2019屆江蘇專用高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第五章平面向量5.3平面向量的數(shù)量積講義文蘇教版

§5.3平面向量的數(shù)量積基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)課時作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)知識梳理∠AOB[0，π]2.平面向量的數(shù)量積定義設(shè)兩個非零向量a，b的夾角為θ，則數(shù)量

叫做a與b的數(shù)量積，記作a·b幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影

的乘積|a||b|·cos

θ|b|cos

θ3.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a，b都是非零向量，e是單位向量，θ為a與b(或e)的夾角.則(1)e·a＝a·e＝|a|cos

θ.(2)a⊥b?

.(3)當(dāng)a與b同向時，a·b＝|a||b|；當(dāng)a與b反向時，a·b＝－|a||b|.特別地，a·a＝

或|a|＝

.(4)cosθ＝.(5)|a·b|≤

.a·b＝0|a||b||a|24.平面向量數(shù)量積滿足的運算律(1)a·b＝

；(2)(λa)·b＝

＝

＝

(λ為實數(shù))；(3)(a＋b)·c＝

.b·aa·(λb)λ(a·b)λa·ba·c＋b·c5.平面向量數(shù)量積有關(guān)性質(zhì)的坐標(biāo)表示設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝

，由此得到(1)若a＝(x，y)，則|a|2＝

或|a|＝

.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點間的距離AB＝||＝

.(3)設(shè)兩個非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b?

.(4)若a，b都是非零向量，θ是a與b的夾角，則cos

θ＝

＝

.x1x2＋y1y2x2＋y2x1x2＋y1y2＝0知識拓展1.兩個向量a，b的夾角為銳角?a·b>0且a，b不共線；兩個向量a，b的夾角為鈍角?a·b<0且a，b不共線.2.平面向量數(shù)量積運算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.(

)(2)兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，向量的加、減、數(shù)乘運算的運算結(jié)果是向量.(

)(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(

)×√×××考點自測1.設(shè)a，b，c為平面向量，有下面幾個命題：①a·(b－c)＝a·b－a·c；②(a·b)·c＝a·(b·c)；③(a－b)2＝|a|2－2|a||b|＋|b|2；④若a·b＝0，則a＝0，b＝0.其中正確的有____個.答案解析1由向量的數(shù)量積的性質(zhì)知①正確；由向量的數(shù)量積的運算不滿足結(jié)合律知②不正確；由(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝|a|2－2|a||b|cos

θ＋|b|2知③不正確；對于④，∵a·b＝|a||b|·cos

θ＝0，∴|a|＝0或|b|＝0或cos

θ＝0.∴a＝0或b＝0或a⊥b，故④不正確.－16答案解析答案解析4.(教材改編)已知向量a＝(2，4)，b＝(1，1)，若向量b⊥(a＋λb)，則實數(shù)λ的值是________.答案解析－3b·(a＋λb)＝b·a＋λb·b＝2×1＋4×1＋2λ＝0?λ＝－3.答案解析題型分類深度剖析答案解析3在?ABCD中，AB＝m，AD＝2，∠BAD＝60°，因為m>0，所以m＝2，11答案解析幾何畫板展示方法一以射線AB，AD為x軸，y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，平面向量數(shù)量積的三種運算方法(1)當(dāng)已知向量的模和夾角時，可利用定義法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時，可利用坐標(biāo)法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2.(3)利用數(shù)量積的幾何意義求解.思維升華答案解析30°又∵0°≤∠ABC≤180°，∴∠ABC＝30°.9答案解析題型二平面向量數(shù)量積的應(yīng)用命題點1求向量的模3答案解析令A(yù)C＝b，由題意得因為點D在邊BC上，整理得b2－2b－3＝0，解之得b＝3(b＝－1舍去)，即AC的長為3.(2)(2016·江蘇啟東中學(xué)階段測試)已知向量a，b，c滿足a＋b＋c＝0，且a與b的夾角等于150°，b與c的夾角等于120°，|c|＝2，求|a|，|b|.解答由a＋b＋c＝0，命題點2求向量的夾角例3

(1)(2016·南京、鹽城調(diào)研)已知向量a，b滿足a＝(4，－3)，|b|＝1，|a－b|＝

，則向量a，b的夾角為____.答案解析21＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝25＋1－10cosθ，(2)若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b與c的夾角為鈍角，則k的取值范圍是_____________________.答案解析∵2a－3b與c的夾角為鈍角，∴(2a－3b)·c＜0，即(2k－3，－6)·(2，1)＜0，∴4k－6－6＜0，∴k＜3.即2a－3b與c反向.平面向量數(shù)量積求解問題的策略思維升華(2)兩向量垂直的應(yīng)用：兩非零向量垂直的充要條件是：a⊥b?a·b＝0?|a－b|＝|a＋b|.(3)求向量的模：利用數(shù)量積求解長度問題的處理方法有：9答案解析答案解析解答因為m⊥n，解答平面向量與三角函數(shù)的綜合問題的解題思路(1)題目條件給出向量的坐標(biāo)中含有三角函數(shù)的形式，運用向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數(shù)的關(guān)系式，然后求解.(2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標(biāo)，要求的是向量的模或者其他向量的表達形式，解題思路是經(jīng)過向量的運算，利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性，求得值域等.思維升華跟蹤訓(xùn)練3

在△ABC中，已知C＝

，m＝(sinA，1)，n＝(1，cos

B)，且m⊥n.(1)求A的值；解答由題意知m·n＝sinA＋cos

B＝0，解答

利用數(shù)量積求向量夾角現(xiàn)場糾錯系列5錯解展示現(xiàn)場糾錯糾錯心得利用數(shù)量積的符號判斷兩向量夾角的范圍時，不要忽視兩向量共線的情況.返回解錯解中，cos

θ<0包含了θ＝π，返回課時作業(yè)12345678910111213141.(2016·蘇州期末)已知向量a＝(1，2)，b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，則實數(shù)x＝____.答案解析9先由a⊥(a－b)，得a·(a－b)＝0，即a2＝a·b，再代入數(shù)據(jù).把a＝(1，2)，b＝(x，－2)，代入a2＝a·b，得5＝x－4，所以x＝9.2.若向量a，b滿足|a|＝|b|＝2，a與b的夾角為60°，則|a＋b|＝______.答案解析|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos60°12345678910111213143.已知平面向量a，b滿足a·(a＋b)＝3，且|a|＝2，|b|＝1，則向量a與b夾角的正弦值為______.答案解析∵a·(a＋b)＝a2＋a·b＝22＋2×1×cos〈a，b〉＝4＋2cos〈a，b〉＝3，又〈a，b〉∈[0，π]，1234567891011121314答案解析2解得2x＝－2(舍)或2x＝1，故a＝(1，1)，b＝(1，－1)，故a－b＝(0，2)，故|a－b|＝2.1234567891011121314－5答案解析1234567891011121314答案解析1234567891011121314答案解析1234567891011121314方法二建立平面直角坐標(biāo)系，使得A(0，0)，B(4，0)，設(shè)D(3cosα，3sinα)，則C(3cosα＋2，3sinα)，M(2cosα，2sinα).1234567891011121314答案解析如圖，以BC為x軸，AD為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)B(－3，0)，C(3，0)，12345678910111213144答案解析由題意可建立如圖所示的坐標(biāo)系，可得A(2，0)，B(0，2)，P(1，1)，C(0，0)，1234567891011121314－2＝－6＋1＋3＝－2.1234567891011121314答案解析－2答案解析12345678910111213141234567891011121314答案解析1234567891011121314以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，1234567891011121314所以點C的運動軌跡是以點P為圓心，1為半徑的圓，123456789101112131413.(2016·江蘇如東中學(xué)質(zhì)檢)在△ABC中，B＝

，D是邊BC上一點，AD＝5，CD＝3，AC＝7.(1)求