2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-微培優(yōu)10 定值、定點與定直線問題【課件】

微培優(yōu)10定值、定點與定直線問題2025

圓錐曲線中的定值、定點、定直線問題都是研究某些幾何元素與幾何量動中有靜,變化中蘊含不變等規(guī)律的問題,是高考對直線與圓錐曲線綜合考查的熱點之一,題目具有一定的綜合性,難度中等或偏上.

定值、定點、定直線問題雖考查角度各不相同,但解決問題的思路基本是一致的,首先是解決好參數(shù)問題,通過引進參數(shù)、運用參數(shù)、消去參數(shù)解決相關(guān)問題;其次是要善于運用特殊化方法,即先從問題的特殊情況入手,發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)問題結(jié)論,然后再證明一般情形成立,從而解決定值、定點、定直線問題.角度一定值問題(1)求橢圓C的標準方程;(2)如圖,若一條斜率不為0的直線l過點(-1,0)與橢圓交于M,N兩點,橢圓C的左、右頂點分別為A,B,直線BN的斜率為k1,直線AM的斜率為k2,規(guī)律方法求解定值問題的基本方法先猜后證法從特殊化入手,求出定值,再證明這個定值與變量無關(guān)消參數(shù)法直接推理、計算,并在計算推理過程中消去參數(shù),從而得到定值.解題步驟:(1)設(shè)參.選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)當(dāng)變量,一般情況先設(shè)出直線方程y=kx+b或x=my+n、點的坐標等.(2)用參.要把證明為定值的量表示成上述參數(shù)的函數(shù).(3)消參.將中間結(jié)果代入目標量,通過計算化簡得出目標量與引入的參數(shù)無關(guān),是一個常數(shù)角度二定點問題例2(2024·山東聊城一模)已知拋物線C關(guān)于y軸對稱,頂點在原點,且經(jīng)過點P(2,2),動直線l:y=kx+b不經(jīng)過點P且與拋物線C相交于A,B兩點,直線PA和PB的斜率之積等于3.(1)求拋物線C的標準方程;(2)證明:直線l過定點,并求出定點坐標.(1)解

依題意可設(shè)拋物線C:x2=2py,由點P(2,2)在拋物線C上,故4=2p×2,解得p=1,故拋物線C的標準方程為x2=2y.則Δ=4k2+8b>0,且x1+x2=2k,x1x2=-2b.于是有-2b+2×2k=8,化簡得b=2k-4.此時Δ=4k2+8b=4k2+16k-32,則Δ>0有解,因此直線l的方程化為y=k(x+2)-4,即直線l過定點(-2,-4).規(guī)律方法

圓錐曲線的定點問題的求解策略參數(shù)無關(guān)法把直線或者曲線方程中的變量x,y當(dāng)作常數(shù),將方程一端化為零,既然過定點,那么這個方程就要對任意參數(shù)都成立,所以參數(shù)的系數(shù)須全部為零,由此得到一個關(guān)于x,y的方程組,這個方程組的解所確定的點就是直線或曲線所過的定點特殊到一般法先根據(jù)動點或動直線、動曲線的特殊情況探索出定點,再證明該定點與變量無關(guān)關(guān)系法對于滿足一定條件的兩點連接所得直線過定點或滿足一定條件的曲線過定點問題,可設(shè)直線(或曲線)上兩點的坐標,利用坐標在直線(或曲線)上,建立點的坐標所滿足的方程(組),求出相應(yīng)的直線(或曲線),然后再利用直線(或曲線)過定點的知識求解角度三定直線問題(1)求橢圓L的標準方程;(2)若直線AD,BC的斜率相等,證明:點P在一條定直線上運動.(2)證明

設(shè)直線AD,BC的斜率為k(k≠0),C(x1,y1),D(x2,y2),P(x0,y0).規(guī)律方法解決圓錐曲線中定直線問題的方法引進參數(shù)法實質(zhì)是求動點的軌跡方程,首先根據(jù)題意引入?yún)?shù),用參數(shù)表示經(jīng)過定直線的動點,將其代入已知條件中,并根據(jù)問題所給的條件建立關(guān)系式,然后消去參數(shù),即可得到定直線的方程相關(guān)點法用一個點的坐標把另外一些點的坐標表示出來,再代入已知的曲線方程和直線方程中,便可求出定直線的方程針對訓(xùn)練

雙曲線C相交于A,B兩點,過點A作直線l:y=t的垂線AE,E為垂足.(1)求雙曲線C的標準方程.(2)是否存在實數(shù)t,使得直線EB過定點P?若存在,求t的值及定點P的坐標;若不存在,說明理由.(2)存在.假設(shè)存在實數(shù)t,使得直線EB過定點P.由對稱性可知,點P在y軸上.設(shè)直線AB:y=kx+4,A(x1,y1),B(x2,y2),則E(x1,t).(1)求雙曲線C的方程;(2)已知直線l與雙曲線C交于M,N兩點(均與點P不重合),與直線x=2交于點Q,且點M,N在直線x=2的兩側(cè),若|MP|·|NQ|=|MQ|·|NP|,線段MN的中點為R,證明: