2024-2025學(xué)年四川省成都市高二上冊第二次段考數(shù)學(xué)檢測試卷（12月份）附解析

2024-2025學(xué)年四川省成都市高二上學(xué)期第二次段考數(shù)學(xué)檢測試卷（12月份）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）拋物線y2＝﹣2x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（﹣1，0） B．（?12，0） C．（0，﹣1） D．（0，2．（5分）擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)A＝“第一枚出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，B＝“第二枚出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，則A與B的關(guān)系為（）A．互斥 B．互為對立 C．相互獨(dú)立 D．相等3．（5分）已知方程x22+m?A．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞） B．（﹣∞，﹣2） C．（﹣1，+∞） D．（﹣2，﹣1）4．（5分）從甲、乙、丙、丁4位同學(xué)中選2名代表，假設(shè)每個(gè)人當(dāng)選的可能性相等，則甲被選上的概率為（）A．12 B．13 C．145．（5分）如圖，在棱長為2的正四面體（四個(gè)面都是正三角形）ABCD中，M為棱BC的中點(diǎn)，則DB→A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．26．（5分）若橢圓x29+A．6 B．32 C．3或32 7．（5分）已知直線x+y＝a與圓x2+y2＝4相交于A，B兩點(diǎn)，且∠AOB＝120°，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為（）A．2 B．6 C．2或?2 D．6或8．（5分）已知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（2，0），（4，4），動(dòng)點(diǎn)M到A的距離比到直線x＝﹣3的距離小1，則|MA|+|MB|的最小值為（）A．4 B．5 C．25 二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯(cuò)的得0分。（多選）9．（6分）某同學(xué)參加數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)，現(xiàn)從該同學(xué)在培訓(xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成績中隨機(jī)抽6次的成績（單位：分）分別為84，95，91，95，98，100，則關(guān)于這6次成績，下列說法正確的是（）A．眾數(shù)為95 B．中位數(shù)為93 C．平均成績低于93分 D．極差為16（多選）10．（6分）雙曲線x29?y216=1A．雙曲線的漸近線方程為y=±3B．雙曲線的離心率為53C．若M為雙曲線上一點(diǎn)，且|MF1|＝7，則|MF2|＝13． D．若A，B為雙曲線上兩點(diǎn)，則點(diǎn)P（1，1）可以為線段AB的中點(diǎn)．（多選）11．（6分）如圖，已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，點(diǎn)M是側(cè)面B1C1CB內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列說法正確的有（）A．若M在線段BC1上，則三棱錐A1﹣AD1M的體積為定值 B．若M在線段BC1上，則DM⊥B1C C．若O為底面ABCD的中心且D1O⊥OM，則M到底面ABCD的距離與它到點(diǎn)B的距離之和的最小值是85D．若AM⊥MC，則A1M與平面B1C1CB所成角的正切的最大值為5三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=23，則直線BD1與直線13．（5分）直線y＝k（x﹣1）與拋物線y2＝4x相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝6，則k＝．14．（5分）在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，A為直線l：x﹣2y＝0在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，B（0，5），以AB為直徑的圓C與直線l交于另外一點(diǎn)D．若AB⊥CD，則A的縱坐標(biāo)為．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）某學(xué)校舉辦了一場黨史知識(shí)競賽活動(dòng)，共有500名學(xué)生參加了此次競賽活動(dòng)．為了解本次競賽活動(dòng)的得分情況，從中抽取了50名學(xué)生的得分（得分均為整數(shù)，滿分為100分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，所有學(xué)生的得分都不低于60分，將這50名學(xué)生的得分進(jìn)行分組，第一組[60，70），第二組[70，80），第三組[80，90），第四組[90，100]，得到如下的頻率分布直方圖．（1）求圖中m的值，并估計(jì)此次競賽活動(dòng)中學(xué)生得分的第75百分位數(shù)；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)此次競賽活動(dòng)學(xué)生得分的平均值．若對得分不低于平均值的同學(xué)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，請估計(jì)在參賽的500名學(xué)生中有多少名學(xué)生獲獎(jiǎng)．16．（15分）已知點(diǎn)A（1，1），B（0，2），C（﹣3，3），圓M為△ABC的外接圓．（1）求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程，（2）過點(diǎn)（2，8）作圓的切線l，求l的方程．17．（15分）四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=3，AD=2，DC=23，E是PC（1）求證：PA∥平面BDE；（2）求平面DEB與平面DEC夾角的余弦值．18．（17分）甲、乙二人做射擊游戲，甲和乙射擊擊中與否互不影響，各次結(jié)果也互不影響．規(guī)則如下：若射擊一次擊中，則原射擊人繼續(xù)射擊；若射擊一次不中，就由對方接替射擊．已知甲射擊一次擊中的概率為13，乙射擊一次擊中的概率為1（1）求前3次射擊中甲恰好擊中2次的概率；（2）求第4次由甲射擊的概率．19．（17分）設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)左頂點(diǎn)為A，下頂點(diǎn)為B，O（1）求橢圓的方程；（2）在橢圓上求一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到直線3x?2y+6=0（3）若直線l與橢圓相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，直線OE，l，OF的斜率分別為k1，k，k2其中（k＞0），△OEF的面積為S，以O(shè)E，OF為直徑的圓的面積分別為S1，S2．若k2＝k1?k2，求S1

答案與試題解析題號(hào)12345678答案BCAABDCD一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）拋物線y2＝﹣2x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（﹣1，0） B．（?12，0） C．（0，﹣1） D．（0，【分析】利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)即可．解：拋物線y2＝﹣2x，可得p＝1，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)（?1故選：B．【點(diǎn)評】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，焦點(diǎn)坐標(biāo)的求法，是基礎(chǔ)題．2．（5分）擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)A＝“第一枚出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，B＝“第二枚出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，則A與B的關(guān)系為（）A．互斥 B．互為對立 C．相互獨(dú)立 D．相等【分析】根據(jù)題意，求出P（A）、P（B）和P（AB），由相互獨(dú)立事件的判斷方法分析可得答案．解：根據(jù)題意，P（A）=36=12，P（B）=36故P（A）P（B）＝P（AB），則事件A、B相互獨(dú)立．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查相互獨(dú)立事件的判斷，涉及古典概型的概率計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．3．（5分）已知方程x22+m?A．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞） B．（﹣∞，﹣2） C．（﹣1，+∞） D．（﹣2，﹣1）【分析】根據(jù)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸或在y軸進(jìn)行討論，分別建立關(guān)于m的不等式組，解之即可得到實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：∵方程x2∴當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，2+m＞0m+1＞0，解之得m當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，2+m＜0m+1＜0，解之得m因此，實(shí)數(shù)m的取值范圍為（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞）故選：A．【點(diǎn)評】本題給出含有參數(shù)m的二次曲線方程，在已知方程表示雙曲線時(shí)求參數(shù)m的取值范圍，著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）從甲、乙、丙、丁4位同學(xué)中選2名代表，假設(shè)每個(gè)人當(dāng)選的可能性相等，則甲被選上的概率為（）A．12 B．13 C．14【分析】根據(jù)題意，由組合數(shù)公式計(jì)算“從甲、乙、丙、丁4位同學(xué)中選2名代表”和“甲被選上”的選法，由古典概型公式計(jì)算可得答案．解：根據(jù)題意，從甲、乙、丙、丁4位同學(xué)中選2名代表，有C4其中，甲被選上的選法有C3則甲被選上的概率P=3故選：A．【點(diǎn)評】本題考查古典概型的計(jì)算，涉及組合數(shù)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5．（5分）如圖，在棱長為2的正四面體（四個(gè)面都是正三角形）ABCD中，M為棱BC的中點(diǎn)，則DB→A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2【分析】直接利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求出結(jié)果．解：由于在棱長為2的正四面體（四個(gè)面都是正三角形）ABCD中，M為棱BC的中點(diǎn)，故AM→故DB→故選：B．【點(diǎn)評】本題考查的知識(shí)點(diǎn)：向量的數(shù)量積運(yùn)算，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．6．（5分）若橢圓x29+A．6 B．32 C．3或32 【分析】根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)在x軸或y軸上，分兩種情況討論，利用橢圓的離心率的公式算出k值，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而求出橢圓的長軸長，可得答案．解：①當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，9＞k+8＞0，即﹣8＜k＜1．根據(jù)橢圓的離心率e=22，得ca=此時(shí)橢圓的方程為x29+②當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，9＜k+8，即k＞1．根據(jù)橢圓的離心率e=22，得ca此時(shí)橢圓的方程為y218+x綜上所述，橢圓的長軸長等于6或62故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)，考查了計(jì)算能力、概念的理解能力，屬于基礎(chǔ)題．7．（5分）已知直線x+y＝a與圓x2+y2＝4相交于A，B兩點(diǎn)，且∠AOB＝120°，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為（）A．2 B．6 C．2或?2 D．6或【分析】根據(jù)題意知圓心到直線的距離為d=12解：直線x+y＝a與圓x2+y2＝4相交于A，B兩點(diǎn)，且∠AOB＝120°，所以圓心O到直線x+y﹣a＝0的距離為d=12即|?a|12+12=故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了直線與圓的方程應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．8．（5分）已知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（2，0），（4，4），動(dòng)點(diǎn)M到A的距離比到直線x＝﹣3的距離小1，則|MA|+|MB|的最小值為（）A．4 B．5 C．25 【分析】由題意，根據(jù)拋物線的定義得到動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，再進(jìn)行求解即可．解：因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)M到A（2，0）的距離比到直線x＝﹣3的距離小1，所以點(diǎn)M到直線x＝﹣2的距離等于它到點(diǎn)（2，0）的距離，所以點(diǎn)P在以A（2，0）為焦點(diǎn)，x＝﹣2為準(zhǔn)線的拋物線上，此時(shí)p2解得p＝2，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為y2＝8x，要求|MA|+|MB|的最小值，即求點(diǎn)M到直線x＝﹣2的距離與|MB|之和的最小值，易知當(dāng)M、B、準(zhǔn)線x＝﹣2上的點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)距離之和最小，所以|MA|+|MB|的最小值為點(diǎn)B（4，4）到直線x＝﹣2的距離，此時(shí)d＝4﹣（﹣2）＝6，則|MA|+|MB|的最小值為6．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查軌跡方程以及拋物線的定義，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯(cuò)的得0分。（多選）9．（6分）某同學(xué)參加數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)，現(xiàn)從該同學(xué)在培訓(xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成績中隨機(jī)抽6次的成績（單位：分）分別為84，95，91，95，98，100，則關(guān)于這6次成績，下列說法正確的是（）A．眾數(shù)為95 B．中位數(shù)為93 C．平均成績低于93分 D．極差為16【分析】根據(jù)題意，由眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)和極差的計(jì)算公式依次分析選項(xiàng)，綜合可得答案．解：根據(jù)題意，6次的成績從小到大排列為：84，91，95，95，98，100．依次分選項(xiàng)：對于A，6次的成績的眾數(shù)為95，A正確；對于B，6次成績的中位數(shù)為12（95+95）＝95，B對于C，平均成績?yōu)?6（84+91+95+95+98+100）≈93.8，C對于D，6次的成績的極差為100﹣84＝16，D正確．故選：AD．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)據(jù)平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)和極差的計(jì)算，注意平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)和極差的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題．（多選）10．（6分）雙曲線x29?y216=1A．雙曲線的漸近線方程為y=±3B．雙曲線的離心率為53C．若M為雙曲線上一點(diǎn)，且|MF1|＝7，則|MF2|＝13． D．若A，B為雙曲線上兩點(diǎn)，則點(diǎn)P（1，1）可以為線段AB的中點(diǎn)．【分析】根據(jù)題意，由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程分析A和B，由雙曲線的定義分析C，由反證法分析D，綜合可得答案．解：根據(jù)題意，雙曲線x29?y216=1，其焦點(diǎn)在x軸上，其中依次分析選項(xiàng)：對于A，該雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，其中a＝3，b＝4，則其漸近線方程為y＝±43x，A對于B，該雙曲線中，a＝3，c＝5，則其離心率e=ca=對于C，若M為雙曲線上一點(diǎn)，且|MF1|＝7，則有||MF1|﹣|MF2||＝2a＝6，解可得：|MF2|＝13或|MF2|＝1，又由c﹣a＝2，則|MF2|＝1不符合題意，故|MF2|＝13，C正確；對于D，假設(shè)點(diǎn)P（1，1）為線段AB的中點(diǎn)，則A（x1，y1），B（x2，y2），雙曲線x29?若過點(diǎn)P的直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，雙曲線漸近線方程為y＝±43x則有?43＜k則有x129?y12又由點(diǎn)P（1，1）為線段AB的中點(diǎn)，則x1+x2＝2，y1+y2＝2，則有x1?x29與?43＜kAB＜43即點(diǎn)P（1，1）不會(huì)是線段AB的中點(diǎn)，D錯(cuò)誤．故選：BC．【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，涉及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于中檔題．（多選）11．（6分）如圖，已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，點(diǎn)M是側(cè)面B1C1CB內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列說法正確的有（）A．若M在線段BC1上，則三棱錐A1﹣AD1M的體積為定值 B．若M在線段BC1上，則DM⊥B1C C．若O為底面ABCD的中心且D1O⊥OM，則M到底面ABCD的距離與它到點(diǎn)B的距離之和的最小值是85D．若AM⊥MC，則A1M與平面B1C1CB所成角的正切的最大值為5【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)，三棱柱的體積公式，坐標(biāo)法，線面角的概念，化歸轉(zhuǎn)化思想，針對各個(gè)選項(xiàng)分別求解即可．解：對于A，由題意M在線段BC1上，且BC1∥平面ADD1A1，所以點(diǎn)M到平面ADD1A1的距離不變，且△A1AD的面積不變，因?yàn)閂M?A1AD=VA1?ADM1，所以三棱錐A對于B，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可得B（2，2，0），C1（0，2，2），D（0，0，0），B1（2，2，2），C（0，2，0），則BC1→設(shè)BM→=λBC1→=（﹣2可得M（﹣2λ+2，2，2λ），可得DM→=（﹣2λ+2，2，2因?yàn)镈M→?CB1→=2（﹣2λ+2）+0×2+2×2λ＝4≠0，所以MD與B對于C，由B選項(xiàng)分析可得O（1，1，0），設(shè)M（x，2，z），D1O→=（1，1，﹣2），OM→因?yàn)镈1O⊥OM，所以D1O→即x﹣1+1﹣2z＝0，即x＝2z，設(shè)B1B的中點(diǎn)為N，則M在線段CN上，作出右側(cè)面的平面圖形如下：過作B關(guān)于NC的對稱點(diǎn)B′，再過B′作B′H⊥BC于點(diǎn)H，且B′H∩NC＝M，則M到底面ABCD的距離與它到點(diǎn)B的距離之和的最小值即為B′H，易知cos∠BB′H＝cos∠BCN＝cosθ=25，BB′所以最小值B′H＝BB′cosθ=45×對于D，因?yàn)锳M⊥MC，設(shè)O為底面ABCD的中心，BC中點(diǎn)為E，連接OE，所以O(shè)M=12AC=2，OE⊥EM所以ME=O所以M為以E為圓心，1為半徑的半圓弧如圖：又易知A1B1⊥平面B1C1CB，所以A1M與平面B1C1CB所成角為∠A1MB1，又tan∠A1MB1=A1B1B1M=2B1所以tan∠A1MB1的最大值為25?1=故選：ACD．【點(diǎn)評】本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，坐標(biāo)法的應(yīng)用，線面角的求解，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬難題．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=23，則直線BD1與直線DC所成角的余弦值為【分析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，DD1所在直線為z軸，建立空是直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線BD1與直線DC所成角的余弦值．解：如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，DD1所在直線為z軸，建立空是直角坐標(biāo)系，B（2，2，0），D1（0，0，23），D（0，0，0），C（0，1，0），BD1→=（﹣2，﹣2，2設(shè)直線BD1與直線DC所成角為θ，則cosθ=|∴直線BD1與直線DC所成角的余弦值為55故55【點(diǎn)評】本題考查異面直線所成角的余弦值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．13．（5分）直線y＝k（x﹣1）與拋物線y2＝4x相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝6，則k＝±2【分析】由題意，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及弦長公式再進(jìn)行求解即可．解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立y=k(x?1)y2=4x，消去y并整理得k2x2﹣（2k2+4）x+此時(shí)Δ＞0，由韋達(dá)定理得x1+x2=2所以|AB|==1+整理得5k4﹣8k2﹣4＝0，解得k2＝2，則k=±2故±2【點(diǎn)評】本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，A為直線l：x﹣2y＝0在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，B（0，5），以AB為直徑的圓C與直線l交于另外一點(diǎn)D．若AB⊥CD，則A的縱坐標(biāo)為3．【分析】設(shè)A（2a，a），a＞0，求出C的坐標(biāo)，得到圓C的方程，聯(lián)立直線方程與圓的方程，求得D的坐標(biāo)，結(jié)合AB⊥CD，列式求解即可．解：設(shè)A（2a，a），a＞0，∵B（0，5），∴C（a，5+a2則圓C的方程為x（x﹣2a）+（y﹣5）（y﹣a）＝0．聯(lián)立x?2y=0x(x?2a)+(y?5)(y?a)=0解得x=2y=1，即D∵AB⊥CD，∴AB→?CD→=?2a（2﹣a）+（5﹣a解得a＝3或a＝﹣1（不合題意，舍去）；∴A的縱坐標(biāo)為3．故3．【點(diǎn)評】本題考查了直線與圓的方程應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）某學(xué)校舉辦了一場黨史知識(shí)競賽活動(dòng)，共有500名學(xué)生參加了此次競賽活動(dòng)．為了解本次競賽活動(dòng)的得分情況，從中抽取了50名學(xué)生的得分（得分均為整數(shù)，滿分為100分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，所有學(xué)生的得分都不低于60分，將這50名學(xué)生的得分進(jìn)行分組，第一組[60，70），第二組[70，80），第三組[80，90），第四組[90，100]，得到如下的頻率分布直方圖．（1）求圖中m的值，并估計(jì)此次競賽活動(dòng)中學(xué)生得分的第75百分位數(shù)；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)此次競賽活動(dòng)學(xué)生得分的平均值．若對得分不低于平均值的同學(xué)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，請估計(jì)在參賽的500名學(xué)生中有多少名學(xué)生獲獎(jiǎng)．【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和為1，結(jié)合中位數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)平均數(shù)的定義，結(jié)合頻率分布直方圖進(jìn)行求解即可．解：（1）由頻率分布直方圖知（0.01+m+0.04+0.02）×10＝1，解得m＝0.03，設(shè)此次競賽活動(dòng)學(xué)生得分的第75百分位數(shù)為x0分，因數(shù)據(jù)落在[60，80）內(nèi)的頻率為0.4，落在[60，90）內(nèi)的頻率為0.8，從而可得80＜x0＜90，所以0.01×10+0.03×10+（x0﹣80）×0.04＝0.75，解得x0＝88.75，估計(jì)此次競賽活動(dòng)學(xué)生得分的第75百分位數(shù)為88.75分；（2）由頻率分布直方圖及（1）知數(shù)據(jù)落在[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的頻率分別為0.1，0.3，0.4，0.2，所以x=65×0.1+75×0.3+85×0.4+95×0.2=82此次競賽活動(dòng)學(xué)生得分不低于82分的頻率為0.2+10?2所以500×0.52＝260，所以估計(jì)此次競賽活動(dòng)學(xué)生得分的平均值為82分，在參賽的500名學(xué)生中估計(jì)有260名學(xué)生獲獎(jiǎng)．【點(diǎn)評】本題主要考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查了百分位數(shù)和平均數(shù)的定義，屬于中檔題．16．（15分）已知點(diǎn)A（1，1），B（0，2），C（﹣3，3），圓M為△ABC的外接圓．（1）求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程，（2）過點(diǎn)（2，8）作圓的切線l，求l的方程．【分析】（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，代入點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)求解即可；（2）討論直線l的斜率不存在時(shí)和斜率存在時(shí)，由圓心到直線的距離d＝r求解即可．解：（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，因?yàn)閳A過點(diǎn)A（1，1），B（0，2），C（﹣3，3），所以(1?a)2解得a＝﹣3，b＝﹣2，r2＝25，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（x+3）2+（y+2）2＝25；（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x＝2，圓心M（﹣3，﹣2）到直線l的距離為5，滿足條件；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l：y﹣8＝k（x﹣2）即kx﹣y﹣2k+8＝0，則|?3k+2?2k+8|k兩邊平方并化簡得4k﹣3＝0，解得k=3直線l的方程為3x﹣4y+26＝0；綜上，直線l的方程為x＝2或3x﹣4y+26＝0．【點(diǎn)評】本題考查了直線與圓的方程應(yīng)用問題，也考查了運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．17．（15分）四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=3，AD=2，DC=23，E是PC（1）求證：PA∥平面BDE；（2）求平面DEB與平面DEC夾角的余弦值．【分析】（1）連接AC，交BD于點(diǎn)O，連接OE，先證PA∥OE，再利用線面平行的判定定理即可得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面DEB和平面DEC的一個(gè)法向量，利用向量法求解即可．解：（1）證明：連接AC，交BD于點(diǎn)O，連接OE，因?yàn)锳BCD是矩形，所以O(shè)是AC的中點(diǎn)，又因?yàn)镋是PC的中點(diǎn)，所以PA∥OE，因?yàn)镻A?平面BDE，OE?平面BDE，所以PA∥平面BDE（2）以D為原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B(2，23DB→設(shè)平面DEB的一個(gè)法向量n→則n→⊥DB設(shè)z＝2，則y=?3則n→平面DEC的一個(gè)法向量為m→設(shè)平面DEB與平面DEC的夾角為θ，則cosθ=|m所以平面DEB與平面DEC的夾角的余弦值為34【點(diǎn)評】本題考查線面平行的判定，以及向量法的應(yīng)用，屬于中檔題．18．（17分）甲、乙二人做射擊游戲，甲和乙射擊擊中與否互不影響，各次結(jié)果也互不影響．規(guī)則如下：若射擊一次擊中，則原射擊人繼續(xù)射擊；若射擊一次不中，就由對方接替射擊．已知甲射擊一次擊中的概率為13，乙射擊一次擊中的概率為1（1）求前3次射擊中甲恰好擊中2次的概率；（2）求第4次由甲射擊的概率．【分析】（1）根據(jù)題意，前3次射擊中甲恰好擊中2次，則前2次甲都擊中目標(biāo)，但第三次沒有擊中目標(biāo)，由相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算可得答案；（2）根據(jù)題意，設(shè)事件E＝“第4次由甲射擊”，事件B＝“第一次甲射擊沒有擊中，第二次由乙射擊且擊中，第三次由乙射擊沒有擊中”，事件C＝“第一次甲射擊沒有擊中，二次由乙射擊且沒有擊中，第三次由甲射擊且擊中”，事件D＝“第一次甲射擊且擊中，二次由甲射擊且沒有擊中，第三次由乙射擊沒有擊