曲面及其方程

曲面及其方程第四節(jié)曲面及其方程

空間解析幾何實(shí)際上就是研究動(dòng)點(diǎn)的幾何軌跡.僅在一個(gè)條件下運(yùn)動(dòng)的空間點(diǎn)的軌跡一般來說是一個(gè)曲面，如到兩定點(diǎn)距離和為常值的點(diǎn)的軌跡是橢球；而同時(shí)在兩個(gè)條件下運(yùn)動(dòng)的空間點(diǎn)的軌跡往往是空間曲線，如當(dāng)有三個(gè)不共線的點(diǎn)M1，M2,M3，與M1的距離為定值，而與M2和M3的距離相等的點(diǎn)的軌跡是圓.本節(jié)和下一節(jié)將通過分析動(dòng)點(diǎn)的軌跡特征，建立關(guān)于動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x,y,z的曲面或曲線的方程.一、曲面方程的概念

如果曲面S上每一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程Fx,y,z=0；而不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足這個(gè)方程，則稱方程Fx,y,z=0為曲面S的方程，而稱曲面S為此方程的圖形.下面舉例說明怎樣從曲面上點(diǎn)的特征得出曲面方程.一、曲面方程的概念

如圖7-26所示，求球心在點(diǎn)M0x0,y0,z0，半徑為R的球面方程.【例1】圖7-26一、曲面方程的概念

解點(diǎn)Mx,y,z在以M0為球心，以R為半徑的球面上的充要條件為

即（7-11）兩邊平方，得一、曲面方程的概念顯然，球面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程，不在球面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足這個(gè)方程，所以方程(7-10)就是球心在點(diǎn)M0x0,y0,z0，半徑為R的球面的方程.一般地，設(shè)有三元二次方程這個(gè)方程有兩個(gè)特點(diǎn)：一是缺xy,yz,zx各交叉項(xiàng)；二是平方項(xiàng)系數(shù)相同.一般來講，具有上述特點(diǎn)的三元二次方程的圖形是一個(gè)球面.需要注意的是，此方程經(jīng)配方后能還原為方程(7-10)的形式，否則可能為虛球面.一、曲面方程的概念

求與原點(diǎn)O及M0(2,3,4)的距離之比為1∶2的全體點(diǎn)組成的曲面方程.

解

設(shè)M(x,y,z)是曲面上任一點(diǎn)，根據(jù)題意有

，即【例2】一、曲面方程的概念整理得這就是所求曲面上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的方程，而不在該曲面上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程，所以它就是所求曲面的方程.以上表明作為點(diǎn)的幾何軌跡的曲面可以用它的點(diǎn)的坐標(biāo)間的方程來表示.反之，變量x,y和z間的方程通常表示一個(gè)曲面.下面將以旋轉(zhuǎn)曲面為例討論問題：已知一曲面作為點(diǎn)的幾何軌跡時(shí)，如何建立該曲面的方程？以柱面和二次曲面為例討論問題：已知坐標(biāo)x,y,z間的一個(gè)方程時(shí)，研究這方程所表示的曲面的形狀.二、旋轉(zhuǎn)曲面

設(shè)平面上有一條定直線和一條曲線，則該曲線繞定直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面,其中定直線稱為旋轉(zhuǎn)曲面的軸.而旋轉(zhuǎn)的動(dòng)曲線稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線.下面只討論母線在某個(gè)坐標(biāo)面上，它繞某個(gè)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)曲面.設(shè)在yOz面上有一已知曲線C,它的方程為f(y,z)=0,二、旋轉(zhuǎn)曲面

求此曲線C繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)曲面（見圖7-27）的方程.圖7-27二、旋轉(zhuǎn)曲面

設(shè)M10,y1,z1為曲線C上的任一點(diǎn)，于是M1的坐標(biāo)必滿足f(y1,z1)=0.當(dāng)曲線C繞z軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)M1繞z軸轉(zhuǎn)到另一點(diǎn)M（x,y,z），此時(shí)，點(diǎn)M與z軸的距離等于點(diǎn)M1到z軸的距離，且有同一豎坐標(biāo)，即，將其代入f(y1,z1)=0，得即為所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程.二、旋轉(zhuǎn)曲面綜上所述，當(dāng)已知母線C的方程為f(y,z)=0時(shí)，保留z形式不變，將y改成,便得曲線C繞z軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程同理，曲線C繞y軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為對(duì)于其他坐標(biāo)面上的曲線，繞該坐標(biāo)面上任何一條坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所生成的旋轉(zhuǎn)曲面，其方程可以用上述類似方法求得.二、旋轉(zhuǎn)曲面

如圖7-28所示，取兩條相交且夾角的直線，其中一條直線繞另一條直線旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)曲面稱為圓錐面.兩直線的交點(diǎn)稱為圓錐面的頂點(diǎn),兩直線的夾角α稱為圓錐面的半頂角.當(dāng)將坐標(biāo)原點(diǎn)O設(shè)在圓錐面的頂點(diǎn)處，并以z軸為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，試建立圓錐面的方程.【例3】圖7-28二、旋轉(zhuǎn)曲面

解在yOz面內(nèi),直線L的方程為z=ycotα,(7-11)由于旋轉(zhuǎn)軸為z軸，將方程(7-11)中的y改成,便得到圓錐面的方程整理得z2=a2(x2+y2),其中a=cotα.二、旋轉(zhuǎn)曲面

事實(shí)上，以前學(xué)習(xí)過的橢圓、拋物線及雙曲線都是由圓錐面得來的.用一個(gè)平面截圓錐面，當(dāng)截面與其所有母線都相交，截線為橢圓；當(dāng)截面與任一條母線平行，截線為拋物線；當(dāng)截面與軸線平行，截線為雙曲線的一支.二、旋轉(zhuǎn)曲面

將zOx面上的雙曲線分別繞x軸和z軸旋轉(zhuǎn)一周，求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.

解

繞x軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為繞z軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為【例4】二、旋轉(zhuǎn)曲面這兩種曲面分別稱為旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面和旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面（見圖7-29）.圖7-29三、柱面

分別給定一條定直線l和定曲線C，則取平行于定直線l的動(dòng)直線L，使之沿定曲線C移動(dòng)，由此形成的軌跡稱為柱面，其中定曲線C稱為柱面的準(zhǔn)線,動(dòng)直線L稱為柱面的母線，如圖7-30所示.圖7-30三、柱面

試討論方程表示什么樣的曲面？

解

方程在平面解析幾何中表示xOy面上以原點(diǎn)O為中心的橢圓曲線.但在空間直角坐標(biāo)系中,此方程表示的應(yīng)為一個(gè)曲面.【例5】三、柱面

事實(shí)上，由于此方程不含豎坐標(biāo)z,則對(duì)動(dòng)點(diǎn)M(x,y,z)，無論z取何值,只要其橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y滿足比方程,那么這些點(diǎn)就在這曲面上.從而可知，過xOy面上的橢圓上一點(diǎn)M（x,y,0）且平行于z軸的直線一定在表示的曲面上，它相當(dāng)于由平行于z軸的直線l沿xOy面上的橢圓移動(dòng)而形成，這個(gè)曲面稱為橢圓柱面（見圖7-31）,xOy面上的橢圓稱為它的準(zhǔn)線,這平行于z軸的直線l稱為它的母線.三、柱面圖7-31三、柱面

一般地,只含x,y而缺z的方程Fx,y=0,在空間直角坐標(biāo)系中表示母線平行于z軸的柱面,其準(zhǔn)線是xOy面上的曲線Fx,y=0.三、柱面設(shè)求以Γ作為準(zhǔn)線，母線平行于z軸的柱面方程.

解在柱面上任意取一點(diǎn)Mx,y,z，則點(diǎn)M必在某條母線上，它與Γ的交點(diǎn)為M1x,y,0（見圖7-32），從而有φx,y=0，又由點(diǎn)M的任意性，故曲面上任一點(diǎn)都滿足φx,y=0；另一方面，若Mx,y,z滿足φx,y=0，則點(diǎn)M必在經(jīng)過x,y,0的母線上，且z=0.故所求柱面方程為φx,y=0.【例6】三、柱面圖7-32三、柱面

類似地,只含x,z而缺y的方程Gx,z=0和只含y,z而缺x的方程Hy,z=0分別表示母線平行于y軸和x軸的柱面.三、柱面

例如，x2+y2=4在平面解析幾何中表示圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓，在空間解析幾何中表示母線平行于z軸，準(zhǔn)線為的圓柱面.再如,y=x+1在平面解析幾何中表示斜率為1，截距也為1的一條直線，在空間解析幾何中表示平行于z軸的平面，該平面實(shí)際上也是一種柱面，稱其為母線平行于z軸，準(zhǔn)線為的平柱面.四、二次曲面在空間直角坐標(biāo)系中，若Fx,y,z=0是一次方程，則它的圖形是一個(gè)平面，平面也稱為一次曲面.若Fx,y,z=0是二次方程，則它的圖形稱為二次曲面.了解方程Fx,y,z=0所表示曲面的形狀的方法有很多，這里主要應(yīng)用的方法有兩種.一種方法稱為截痕法，是用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截,考察其交線的形狀,然后加以綜合,從而了解曲面的立體形狀.另一種方法稱為伸縮變形法.設(shè)S是一個(gè)曲面，其方程為Fx,y,z=0,假如S′是將曲面S沿x軸方向伸縮λ倍所得的曲面，顯然,若(x,y,z)∈S,則因此,這個(gè)對(duì)于任意的(x,y,z)∈S′,有是曲面S′的方程.四、二次曲面

從幾何角度分類，二次曲面共有九種，適當(dāng)選取空間直角坐標(biāo)系，可得它們的標(biāo)準(zhǔn)方程.下面就其標(biāo)準(zhǔn)方程來討論它們的形狀.四、二次曲面橢圓柱面1.表示母線平行于z軸的柱面（見圖7-31）,它的準(zhǔn)線是xOy面上的橢圓四、二次曲面雙曲柱面2.

表示母線平行于z軸的柱面（見圖7-33），它的準(zhǔn)線是xOy面上的雙曲線圖7-33四、二次曲面表示母線平行于z軸的柱面（見圖7-34），它的準(zhǔn)線是xOy面上的拋物線x2=ay.拋物柱面x2=ay3.圖7-34四、二次曲面橢圓錐面4.首先應(yīng)用截痕法了解一下此曲面的特征.以垂直于z軸的平面z=t截此曲面,得一橢圓該式表示一族橢圓，但這些橢圓的長(zhǎng)短軸比例不變.t=0時(shí)，得一點(diǎn)0,0,0.當(dāng)t從大到小直至達(dá)到0時(shí),這族橢圓將從大變到小直至縮為一點(diǎn)，因此,橢圓錐面的形狀如圖7-35所示.圖7-35四、二次曲面

當(dāng)然，也可以用伸縮變形法來分析.把圓錐面

（見圖7-28）沿y軸方向伸縮倍,所得曲面是橢圓錐面四、二次曲面用截痕法來討論這個(gè)曲面的形狀.用xOy面z=0和平行于xOy面的平面z=hh≤c去截曲面，其截痕分別為橢圓，且h由0逐漸增大到c時(shí)，橢圓由大變小，逐漸縮為一點(diǎn).同樣用zOx面與平行于zOx面的平面去截曲面和用yOz面與平行于yOz面的平面去截曲面，它們的交線與上述結(jié)果類同.綜上所述，橢球面的形狀如圖7-36所示.橢球面5.圖7-36四、二次曲面單葉雙曲面6.用伸縮變形法來分析.先將zOx面上的雙曲線

繞z軸旋轉(zhuǎn),可得旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面

（見圖7-29b）;再沿y軸方向伸縮倍,即得單葉雙曲面四、二次曲面雙葉雙曲面7.用伸縮變形法來分析.先將zOx面上的雙曲線繞x軸旋轉(zhuǎn),可得旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面

（見圖729a）;再沿y軸方向伸縮

倍,即得雙葉雙曲面四、二次曲面用截痕法來分析.用xOy面去截曲面，截痕是一點(diǎn)0,0，稱為橢圓拋物面的頂點(diǎn).用平行于xOy面的平面z=hh>0截此曲面，其交線為z=h平面上的橢圓，且當(dāng)h增大時(shí)，橢圓的半軸也隨著增大.若用平面x=h或y=h截曲面，其交線分別為拋物線.綜上所述，橢圓拋物面的形狀如圖7-37所示.橢圓拋物面8.圖7-37四、二次曲面雙曲拋物面9.用截痕法分