2024-2025學(xué)年廣東省東莞市高一上冊(cè)期末考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年廣東省東莞市高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．為了解某地區(qū)居民使用手機(jī)掃碼支付的情況，擬從該地區(qū)的居民中抽取部分人員進(jìn)行調(diào)查，事先已了解到該地區(qū)老、中、青三個(gè)年齡段的人員使用手機(jī)掃碼支付的情況有較大差異，而男、女使用手機(jī)掃碼支付的情況差異不大.在下面的抽樣方法中，最合理的是（

）A．抽簽法 B．按性別分層隨機(jī)抽樣C．按年齡段分層隨機(jī)抽樣 D．隨機(jī)數(shù)法2．下列與的終邊相同的角的表達(dá)式中，正確的是（

）A． B．C． D．3．角的終邊與單位圓O相交于點(diǎn)P，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，則的值為（

）A． B． C． D．4．已知角，且，則的值為（

）A． B． C． D．5．健康成年人的收縮壓和舒張壓一般為90～139mmhg和60～89mmhg，心臟跳動(dòng)時(shí)，血壓在增加或減小，血壓的最大值、最小值分別為收縮壓和舒張壓，血壓計(jì)上的讀數(shù)就是收縮壓和舒張壓，讀數(shù)為120/80mmhg為標(biāo)準(zhǔn)值．設(shè)某人的血壓滿足函數(shù)式，其中為血壓（mmhg），為時(shí)間（min）．給出以下結(jié)論：①此人的血壓在血壓計(jì)上的讀數(shù)為140/90mmhg

②此人的血壓在健康范圍內(nèi)③此人的血壓已超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)值

④此人的心跳為80次/分其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．46．孩子在成長(zhǎng)期間最需要父母的關(guān)愛(ài)與陪伴，下表為2023年中國(guó)父母周末陪孩子日均時(shí)長(zhǎng)統(tǒng)計(jì)圖．根據(jù)該圖，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．2023年母親周末陪伴孩子日均時(shí)長(zhǎng)超過(guò)8小時(shí)的占比大于B．2023年父親周末陪伴孩子日均時(shí)長(zhǎng)超過(guò)6小時(shí)的占比大于C．2023年母親周末陪伴孩子日均時(shí)長(zhǎng)的5個(gè)時(shí)段占比的極差為D．2023父母周末陪伴孩子日均時(shí)長(zhǎng)的10個(gè)時(shí)段占比的中位數(shù)為7．將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，則（

）A． B． C． D．8．如果對(duì)于任意整數(shù)都是有理數(shù)，我們稱(chēng)正整數(shù)是“好整數(shù)”，下面的整數(shù)中哪個(gè)是最大的“好整數(shù)”（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題（本大題共4小題）9．下列說(shuō)法中正確的是（

）A．度與弧度是度量角的兩種不同的度量單位B．1度的角是周角的，1弧度的角是周角的C．根據(jù)弧度的定義，一定等于弧度D．不論是用角度制還是用弧度制度量角，角的大小均與圓的半徑長(zhǎng)短有關(guān)10．下列各式中，值是的是（

）A． B．C． D．11．2023年是共建“一帶一路”倡議提出十周年．某校組織了“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，將學(xué)生的成績(jī)（單位：分，滿分：120分）整理成如圖的頻率分布直方圖（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表），則（

）A．該校競(jìng)賽成績(jī)的極差為70分B．的值為0.005C．該校競(jìng)賽成績(jī)的平均分的估計(jì)值為90.7分D．這組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為8112．在平面直角坐標(biāo)系中，已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．是的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸C．將函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得到的函數(shù)解析式為D．在內(nèi)恰有3個(gè)零點(diǎn)三、填空題（本大題共4小題）13．某班級(jí)有50名同學(xué)，一次數(shù)學(xué)測(cè)試平均成績(jī)是92分，如果30名男生的平均成績(jī)?yōu)?0分，那么20名女生的平均成績(jī)?yōu)榉?14．已知，，，，則.15．已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則的值為.16．的取值范圍是．四、解答題（本大題共6小題）17．已知(1)化簡(jiǎn)；(2)若是第三象限角，且，求的值.18．據(jù)調(diào)查，某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，減少水資源的浪費(fèi)，計(jì)劃在本市試行居民生活用水定額管理，即確定一個(gè)合理的居民用水量標(biāo)準(zhǔn)（單位：噸），月用水量不超過(guò)的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出的部分按議價(jià)收費(fèi)．為了了解全市居民用水量分布情況，通過(guò)抽樣，獲得了戶居民某年的月均用水量（單位：噸），其中月均用水量在內(nèi)的居民人數(shù)為39人，并將數(shù)據(jù)制成了如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求和的值；(2)若該市政府希望使的居民月用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)噸，試估計(jì)的值；(3)在（2）的條件下，若實(shí)施階梯水價(jià)，月用水量不超過(guò)噸時(shí)，按3元噸計(jì)算，超出噸的部分，按5元噸計(jì)算．現(xiàn)市政府考核指標(biāo)要求所有居民的月用水費(fèi)均不超過(guò)70元，則該市居民月用水量最多為多少?lài)崳?9．已知函數(shù)．(1)若，求函數(shù)的值域；(2)若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍．20．某生物研究者于元旦在湖中放入一些鳳眼蓮（其覆蓋面積為k），這些鳳眼蓮在湖中的蔓延速度越來(lái)越快，二月底測(cè)得鳳眼蓮的覆蓋面積為，三月底測(cè)得鳳眼蓮的覆蓋面積為，鳳眼蓮的覆蓋面積（單位：）與月份（單位：月）的關(guān)系有兩個(gè)函數(shù)模型與可供選擇．(1)試判斷哪個(gè)函數(shù)模型更合適并求出該模型的解析式；(2)求鳳眼蓮的覆蓋面積是元旦放入鳳眼蓮面積10倍以上的最小月份．（參考數(shù)據(jù)：）．21．已知函數(shù)的最小正周期為，且直線是其圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸．(1)求函數(shù)的解析式；(2)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，再將所得的圖象上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍后所得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)記作，已知常數(shù)，且函數(shù)在內(nèi)恰有2023個(gè)零點(diǎn)，求常數(shù)與的值．22．已知二次函數(shù)滿足：(1)求的解析式；(2)求的單調(diào)性與值域（不必證明）；(3)設(shè)，若，求實(shí)數(shù)的值．

答案1．【正確答案】C【分析】根據(jù)抽樣方法確定正確答案.【詳解】依題意，“居民人數(shù)多”，“男、女使用手機(jī)掃碼支付的情況差異不大”，“老、中、青三個(gè)年齡段的人員使用手機(jī)掃碼支付的情況有較大差異”，所以最合理的是按年齡段分層隨機(jī)抽樣.故選：C2．【正確答案】B【分析】AC項(xiàng)角度與弧度混用，排除AC；D項(xiàng)終邊在第三象限，排除D.【詳解】因?yàn)?，終邊落在第四象限，且與角終邊相同，故與的終邊相同的角的集合即選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)AC書(shū)寫(xiě)不規(guī)范，選項(xiàng)D表示角終邊在第三象限.故選：B.3．【正確答案】A【分析】利用三角函數(shù)定義以及同角三角函數(shù)之間的平方關(guān)系即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)三角函數(shù)定義可知，又，則.故選：A4．【正確答案】B【分析】根據(jù)余弦的二倍角公式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所?故選.5．【正確答案】C【分析】根據(jù)所給函數(shù)解析式及正弦函數(shù)的性質(zhì)求出的取值范圍，即可得到此人的血壓在血壓計(jì)上的讀數(shù)，從而判斷①②③，再計(jì)算出最小正周期，即可判斷④.【詳解】因?yàn)槟橙说难獕簼M足函數(shù)式，又因?yàn)?，所以，即，即此人的血壓在血壓?jì)上的讀數(shù)為140/90mmhg，故①正確；因?yàn)槭湛s壓為mmhg，舒張壓為mmhg，均超過(guò)健康范圍，即此人的血壓不在健康范圍內(nèi)，故②錯(cuò)誤，③正確；對(duì)于函數(shù)，其最小正周期（min），則此人的心跳為次/分，故④正確；故選：C6．【正確答案】C【分析】根據(jù)題意結(jié)合統(tǒng)計(jì)相關(guān)知識(shí)逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】由題圖可知：2023年母親周末陪伴孩子日均時(shí)長(zhǎng)超過(guò)8小時(shí)的占比為，A說(shuō)法正確；2023年父母周末陪伴孩子日均時(shí)長(zhǎng)超過(guò)6小時(shí)的占比為，B說(shuō)法正確；2023年母親周末陪伴孩子日均時(shí)長(zhǎng)的5個(gè)時(shí)段占比的極差為，C說(shuō)法錯(cuò)誤；2023年父母周末陪伴孩子日均時(shí)長(zhǎng)的10個(gè)時(shí)段占比的中位數(shù)為，D說(shuō)法正確．故選：C．7．【正確答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的變換可得，即可結(jié)合正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性得，進(jìn)而，即可求解.【詳解】將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的，得到的圖象，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象．當(dāng)時(shí)，，令，，則關(guān)于t的方程在上有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，，所以，即，則，所以．故選：B8．【正確答案】A【分析】利用三角函數(shù)定義域代入選項(xiàng)逐個(gè)驗(yàn)證即可得出結(jié)論.【詳解】考慮三角函數(shù)的定義域，對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意整數(shù)，都是整數(shù)，滿足題意；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，對(duì)于整數(shù)，沒(méi)有意義，不滿足題意；同理可得對(duì)于C和D，當(dāng)或時(shí)，代入驗(yàn)證可知不滿足題意；所以可知最大“好整數(shù)”為1故選：A9．【正確答案】ABC【分析】根據(jù)角度制與弧度制的定義，以及角度制和弧度制的換算公式，以及角的定義，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】根據(jù)角度制和弧度制的定義可知，度與弧度是度量角的兩種不同的度量單位，所以A正確；由圓周角的定義知，1度的角是周角的，1弧度的角是周角的，所以B正確；根據(jù)弧度的定義知，一定等于弧度，所以C正確；無(wú)論是用角度制還是用弧度制度量角，角的大小均與圓的半徑長(zhǎng)短無(wú)關(guān)，只與弧長(zhǎng)與半徑的比值有關(guān)，故D不正確.故選：ABC.10．【正確答案】ACD【分析】利用兩角差的余弦公式，誘導(dǎo)公式，二倍角公式即可逐個(gè)選項(xiàng)判斷.【詳解】，A正確；，B不對(duì)；，C正確；，D正確.故選：ACD11．【正確答案】BC【分析】利用頻率分布直方圖，用樣本估計(jì)總體，樣本的極差、平均值、百分位數(shù)相關(guān)知識(shí)計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)橛深l率分布直方圖無(wú)法得出這組數(shù)據(jù)的最大值與最小值，所以這組數(shù)據(jù)的極差可能為70，也可能為小于70的值，所以A錯(cuò)誤；因?yàn)?，解得，所以B正確；該校競(jìng)賽成績(jī)的平均分的估計(jì)值分，所以C正確．設(shè)這組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為，則，解得，所以D錯(cuò)誤．故選：BC．12．【正確答案】AB【分析】利用三角函數(shù)的定義求得，從而得到的解析式，進(jìn)而利用三角函數(shù)的性質(zhì)與平移的結(jié)論，逐一分析各選項(xiàng)即可得解.【詳解】因?yàn)椋杂扇呛瘮?shù)的定義得，，所以，則，A:，故A正確；B：因?yàn)椋允堑膱D象的一條對(duì)稱(chēng)軸，故B正確；C：將函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得到的函數(shù)解析式為，故C錯(cuò)誤；D：令，得，解得，僅，1，即符合題意，即在內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選：AB13．【正確答案】95【分析】利用平均數(shù)的求法計(jì)算即可.【詳解】設(shè)所求平均成績(jī)?yōu)?，由題意得，∴.故9514．【正確答案】/【分析】根據(jù)題意，分別求得，再由余弦的差角公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)榍遥瑒t，又，所以，且，所以，則，，所以.故15．【正確答案】【分析】由函數(shù)為奇函數(shù)，得，再根據(jù)函數(shù)圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，可知，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得，進(jìn)而得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是上的奇函數(shù)，則，即，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以；故；又因?yàn)閳D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則，，所以，，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則，得；所以，故答案為.16．【正確答案】【分析】由和角的余弦公式變形給定函數(shù)，再利用輔助角公式變形，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)用含的關(guān)系式表示，再借助二次函數(shù)最值求解即得.【詳解】由，得，令，則，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，且，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的取值范圍為.故17．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可；（2）利用誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所?（2）由誘導(dǎo)公式可知，即，又是第三象限角，所以，所以.18．【正確答案】(1)，(2)16.6噸(3)20.64噸【分析】（1）頻率分布直方圖總面積為1，由此即可求解.（2）先判斷所求值所在的區(qū)間，再按比例即可求解.（3）按題意列不等式即可求解.【詳解】（1），用水量在的頻率為，（戶）（2），，（噸）（3）設(shè)該市居民月用水量最多為噸，因?yàn)椋?，則，解得，答：該市居民月用水量最多為20.64噸．19．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式以及二倍角公式化簡(jiǎn)可得的表達(dá)式，結(jié)合，確定的范圍，即可求得答案；（2）由，確定，根據(jù)在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合正弦函數(shù)的零點(diǎn)，列出相應(yīng)不等式，即求得答案.【詳解】（1）由題意得，當(dāng)，則，則，則，即函數(shù)的值域?yàn)?；?）由題可得，當(dāng)時(shí)，，，且在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，而在有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，分別為，故，即.20．【正確答案】(1)選擇模型符合要求，(2)六月份【分析】（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的增長(zhǎng)速度即可選得哪一個(gè)模型，再利用待定系數(shù)法即可求出該模型的解析式；（2）由（1）結(jié)合已知可得，再結(jié)合已知數(shù)據(jù)即可得出答案.【詳解】（1）函數(shù)與在上都是增函數(shù)，隨著的增加，函數(shù)的值增加的越來(lái)越快，而函數(shù)的值增加的越來(lái)越慢，由于鳳眼蓮在湖中的蔓延速度越來(lái)越快，因此選擇模型符合要求，根據(jù)題意可知時(shí)，；時(shí)，，所以，解得，故該函數(shù)模型的解析式為；（2）當(dāng)時(shí)，，元旦放入鳳眼蓮的覆蓋面積是，由，得，所以，又，所以，即鳳眼蓮的覆蓋面積是元旦放入鳳眼蓮面積10倍以上的最小月份是六月份．21．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）由周期求得，再由對(duì)稱(chēng)性求得得解析式；（2）由圖象變換求得，然后可得的表達(dá)式，令，化為，則關(guān)于的二次方程必有兩不等實(shí)根，則，則異號(hào)，然后分類(lèi)討論在上解的個(gè)數(shù)后得出結(jié)論．【詳解】（1）由三角函數(shù)的周期公式可得，令，得，由于直線為函數(shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸，所以，，得，由于，則，因此，；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)，再將所得的圖象上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍后所得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，，令，可得，令，得，則關(guān)于的二次方程必有兩不等實(shí)根，則，則異號(hào)，（i）當(dāng)且時(shí)，則方程和在區(qū)間均有偶數(shù)個(gè)根，從而方程在也有偶數(shù)個(gè)根，不合乎題意；（ii）