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規(guī)范練620251231.(13分)(2024·江蘇連云港模擬)已知函數(shù)f(x)=(1)求函數(shù)f(x)在x=1處的切線方程;(2)證明:?x∈[0,+∞),f(x)>sinx.123令h(x)=ex-x-1,可得h'(x)=ex-1.當(dāng)x∈[0,+∞)時,h'(x)=ex-1≥0,所以h(x)=ex-x-1在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增,所以h(x)≥h(0)=e0-0-1=0,即f'(x)=ex-x-1≥0,當(dāng)x=0時,f(0)=1>sin
0=0,當(dāng)x>0時,f(x)>1≥sin
x.綜上所述,?x∈[0,+∞),f(x)>sin
x.123123123(2)sin
C(1+cos
B)=sin
B(2-cos
C),(方法一)sin
C+sin
Ccos
B+sin
Bcos
C=2sin
B,∴sin
C+sin(B+C)=2sin
B,∴sin
C+sin
A=2sin
B,根據(jù)正弦定理得c+a=2b.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos
A=b2+c2+bc,①將a=2b-c代入①式,得3b2-5bc=0,1231233.(15分)(2024·山東泰安模擬)如圖1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=,AB=BC=AD,E是AD的中點,O是AC與BE的交點.將△ABE沿BE折起到△A1BE的位置,如圖2.圖1圖2(1)證明:平面BCDE⊥平面A1OC;(2)若平面A1BE⊥平面BCDE,求平面A1BC與平面A1CD夾角的余弦值.123所以四邊形ABCE為正方形,四邊形BCDE為平行四邊形,所以BE⊥AC,CD∥BE.即在圖2中,BE⊥OA1,BE⊥OC,OA1∩OC=O,OA1,OC?平面A1OC,所以BE⊥平面A1OC.又因為BE?平面BCDE,所以平面BCDE⊥平面A1OC.圖1圖2123(2)解
因為平面A1BE⊥平面BCDE,平面A1BE∩平面BCDE=BE,A1O⊥BE,A1O?平面A1BE,所以A1O⊥平面BCDE.又因為OC?平面BCDE,所以A1O⊥OC.又由(1)知BE⊥OC,BE⊥OA1,所以直線BE,OC,OA1兩兩垂直.如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點,分別以O(shè)B,OC,OA1所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)A1B=1,所以A1B=A1E=BC=ED=1.123設(shè)平面A1BC的法向量n1=(x1,y1,z1)
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