上述條件相當(dāng)于λ→0．當(dāng)λ→0時(shí)(必然是小區(qū)間的個(gè)數(shù)無限增大，即n→∞)，對(duì)上式取極限，就得到曲邊圖形的面積一、定積分的概念實(shí)例2變速直線運(yùn)動(dòng)的路程.設(shè)某物體做直線運(yùn)動(dòng)，已知它的速度v=v(t)是時(shí)間間隔［T1,T2］上的連續(xù)函數(shù)，且v(t)≥0．該物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)歷的路程如何計(jì)算呢？勻速直線運(yùn)動(dòng)中，v(t)=常數(shù)，則路程＝速度×?xí)r間．但速度隨時(shí)間變化的運(yùn)動(dòng)就不能用這種方法計(jì)算路程了．然而，由于物體運(yùn)動(dòng)的速度是連續(xù)變化的，在很短的時(shí)間間隔內(nèi)，速度的變化很小，可以把這段時(shí)間間隔內(nèi)變速運(yùn)動(dòng)近似看成勻速運(yùn)動(dòng)．這就提示了計(jì)算變速直線運(yùn)動(dòng)路程的方法．一、定積分的概念（1）分割在時(shí)間間隔［T1,T2］內(nèi)任意插入n－1個(gè)分點(diǎn)T1=t0<t1<…<tn－1<tn=T2，把［T1,T2］分成n個(gè)小段［t0,t1］,［t1,t2］,…,［tn－1,tn］，各小段的時(shí)間長(zhǎng)依次為Δt1=t1－t0,Δt2=t2－t1,…,Δtn=tn－tn－1，相應(yīng)地，物體在各段時(shí)間內(nèi)經(jīng)過的路程依次為Δs1,Δs2,…,Δsn．一、定積分的概念

（2）近似在時(shí)間間隔［ti－1,ti］上任取一時(shí)刻τi，以τi時(shí)的速度v(τi)作為時(shí)間間隔［ti－1,ti］上的平均速度計(jì)算Δsi，則Δsi≈v(τi)Δti(i=1,2,…,n)．（3）求和將這n個(gè)小段路程相加就得到物體在時(shí)間間隔［T1,T2］上經(jīng)過的路程的近似值，即

（4）取極限記λ=max{Δt1,Δt2,…,Δtn}，當(dāng)λ→0時(shí)，對(duì)上式取極限，就得到變速直線運(yùn)動(dòng)在時(shí)間間隔［T1,T2］內(nèi)的總路程一、定積分的概念定積分的定義2.前面介紹的兩個(gè)實(shí)例其解決的實(shí)際問題雖不同，但其解決問題所用的思想和方法卻是相同的，即“分割、近似、求和、取極限”．我們就把這類問題抽象成一個(gè)數(shù)學(xué)概念，稱之為定積分．一、定積分的概念定義

設(shè)f(x)是定義在區(qū)間［a,b］上的有界函數(shù)，用分點(diǎn)a=x0<x1<…<xn－1<xn=b把區(qū)間［a,b］分成個(gè)n小區(qū)間［x0,x1］,［x1,x2］,…,［xn－1,xn］，它們的長(zhǎng)度依次為Δx1=x1－x0，Δx2=x2－x1，…，Δxn=xn－xn－1，在每個(gè)小區(qū)間［xi－1,xi］上任取一點(diǎn)ξi(xi－1≤ξi≤xi)，作n個(gè)乘積f(ξi)Δxi的和式一、定積分的概念其中f(x)稱為被積函數(shù)，f(x)dx稱為被積表達(dá)式，x稱為積分變量，a稱為積分下限，b稱為積分上限，［a,b］稱為積分區(qū)間，“∫”稱為積分號(hào)，是拉丁文Summa一詞的字頭S拉長(zhǎng)．可見，定積分本質(zhì)上就是一個(gè)和式的極限．利用定積分的定義，前面討論的兩個(gè)實(shí)際問題可以分別表述如下：一、定積分的概念(1)連續(xù)曲線y=f(x)(f(x)≥0)、x軸及兩條直線x=a，x=b所圍成的曲邊梯形的面積等于函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上的定積分，即(2)物體以變速v=v(t)(v(t)≥0)作直線運(yùn)動(dòng)，從時(shí)刻t=T1到t=T2，該物體經(jīng)過的路程等于函數(shù)v(t)在區(qū)間［T1,T2］上的定積分，即一、定積分的概念關(guān)于定積分定義的理解，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）定積分是一個(gè)數(shù)，它僅與被積函數(shù)f(x)和積分區(qū)間［a,b］有關(guān)，而與積分變量用哪個(gè)字母表示、區(qū)間如何分割（采用均勻分割或非均勻分割）及點(diǎn)ξi的取法（可以取第i個(gè)小區(qū)間的左端點(diǎn)、右端點(diǎn)或中點(diǎn)，也可以是區(qū)間內(nèi)任意一點(diǎn)）無關(guān)，即有一、定積分的概念（2）在上述定義中，我們實(shí)際上限定了上限大于下限，即a<b，但在實(shí)際應(yīng)用及理論分析中，會(huì)用到上限小于下限或等于下限的情況．為此，我們把定積分的定義擴(kuò)充如下：當(dāng)a<b時(shí)，規(guī)定當(dāng)a=b時(shí)，規(guī)定∫aaf(x)dx（3）如果定積分∫baf(x)存在，就稱f(x)在［a,b］上可積，否則就稱f(x)在［a,b］上不可積．一、定積分的概念思考

一個(gè)函數(shù)在什么條件下可積？什么條件下不可積？一、定積分的概念定積分存在的充分條件3.

若f(x)在［a,b］上無界，則f(x)在［a,b］上一定是不可積的．這是因?yàn)椋鬴(x)在［a,b］上無界，那么無論對(duì)［a,b］怎樣分割，都至少有一個(gè)區(qū)間［xi－1,xi］，函數(shù)f(x)在其上無界．因此，在［xi－1,xi］上一定可以取一點(diǎn)ξi，使得f(ξi)大于任意一個(gè)正數(shù)M，因而也就使得和式

∑=1f(ξi)Δxi可以任意的大．當(dāng)λ→0時(shí)，這個(gè)和就不可能趨向于任何極限．由此可知，f(x)在［a,b］上可積的必要條件是f(x)在［a,b］上有界．一、定積分的概念

然而，函數(shù)f(x)在［a,b］上有界并不是可積的充分條件.例如，在［0,1］上是有界函數(shù)，但不可積．因?yàn)椴徽搶?duì)［0,1］怎樣分割，在任意被分割的小區(qū)間［xi－1,xi］上，總能取到ξi為有理數(shù)，這時(shí)f(ξi)=1，也總能取到ξi為無理數(shù)，這時(shí)f(ξi)=0．所以對(duì)［0,1］的任何一種分法，我們總可以得到當(dāng)λ→0時(shí)，這兩個(gè)和式的極限分別為1和0，所以f(x)在［0,1］上不可積．一、定積分的概念定理1定理2如果函數(shù)f(x)在［a,b］上連續(xù)，則f(x)在［a,b］上可積．如果函數(shù)f(x)在［a,b］上只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，則f(x)在［a,b］上可積．一、定積分的概念定積分的幾何意義4.在區(qū)間［a,b］上，f(x)≥0時(shí)，∫baf(x)表示由曲線y=f(x)、x軸及兩條直線x=a，x=b所圍成的曲邊梯形的面積．在區(qū)間［a,b］上，f(x)≤0時(shí)，由曲線y=f(x)、x軸及兩條直線x=a，x=b所圍成的曲邊梯形位于x軸的下方，∫baf(x)在幾何上表示該曲邊梯形的面積的負(fù)值．一、定積分的概念

在區(qū)間［a,b］上，f(x)既有正值又有負(fù)值時(shí)，函數(shù)y=f(x)的圖形某些部分在x軸的上方，而其他部分在x軸的下方．如果規(guī)定在x軸的上方的圖形的面積為正，在x下方的圖形面積為負(fù)，那么∫baf(x)的幾何意義就是介于曲線y=f(x)、x軸及兩條直線x=a,x=b之間的各部分面積的代數(shù)和，如圖5-2所示．一、定積分的概念

解

因?yàn)閒(x)=x2在［0,1］上連續(xù)，所以該定積分存在．積分值與對(duì)［0,1］的分法及ξi的取法無關(guān)，即在任何對(duì)［0,1］的分法及ξi的取法下，求積分和式的極限值時(shí)都一樣．為方便起見，對(duì)區(qū)間［0,1］n等分，分點(diǎn)為xi=i/n(i=0,1,2,…,n－1,n),Δxi=1/n(i=1,2,…,n)，取ξi=xi(i=1,2,…,n)．于是【例1】一、定積分的概念

利用定積分的幾何意義說明下列等式的正確性．【例2】一、定積分的概念

一、定積分的概念

一、定積分的概念二、定積分的性質(zhì)性質(zhì)1如果在區(qū)間［a,b］上f(x)≡1，則

此時(shí)曲邊變成直邊，積分值為底為b－a，高為1的矩形面積．性質(zhì)2（線性性質(zhì)）函數(shù)的和(差)的定積分等于它們的定積分的和(差)，即此性質(zhì)可以推廣到有限個(gè)函數(shù)代數(shù)和的情形，即∫ba［f1(x)±f2(x)±…±fn(x)］二、定積分的性質(zhì)性質(zhì)4性質(zhì)3（線性性質(zhì)）被積函數(shù)中的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外，即(k為常數(shù))．（積分區(qū)間的可加性）對(duì)于任意三個(gè)常數(shù)a，b，c，下式恒成立：這個(gè)性質(zhì)表明定積分對(duì)于積分區(qū)間具有可加性．此性質(zhì)的幾何意義是曲邊梯形的面積可以分成兩個(gè)曲邊梯形面積之和．二、定積分的性質(zhì)性質(zhì)5如果在區(qū)間［a,b］上f(x)≥0，則由定積分幾何意義知道：此定積分的值就等于以f(x)為曲邊的曲邊梯形的面積．性質(zhì)6（比較性質(zhì)）如果在區(qū)間［a,b］上f(x)≤g(x)，則二、定積分的性質(zhì)性質(zhì)7性質(zhì)8（比較性質(zhì)）在區(qū)間［a,b］上（積分估值性）設(shè)函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間［a,b］上的最大值為M，最小值為m，則二、定積分的性質(zhì)證因m≤f(x)≤M，由定積分的性質(zhì)6得于是有由上式得．這表明介于函數(shù)f(x)的最小值與最大值之間，由連續(xù)函數(shù)的介值定理知，在［a,b］上至少存在一點(diǎn)ξ，使得這就是下面給出的定積分中值定理．二、定積分的性質(zhì)性質(zhì)9

（定積分中值定理）如果函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，則在區(qū)間［a,b］上至少存在一個(gè)點(diǎn)ξ，使下式成立：這個(gè)公式稱為積分中值公式.二、定積分的性質(zhì)

定積分中值定理在幾何上表示這樣一個(gè)事實(shí)：以連續(xù)曲線y=f(x)(a≤x≤b,f(x)≥0)為曲邊的曲邊梯形面積等于以f(ξ)為高、(b－a)為底的矩形的面積，如圖5-6所示.f(ξ)稱為連續(xù)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上的平均值．圖5-6二、定積分的性質(zhì)

由幾何解釋容易看出，表示連續(xù)曲線f(x)在區(qū)間［a,b］上的平均高度，也就是函數(shù)f(x)在［a,b］上的平均值，這是有限個(gè)數(shù)平均值的拓廣，所以應(yīng)用定積分才能求出連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的平均值．二、定積分的性質(zhì)性