2024-2025學(xué)年陜西省漢中市高三上冊(cè)第三次際聯(lián)考（12月）數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年陜西省漢中市高三上學(xué)期第三次際聯(lián)考（12月）數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．設(shè)集合，則（）A． B． C． D．2．復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．3．已知命題，，命題，，則（

）A．p和q都是真命題 B．和q都是真命題C．p和都是真命題 D．和都是真命題4．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)的圖象，則（）A． B． C． D．5．若函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．6．中國(guó)古建筑的屋檐下常系掛風(fēng)鈴，風(fēng)吹鈴動(dòng)，悅耳清脆，亦稱驚鳥鈴．若一個(gè)驚鳥鈴由銅鑄造而成，且可近似看作由一個(gè)較大的圓錐挖去一個(gè)較小的圓錐，兩圓錐的軸在同一條直線上，截面圖如下，其中，，，若不考慮鈴舌，則下列數(shù)據(jù)比較接近該驚鳥鈴質(zhì)量的是（參考數(shù)據(jù)：，銅的密度為8.96）（

）A．1kg B．2kg C．3kg D．0.5kg7．已知，C是以AB為直徑的圓上一點(diǎn)，，D為AC的中點(diǎn)，則（

）A．-9 B．-12 C．-15 D．-168．已知等差數(shù)列和等比數(shù)列，，，，，則滿足的數(shù)值m（

）A．有且僅有1個(gè)值 B．有且僅有2個(gè)值 C．有且僅有3個(gè)值 D．有無數(shù)多個(gè)值二、多選題（本大題共3小題）9．某公司為保證產(chǎn)品的生產(chǎn)質(zhì)量，連續(xù)7天監(jiān)測(cè)某種新產(chǎn)品生產(chǎn)線的次品件數(shù)，得到關(guān)于每天出現(xiàn)的次品件數(shù)的一組樣本數(shù)據(jù)：2，2，0，2，4，1，3，則下列關(guān)于這組數(shù)據(jù)的結(jié)論正確的是（）A．極差是4 B．眾數(shù)等于平均數(shù)C．方差是 D．分位數(shù)是110．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，且雙曲線C的兩條漸近線的夾角為θ，若（e為雙曲線C的離心率），則（）A． B．雙曲線C的一條漸近線的斜率為C． D．11．設(shè)，函數(shù)，則下列說法正確的有（）A．當(dāng)時(shí)，函數(shù)為增函數(shù) B．點(diǎn)為函數(shù)圖象的對(duì)稱中心C．存在a，使得函數(shù)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn) D．函數(shù)至少有一個(gè)零點(diǎn)三、填空題（本大題共3小題）12．在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是．（用數(shù)字作答）13．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則．14．已知拋物線，若過點(diǎn)的直線與拋物線C只有一個(gè)交點(diǎn)，則這樣的直線一共有條．四、解答題（本大題共5小題）15．記的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.(1)求角的大??；(2)若，求證：為直角三角形.16．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，且橢圓E經(jīng)過點(diǎn)．(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線交橢圓E于M，N兩點(diǎn)，若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求直線l的方程．17．“九子游戲”是一種傳統(tǒng)的兒童游戲，它包括打彈子、滾圈子、踢毽子、頂核子、造房子、拉扯鈴子、刮片子、摜結(jié)子、抽陀子九種不同的游戲項(xiàng)目，某小學(xué)為豐富同學(xué)們的課外活動(dòng)，舉辦了“九子游戲”比賽，所有的比賽項(xiàng)目均采用局勝的單敗淘汰制，即先贏下局比賽者獲勝.造房子游戲是同學(xué)們喜愛的項(xiàng)目之一，經(jīng)過多輪淘汰后，甲、乙二人進(jìn)入造房子游戲的決賽，已知每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為.(1)若，設(shè)比賽結(jié)束時(shí)比賽的局?jǐn)?shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)現(xiàn)有兩種賽制：賽制一：采用3局2勝制，賽制二：采用5局3勝制，乙選手要想獲勝概率大，應(yīng)選哪種賽制？并說明理由.18．如圖所示的幾何體是由等高的半個(gè)圓柱和一個(gè)直三棱柱拼接而成，其中，點(diǎn)G為弧的中點(diǎn)，且四點(diǎn)共面．

(1)證明：四點(diǎn)共面；(2)若二面角的余弦值為，求的長(zhǎng)．19．函數(shù)滿足：對(duì)任意恒成立（或恒成立），則稱直線是函數(shù)在上的支撐線．(1)已知函數(shù)與在定義域上存在支撐線，請(qǐng)你從中選擇其中一個(gè)函數(shù)進(jìn)行證明；(2)若直線是在定義域上的支撐線，求實(shí)數(shù)a的值．

答案1．【正確答案】B【詳解】因?yàn)?，所以，故選：B2．【正確答案】C【詳解】由，可知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是.故選：C.3．【正確答案】A【分析】分別判斷命題、的真假，即可得答案.【詳解】解：因?yàn)槊}，，所以為真命題；命題當(dāng)時(shí)，，故為真命題.故選：A.4．【正確答案】D【詳解】依題意,.故選:D.5．【正確答案】C【詳解】由，得，畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖象如下圖所示，要使函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，由圖可知，的取值范圍是.故選：C6．【正確答案】A【詳解】由題意可得驚鳥鈴的體積約為長(zhǎng)，所以該驚鳥鈴的質(zhì)量約為（kg）．故選A．7．【正確答案】D【分析】由題意得到，再以為基底，利用數(shù)量積的運(yùn)算求解.【詳解】解：如圖所示：因?yàn)椋珻是以AB為直徑的圓上一點(diǎn)，，所以，又D為AC的中點(diǎn)，所以，，故選：D.8．【正確答案】A【詳解】設(shè)等差數(shù)列an的公差為，等比數(shù)列bn的公比為，因?yàn)椋?，，則，解得，令，可得，此時(shí)滿足只有成立；若，則，（1）若為奇數(shù)，則，不滿足；（2）若為偶數(shù)，則，且，即，可得，即不成立；綜上所述：滿足的數(shù)值m有且僅有1個(gè)值，該值為1.故選：A.9．【正確答案】ABC【詳解】該組數(shù)據(jù)從小到大排列為，對(duì)于A，該組數(shù)據(jù)的極差為，故A正確；對(duì)于B，眾數(shù)為2，平均數(shù)為，故B正確；對(duì)于C，該組數(shù)據(jù)的方程為，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以這組數(shù)據(jù)的百分位數(shù)為第三個(gè)數(shù)2，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.10．【正確答案】ABD【詳解】由題知，，所以雙曲線的焦點(diǎn)，，，由，可得，故A正確，C錯(cuò)誤；由雙曲線的漸近線方程，則兩條漸近線的傾斜角為，，故兩漸近線的夾角為，可得，故BD正確．故選：ABD．11．【正確答案】BD【詳解】由題意，，，因?yàn)閷?duì)，有，所以點(diǎn)為函數(shù)圖象的對(duì)稱中心，故B正確；函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，①當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)函數(shù)是上的減函數(shù)，則函數(shù)沒有極值點(diǎn)，又，，所以由零點(diǎn)存在性定理可知，此時(shí)函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，，則方程有唯一解，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)是上的減函數(shù)，則函數(shù)沒有極值點(diǎn)，又，，所以由零點(diǎn)存在性定理可知，此時(shí)函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，由，得，即，因?yàn)椋苑匠逃袃蓚€(gè)不相等的根，不妨設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，此時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，又時(shí)，，時(shí)，，所以由零點(diǎn)存在性定理可知，此時(shí)函數(shù)至少有一個(gè)零點(diǎn)；綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，故A錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有極值點(diǎn)，且有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且至少有一個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤，D正確；故選：BD.12．【正確答案】15【詳解】二項(xiàng)式的通項(xiàng)為：，令，解得，故常數(shù)項(xiàng)是.故15.13．【正確答案】36【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，則也為等差數(shù)列，可得，即，解得.故36.14．【正確答案】2【詳解】如圖，因在拋物線上，則過點(diǎn)與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線共有兩條，一條是與拋物線對(duì)稱軸平行的直線，另一條是以點(diǎn)為切點(diǎn)的直線，以下求出該切線方程.設(shè)過點(diǎn)的切線方程為，即，將其代入，可得，由，解得，即拋物線在點(diǎn)處的切線方程為.綜上，過點(diǎn)與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線有和兩條.故2.15．【正確答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用二倍角的余弦公式可求得，進(jìn)而可求；（2）結(jié)合（1）與余弦定理可求得，進(jìn)而計(jì)算可得，可得結(jié)論.【詳解】（1）由，可得，解得，因?yàn)?，所?（2）由（1）可知，，又，在中，由余弦定理可得，解得，所以，由勾股定理的逆定理可得，所以為直角三角形.16．【正確答案】(1)；(2)或.【詳解】（1）橢圓E經(jīng)過點(diǎn)，，橢圓E的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，，橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）如圖，設(shè)，由消去得：，由，可得，則，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，解得，則，因兩個(gè)值都滿足，故直線l的方程為，即或.17．【正確答案】(1)分布列見解析，(2)選方案一3局2勝制，理由見解析【詳解】（1）因?yàn)?，所以比賽采?局2勝制，的所有可能取值為2，3，，，的分布列為23所以.（2）應(yīng)選擇方案一3局2勝制，理由如下：若選賽制一3局2勝制時(shí)，記乙獲勝為事件A，則，若選賽制二5局3勝制時(shí)，記乙獲勝為事件B，則因?yàn)椋赃x方案一3局2勝制.18．【正確答案】(1)證明見解析(2)．【詳解】（1）

連接，因?yàn)?，所以直棱柱的底面為等腰直角三角形，，在半圓上，是弧中點(diǎn)，所以，所以，又，所以，所以四點(diǎn)共面.法二：直三棱柱中，以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)則，所以所以，則，所以四點(diǎn)共面.（2）直三棱柱中，，以為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

，設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為，則，即，化簡(jiǎn)得，取，又為平面的一個(gè)法向量，，解得，即的長(zhǎng)為．19．【正確答案】(1)