2024-2025學(xué)年陜西省西安市長(zhǎng)安區(qū)高二上冊(cè)第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年陜西省西安市長(zhǎng)安區(qū)高二上學(xué)期第二次數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．2．為了了解我校報(bào)考飛行員的學(xué)生的體重情況，將所得的數(shù)據(jù)整理后，作出頻率分布直方圖（如圖），已知圖中從左到右的前3個(gè)小組的頻率之比為，且第1小組的頻數(shù)為6，則報(bào)考飛行員的學(xué)生總?cè)藬?shù)是（

）A．48 B．60 C．72 D．763．已知非零向量滿足，則與的夾角的余弦值是（

）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，則的最小值為（

）A． B． C． D．5．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則此橢圓的方程為（

）A． B．C． D．6．將函數(shù)（其中）的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則的最小值是（

）A． B． C． D．7．已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別是和，若在其漸近線上存在一點(diǎn)，滿足，則該雙曲線離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．2,38．如圖，在三棱錐中，平面平面，是以為斜邊的等腰直角三角形，，，則該三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知兩個(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)的取值為（

）A．3 B．4 C．7 D．1410．意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契是第一個(gè)研究了印度和阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)理論的歐洲人，斐波那契數(shù)列被譽(yù)為是最美的數(shù)列，斐波那契數(shù)列滿足：，，.若將數(shù)列的每一項(xiàng)按照下圖方法放進(jìn)格子里，每一小格子的邊長(zhǎng)為1，記前項(xiàng)所占的格子的面積之和為，每段螺旋線與其所在的正方形所圍成的扇形面積為，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．11．在數(shù)學(xué)史上，把平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，稱為（Cassinioval）卡西尼卵形線.在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之積等于3，化簡(jiǎn)得曲線的方程為.則下列結(jié)論正確的是（

）A．曲線C關(guān)于軸對(duì)稱.B．面積的最大值為2.C．的最小值為.D．的取值范圍為.三、填空題（本大題共3小題）12．等比數(shù)列的各項(xiàng)為正數(shù)，若，則.13．若關(guān)于的方程和的四個(gè)根，可以組成首項(xiàng)為的等差數(shù)列，則的值是.14．已知拋物線y2=2pxp>0焦點(diǎn)為，過的直線與此拋物線相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)，若，且，則.四、解答題（本大題共5小題）15．設(shè)函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間：(2)在銳角中，角的對(duì)邊分別為，若，求面積的最大值.16．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．17．如圖，在三棱柱中，側(cè)面是矩形，，，，，E，F(xiàn)分別為棱，BC的中點(diǎn)，G為線段CF的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)求二面角的余弦值．18．已知數(shù)列和滿足.若為等比數(shù)列，且(1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式：(2)設(shè).記數(shù)列的前項(xiàng)和為.（i）求；（ii）求正整數(shù)，使得對(duì)任意，均有.19．已知橢圓C：的左焦點(diǎn)為，離心率為，過的直線與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)MN⊥x軸時(shí)，.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)H（0，-1）的直線l與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為F，直線FQ與y軸交于點(diǎn)G，求△PQG面積的取值范圍.

答案1．【正確答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出集合，再根據(jù)交集的定義計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，則，所以，又，所以.故選：D2．【正確答案】C【分析】根據(jù)頻率之和為1即可求解第一組的頻率，進(jìn)而可求解.【詳解】設(shè)第一小組的頻率為，則，解得，故總?cè)藬?shù)為，故選：C.3．【正確答案】B【分析】根據(jù)模長(zhǎng)公式公式可得，即可根據(jù)夾角公式求解.【詳解】由于，故，故，所以，故，故選：B4．【正確答案】C【分析】根據(jù)二倍角公式以及二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】由于，由于，故當(dāng)時(shí)，取最小值，故選：C5．【正確答案】D【分析】因?yàn)榈闹悬c(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)，代入橢圓方程相減，利用，，求出直線的斜率，得出等量關(guān)系，再由關(guān)系，即可求解.【詳解】設(shè)，，過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以直線的斜率，，代入橢圓方程得，兩式相減得，即，也即，所以，又，所以，所求的橢圓方程為.故選：D.6．【正確答案】B【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)可得平移后的表達(dá)式，即可根據(jù)對(duì)稱得得解.【詳解】由題意知，圖像平移后的函數(shù)的解析式為，因?yàn)樵搱D像關(guān)于直線對(duì)稱，所以，，解得，，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最小值．故選：B．7．【正確答案】A【分析】由題意問題轉(zhuǎn)化為雙曲線的漸近線與雙曲線有公共點(diǎn)即可，據(jù)此可得兩曲線漸近線斜率間的關(guān)系，進(jìn)而求出離心率范圍.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，,點(diǎn)在雙曲線上，雙曲線的漸近線方程為，因?yàn)橛深}意可知與雙曲線相交，所以由雙曲線漸近線性質(zhì)可知只需，即，則，解得（負(fù)值已舍去），故該雙曲線離心率的取值范圍是，故選：A8．【正確答案】C【分析】設(shè)中點(diǎn)為，連接，過點(diǎn)作，進(jìn)而根據(jù)已知條件證明三棱錐的外接球的球心在上，再設(shè)外接球的半徑為，球心為，中點(diǎn)為，連接，再根據(jù)幾何關(guān)系得，進(jìn)而代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得答案【詳解】設(shè)中點(diǎn)為，連接，因?yàn)槭且詾樾边叺牡妊苯侨切?，，所以，，過點(diǎn)作，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，平面所以平面，平面，所以三棱錐的外接球的球心在上，設(shè)外接球的半徑為，則由得，由得，又因?yàn)椋詾榈妊苯侨切?，設(shè)球心為，中點(diǎn)為，連接，則，所以，即，解得，所以三棱錐的外接球的表面積為.故選：C9．【正確答案】BD【分析】根據(jù)下標(biāo)和性質(zhì)及求和公式得到，即可求出，從而得解.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以?dāng)或或時(shí)為整數(shù).故選：BD10．【正確答案】ABD【分析】根據(jù)題中遞推公式，求出，，數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和，與選項(xiàng)對(duì)比即可.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)殪巢瞧鯏?shù)列總滿足，所以，，，類似的有，，累加得，由題知，故選項(xiàng)A正確，對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，，，類似的有，累加得，故選項(xiàng)B正確，對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，，，類似的有，累加得，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于D選項(xiàng)，可知扇形面積，故，故選項(xiàng)D正確，故選：ABD.本題考查了利用數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的性質(zhì)，屬于一般題.11．【正確答案】ACD【分析】用代替，判斷曲線的對(duì)稱性，判斷A的真假；利用，可求的取值范圍，結(jié)合可求的最大值，判斷B的真假；利用基本（均值）不等式求的最小值，判斷C的真假；利用先求的取值范圍，結(jié)合，可得的范圍，即的范圍，可判斷D的真假.【詳解】對(duì)A：對(duì)于方程，因?yàn)橛么?，方程不變，所以曲線關(guān)于軸對(duì)稱，故A正確；對(duì)B：因?yàn)?，因?yàn)?，所?所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)：，當(dāng)點(diǎn)在軸上取得等號(hào)，故C正確；對(duì)D：因?yàn)椋凰?所以，所以，故D正確.故選：ACD方法點(diǎn)睛：對(duì)卡西尼卵形線的性質(zhì)的分析，分別求，的取值范圍是解決問題的關(guān)鍵.曲線方程可化為，利用配方法可得的取值范圍；利用，可得的取值范圍.12．【正確答案】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及下標(biāo)和性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，則，所以.故13．【正確答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)計(jì)算得到；，再利用韋達(dá)定理求出、，即可得解.【詳解】不妨設(shè)方程和的四個(gè)根為，設(shè)其所成等差數(shù)列的公差為，則，，又，所以，則，所以，，故，，則故14．【正確答案】【分析】可設(shè)直線方程為，將直線與拋物線聯(lián)立，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系得出直線與的斜率之和為零，即，根據(jù)二倍角公式計(jì)算出銳角的正切值，計(jì)算直線中，根據(jù)弦長(zhǎng)公式計(jì)算出的值.【詳解】設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，，聯(lián)立直線與拋物線，整理得：，由韋達(dá)定理，，.，得到，由二倍角公式，是銳角，則.

過作軸，準(zhǔn)線，，根據(jù)拋物線的定義，，故，則的傾斜角為或者.可得，根據(jù)弦長(zhǎng)公式，，.故15．【正確答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；(2)【分析】（1）利用二倍角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；（1）首先求出，即可求出，再由余弦定理及基本不等式求出的最大值，最后由面積公式計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)?，令，解得，令，解得，所以函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）由，得，由題意知為銳角，所以，由余弦定理，所以，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，因此，所以面積的最大值為.16．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意列式求解，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）先求，討論的符號(hào)去絕對(duì)值，結(jié)合運(yùn)算求解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可得，即，解得，所以，（2）因?yàn)椋?，解得，且，?dāng)時(shí)，則，可得；當(dāng)時(shí)，則，可得；綜上所述.17．【正確答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）作圖，由對(duì)應(yīng)比例證明，即可證明平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得對(duì)應(yīng)平面向量的坐標(biāo)，求解出法向量，利用向量夾角計(jì)算公式代入計(jì)算.(1)連接，交于點(diǎn)，連接，由題意，四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)镋為中點(diǎn)，∴，∴，且相似比為，∴，又∵，為，中點(diǎn)，∴，∴，又平面，平面，∴平面.(2)連接，因?yàn)?，，所以，，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，則，設(shè)平面和平面的法向量分別為，則，，所以，因?yàn)槎娼堑钠矫娼菫殇J角，所以二面角的余弦值為.對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.18．【正確答案】(1)；(2)（i）（ii）【分析】利用和求出公比，確定，結(jié)合指數(shù)運(yùn)算求解；（i）利用分組求和求解；（ii）時(shí)，作差法確定的單調(diào)性得正負(fù)項(xiàng)分界求解的最大值即可求解.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，因?yàn)椋芍?，?dāng)時(shí)，，所以，又因?yàn)椋?，又因?yàn)椋曰颍ㄉ崛ィ?，所以，由有：所?（2）（i）由（1）知，，所以（i