數(shù)列的極限教學課件

數(shù)列的極限數(shù)列的極限極限的思想是由于求某些實際問題的精確解而產(chǎn)生的.例如，我國古代數(shù)學家劉徽(公元3世紀)利用圓內(nèi)接正多邊形來推算圓面積的方法——割圓術(shù)，就是極限思想在幾何學上的應用.又如，《莊子·天下篇》中對“截丈問題”有一段名言：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”，其中也隱含了深刻的極限思想.

極限是研究變量變化趨勢的基本工具，高等數(shù)學中許多基本概念，如連續(xù)、導數(shù)、定積分、無窮級數(shù)等都是建立在極限的基礎(chǔ)上.極限方法也是研究函數(shù)的一種最基本的方法.本節(jié)將首先給出數(shù)列及數(shù)列極限的定義.

為了研究一般函數(shù)的極限,下面先討論一種特殊函數(shù)的極限——數(shù)列的極限.

一、數(shù)列極限的定義定義1按一定次序排列的無窮多個數(shù)x1，x2，…，xn，…稱為無窮數(shù)列，簡稱數(shù)列，可簡記為{xn}.其中的每個數(shù)稱為數(shù)列的項，xn稱為數(shù)列的通項(或一般項)，n稱為xn的下標.

在幾何上，數(shù)列{xn}可看成數(shù)軸上的一個動點，它在數(shù)軸上依次取值x1，x2，…，xn，…(見圖2-1).

圖2-1一、數(shù)列極限的定義數(shù)列{xn}可看成自變量為正整數(shù)n的函數(shù)：xn=f(n)，稱為整標函數(shù),其定義域是全體正整數(shù).當自變量n依次取1，2，3，…時，對應的函數(shù)值就排成數(shù)列{xn}(見圖2-2).圖2-2一、數(shù)列極限的定義引入案例在很長一段時間內(nèi)，人們試圖采用各種圖形(如矩形、三角形)去近似計算圓的面積.約公元263年我國的數(shù)學家劉徽注解《九章算術(shù)》時，提出了“割圓術(shù)”，用圓的內(nèi)接(或外切)正多邊形窮竭的方法求圓面積.“割圓術(shù)”求圓的面積的做法和思路是(見圖2-3)：圖2-3一、數(shù)列極限的定義先作圓的內(nèi)接正三角形，把它的面積記作A1，再作內(nèi)接正六邊形，其面積記作A2，再作內(nèi)接正十二邊形，其面積記作A3,…,照此下去，把圓的內(nèi)接正3×2n－1(n=1,2,…)邊形的面積記作An，這樣得到一個數(shù)列

A1,A2,A3,…,An,…從圖形上不難看出：隨著圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)的增加，內(nèi)接正多邊形的面積與圓的面積越來越接近.可以想象，當邊數(shù)n無限增大時，圓的內(nèi)接正3×2n－1邊形的面積An會無限地接近圓的面積A.為刻畫數(shù)列的這種變化趨勢，下面引入數(shù)列極限的概念.

一、數(shù)列極限的定義定義2若對于數(shù)列{xn}，當n無限增大時，數(shù)列的通項xn無限接近于常數(shù)A，則稱A是數(shù)列{x

n}的極限，或稱數(shù)列{xn}收斂于A，記作limn→∞xn=A或xn→A(n→∞).若數(shù)列{xn}沒有極限，則稱數(shù)列{xn}發(fā)散.

有了數(shù)列極限的概念，圓的面積A可以表示為A=limn→∞An，即圓的面積等于圓的內(nèi)接正3×2n－1邊形的面積所構(gòu)成的數(shù)列A1,A2,A3,…,An,…的極限.一、數(shù)列極限的定義寫出下列數(shù)列的前五項，考察其極限.【例1】一、數(shù)列極限的定義(3)xn=(－1)n+1,其前五項為：1,－1,1,－1,1，其奇數(shù)項為1，偶數(shù)項為－1,當n→∞時，數(shù)列的通項在1和－1之間來回擺動，這樣的數(shù)列稱為擺動數(shù)列，我們不能說該數(shù)列的極限為±1,這不符合數(shù)列極限的定義，所以該數(shù)列發(fā)散.如果一個數(shù)列有極限，其極限值是唯一的.(4)xn=2n+1,其前五項為：3,5,7,9,11

.當n→∞,2n+1→∞，故該數(shù)列發(fā)散.

通過上述討論可知：對于數(shù)列{xn}的極限問題，我們所關(guān)心的不僅是它的前幾項或每一項如何，而更重要的是研究當n→∞時，xn的變化趨勢.特別是這樣一類數(shù)列{xn}：當n無限增大時，數(shù)列的通項xn無限趨近于常數(shù)A，則稱A是數(shù)列{xn}的極限.

一、數(shù)列極限的定義定義3若對于任意給定的正數(shù)ε(不論多么小)，總有正整數(shù)N存在，使得當n>N時，不等式

|xn－A|<ε(2-1)

恒成立，則稱常數(shù)A為數(shù)列{xn}當n→∞時的極限，或者說數(shù)列{xn}當n→∞時收斂于A，記作limn→∞xn=A或xn→A(n→∞).

一、數(shù)列極限的定義數(shù)列極限的幾何解釋：將數(shù)列xn和極限A在數(shù)軸上的對應點表示出來，給定正數(shù)ε后，在數(shù)軸上作出點A的ε鄰域(A－ε,A+ε)(見圖2-4).圖2-4一、數(shù)列極限的定義

因為不等式|xn－A|<ε與不等式A－ε<xn<A+ε等價，所以當n>N時，所有點xn都落在開區(qū)間(A－ε,A+ε)內(nèi)，而數(shù)列xn中只有有限項落在該區(qū)間外.或者形象地說，在點A的無限小的ε鄰域內(nèi)，聚集著數(shù)列{xn}的無窮多個點，所以點A也叫數(shù)列{xn}的聚點.

一、數(shù)列極限的定義①掌握極限概念的關(guān)鍵在于對正數(shù)ε二重性的理解.一方面，ε必須具有任意性，ε可以代表任意小的正數(shù)，只有這樣才能保證數(shù)列{xn}無限地趨近于A；另一方面，ε必須具有相對固定性，一旦給了ε，那么它是相對固定的，否則論證工作無法進行.②自然數(shù)N顯然依賴于正數(shù)ε，一般地說，所給定的ε越小，N應該越大.有時為了表示這種關(guān)系，就寫成N(ε)，但N并不是ε的函數(shù).因為從極限定義可以看出，如果當n>N時，式(2-1)成立，那么對任意一個N1>N，當n>N1時，式(2-1)也必然成立，所以說，找到一個N，就能找到許多N滿足要求.注一、數(shù)列極限的定義【例2】一、數(shù)列極限的定義一、數(shù)列極限的定義設(shè)|q|<1，證明等比數(shù)列q,q2,…,qn,…的極限是0.證對于任意給定的正數(shù)ε(不妨設(shè)ε<1)，為了使|xn－0|<ε成立，即|q|n<ε成立，只要nln

|q|<lnε成立，因|q|<1，所以lnq<0，故有【例3】一、數(shù)列極限的定義特別地，當q=1時，數(shù)列{qn}成為常數(shù)數(shù)列{1}，按數(shù)列極限定義，顯然它的極限是1；同理，當q=－1時，數(shù)列{qn}是發(fā)散的.

一、數(shù)列極限的定義“ε-N”證法的一般步驟是：①ε>0；②令xn－A<ε；③推出n>φ(ε)；④取N=［φ(ε)］.其中關(guān)鍵的一步是由xn－A<ε=n>φ(ε)，找到N=［φ(ε)］，并用定義敘述結(jié)論.注二、數(shù)列極限的性質(zhì)定理1(唯一性)若數(shù)列{xn}有極限，則其極限是唯一的.

證假設(shè){xn}有兩個極限a與b，即二、數(shù)列極限的性質(zhì)二、數(shù)列極限的性質(zhì)【例4】證明數(shù)列xn=(－1)n(n=1,2,…)是發(fā)散的.二、數(shù)列極限的性質(zhì)定理2(有界性)若數(shù)列{xn}收斂，即limn→∞xn=A，則數(shù)列{xn}有界.

證因limn→∞xn=A，所以對于給定ε=1，總存在正整數(shù)N，當n>N時，恒有

xn－A<1，從而，當n>N時，有

xn=(xn－A)+A<1+A.

現(xiàn)取M=max{x1,x2,…,xN,1+A}，則對一切n，都有

xn≤M，所以，數(shù)列{xn}有界.二、數(shù)列極限的性質(zhì)收斂數(shù)列必有界，但有界數(shù)列未必收斂.如數(shù)列xn=(－1)n(n=1,2,…)是有界的，但它卻發(fā)散.注二、數(shù)列極限的性質(zhì)定理3二、數(shù)列極限的性質(zhì)定理說明：一個數(shù)列的極限為正(負)的，則從某項起，以后的所有項也都是正(負)的；反之，若一個數(shù)列從某項起，以后的所有項都是正(負)的，則該數(shù)列的極限非負(非正)，故有下面推論.

二、數(shù)列極限的性質(zhì)推論若limn→∞xn=A，且存在正整數(shù)N，當n>N時，都有xn>0(或xn<0)，則有A≥0(或A≤0).

二、數(shù)列極限的性質(zhì)定理4(保序性)若limn→∞xn=A，limn→∞yn=B，且A>B，則存在一個正整數(shù)N，當n>N時，不等式xn>yn恒成立；反之，若存在正整數(shù)N，當n>N時，不等式xn>yn恒成立，且有l(wèi)imn→∞xn=A，limn→∞yn=B，則有A≥B

.

在無窮數(shù)列{xn}中，依序取其一部分項構(gòu)成的無窮數(shù)列{xnk}(nk∈N)，稱為{xn}的子數(shù)列(或子列).

二、數(shù)列極限的性質(zhì)定理5(子列極限)數(shù)列{xn}收斂于A的充要條件是它的任意子列{xnk}(nk∈N)都收斂于A.

證充分性是顯然的，因{xn}也是自身的一個子列.下證必要性.

因limn→∞xn=A，所以，ε>0,存在正整數(shù)N,當n>N時，恒有xn－A<ε，從而當k>N時，有nk≥k>N，有xnk－A<ε，所以limn→∞xnk=A.

二、數(shù)列極限的性質(zhì)推論limn→∞xn=A的充要條件是奇、偶子列都收斂于A.

該推論可用來判斷某些數(shù)列是發(fā)散的.比如，上面提到的數(shù)列xn=(－1)n，由于它的奇數(shù)項和偶數(shù)項的子列收斂于不同的極限，從而可知該數(shù)列發(fā)散.三、數(shù)列極限的四則運算本節(jié)將在極限定義的基礎(chǔ)上，建立數(shù)列極限的運算法則.在很多情況下，利用法則可以不必把一切與極限運算有關(guān)的問題都追溯到“極限”定義.這將簡化極限的運算.

三、數(shù)列極限的四則運算定理6三、數(shù)列極限的四則運算【例5】三、數(shù)列極限的四則運算【例6】三、數(shù)列極限的四則運算【例7】三、數(shù)列極限的四則運算【例8】三、數(shù)列極限的四則運算通過這幾個例題可以看到，運用極限的運算法則求極限時，一般都要先進行適當?shù)暮愕茸冃问怪戏▌t的條件后，再使用法則求極限.注四、數(shù)列極限收斂準則由數(shù)列極限的性質(zhì)可知：有界數(shù)列未必有極限，在分析本節(jié)例1中，數(shù)列(1)是一個單調(diào)遞減數(shù)列，且有下界；數(shù)列(2)是一個單調(diào)遞增數(shù)列，且有上界.它們都是單調(diào)有界數(shù)列且都有極限.由這兩個例子，我們不由得會想：是否單調(diào)有界數(shù)列都有極限呢？回答是肯定的.

四、數(shù)列極限收斂準則定理7單調(diào)有界數(shù)列必