2019-2020年江蘇專用高考數(shù)學大一輪復習第十二章概率隨機變量及其分布12.4離散型隨機變量及其概率分布講義

§12.4離散型隨機變量及其概率分布基礎知識自主學習課時作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎知識自主學習1.離散型隨機變量隨著試驗結果變化而

叫做隨機變量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示，所有取值可以

的隨機變量，叫做離散型隨機變量.2.離散型隨機變量的概率分布及性質(zhì)(1)一般地，若離散型隨機變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則表知識梳理Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn稱為離散型隨機變量X的

.變化的變量一一列出概率分布表(2)離散型隨機變量的概率分布的性質(zhì)①

；②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝

.3.常見離散型隨機變量的概率分布(1)兩點分布如果隨機變量X的概率分布表為X01P1－pp其中0<p<1，則稱離散型隨機變量X服從

.pi≥0，i＝1,2，…，n1兩點分布(2)超幾何分布一般地，設有N件產(chǎn)品，其中有M(M≤N)件次品.從中任取n(n≤N)件產(chǎn)品，用X表示取出的n件產(chǎn)品中次品的件數(shù)，那么P(X＝r)＝_______(r＝0,1,2，…，l).即其中l(wèi)＝min(M，n)，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.如果一個隨機變量X的概率分布具有上表的形式，則稱隨機變量X服從超幾何分布.思考辨析判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)拋擲均勻硬幣一次，出現(xiàn)正面的次數(shù)是隨機變量.(

)(2)離散型隨機變量的概率分布描述了由這個隨機變量所刻畫的隨機現(xiàn)象.(

)(3)某人射擊時命中的概率為0.5，此人射擊三次命中的次數(shù)X服從兩點分布.(

)(4)從4名男演員和3名女演員中選出4名演員，其中女演員的人數(shù)X服從超幾何分布.(

)(5)離散型隨機變量的概率分布中，隨機變量取各個值的概率之和可以小于1.(

)(6)離散型隨機變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的.(

)√√×√×√考點自測①②表述的都是隨機事件，④是確定的值2，并不隨機；③是隨機變量，可能取值為0,1,2.1.(2016·蘇州模擬)袋中有3個白球、5個黑球，從中任取2個，可以作為隨機變量的是____.①至少取到1個白球；

②至多取到1個白球；③取到白球的個數(shù)；

④取到的球的個數(shù).答案解析③2.設某項試驗的成功率是失敗率的2倍，用隨機變量X去描述1次試驗的成功次數(shù)，則P(X＝0)＝___.答案解析設X的概率分布為X01Pp2p即“X＝0”表示試驗失敗，“X＝1”表示試驗成功，由p＋2p＝1，得p＝.3.從標有1～10的10支竹簽中任取2支，設所得2支竹簽上的數(shù)字之和為X，那么隨機變量X可能取得的值有___個.答案解析X可能取得的值有3,4,5，…，19，共17個.174.從裝有3個紅球、2個白球的袋中隨機取出2個球，設其中有X個紅球，則隨機變量X的概率分布為答案解析X012P

0.10.60.3∵X的所有可能取值為0,1,2，∴X的概率分布為X012P0.10.60.35.(教材改編)一盒中有12個乒乓球，其中9個新的、3個舊的，從盒中任取3個球來用，用完后裝回盒中，此時盒中舊球個數(shù)X是一個隨機變量，則P(X＝4)的值為______.答案解析由題意知取出的3個球必為2個舊球、1個新球，題型分類深度剖析題型一離散型隨機變量的概率分布的性質(zhì)例1

(1)設X是一個離散型隨機變量，其概率分布為答案解析X－101P2－3qq2則q＝________.(2)設離散型隨機變量X的概率分布為X01234P0.20.10.10.3m求2X＋1的概率分布.解答由概率分布的性質(zhì)知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.首先列表為X012342X＋113579從而2X＋1的概率分布為2X＋113579P0.20.10.10.30.3引申探究1.在本例(2)的條件下，求隨機變量η＝|X－1|的概率分布.解答由(2)知m＝0.3，列表X01234|X－1|10123∴P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3.故η＝|X－1|的概率分布為η0123P0.10.30.30.32.若本例(2)中條件不變，求隨機變量η＝X2的概率分布.解答依題意知η的值為0,1,4,9,16.P(η＝0)＝P(X2＝0)＝P(X＝0)＝0.2，P(η＝1)＝P(X2＝1)＝P(X＝1)＝0.1，p(η＝4)＝P(X2＝4)＝P(X＝2)＝0.1，P(η＝9)＝P(X2＝9)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝16)＝P(X2＝16)＝P(X＝4)＝0.3，故η＝X2的概率分布為η014916P0.20.10.10.30.3(1)利用概率分布中各概率之和為1可求參數(shù)的值，此時要注意檢驗，以保證每個概率值均為非負數(shù).(2)求隨機變量在某個范圍內(nèi)的概率時，根據(jù)概率分布，將所求范圍內(nèi)各隨機變量對應的概率相加即可，其依據(jù)是互斥事件的概率加法公式.思維升華跟蹤訓練1設隨機變量X的概率分布為P(X＝)＝ak(k＝1,2,3,4,5).(1)求a；解答由概率分布的性質(zhì)，(2)求P(X≥)；解答解答解答題型二離散型隨機變量概率分布的求法命題點1與排列、組合有關的概率分布的求法例2

(2015·重慶改編)端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習俗.設一盤中裝有10個粽子，其中豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同.從中任意選取3個.(1)求三種粽子各取到1個的概率；令A表示事件“三種粽子各取到1個”，(2)設X表示取到的豆沙粽個數(shù)，求X的概率分布.解答X的所有可能值為0,1,2，綜上知，X的概率分布為解答命題點2與互斥事件有關的概率分布的求法例3

(2015·安徽改編)已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結束.(1)求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件A，解答(2)已知每檢測一件產(chǎn)品需要費用100元，設X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用(單位：元)，求X的概率分布.X的可能取值為200,300,400.P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)故X的概率分布為命題點3與獨立事件(或獨立重復試驗)有關的概率分布的求法例4

(2016·南京模擬)甲、乙兩人進行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局數(shù)多者贏得比賽.假設每局甲獲勝的概率為

，乙獲勝的概率為

，各局比賽結果相互獨立.(1)求甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽的概率；解答用A表示“甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽”，Ak表示“第k局甲獲勝”，Bk表示“第k局乙獲勝”.P(A)＝P(A1A2)＋P(B1A2A3)＋P(A1B2A3A4)＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)·P(A3)P(A4)(2)記X為比賽決出勝負時的總局數(shù)，求X的概率分布.解答X的可能取值為2,3,4,5.P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2)P(X＝3)＝P(B1A2A3)＋P(A1B2B3)P(X＝4)＝P(A1B2A3A4)＋P(B1A2B3B4)故X的概率分布為求離散型隨機變量X的概率分布的步驟(1)理解X的意義，寫出X可能取的全部值；(2)求X取每個值的概率；(3)寫出X的概率分布.求離散型隨機變量的概率分布的關鍵是求隨機變量所取值對應的概率，在求解時，要注意應用計數(shù)原理、古典概型等知識.思維升華跟蹤訓練2

(2016·湖北部分重點中學第一次聯(lián)考)連續(xù)拋擲同一顆均勻的骰子，令第i次得到的點數(shù)為ai，若存在正整數(shù)k，使a1＋a2＋…＋ak＝6，則稱k為你的幸運數(shù)字.(1)求你的幸運數(shù)字為3的概率；設“連續(xù)拋擲3次骰子，和為6”為事件A，則它包含事件A1，A2，A3，其中A1：三次恰好均為2；A2：三次中恰好1,2,3各一次；A3：三次中有兩次均為1，一次為4.A1，A2，A3為互斥事件，則解答(2)若k＝1，則你的得分為6分；若k＝2，則你的得分為4分；若k＝3，則你的得分為2分；若拋擲三次還沒找到你的幸運數(shù)字，則記0分，求得分ξ的概率分布.解答由已知得ξ的可能取值為6,4,2,0，故ξ的概率分布為題型三超幾何分布例5

(2016·連云港模擬)PM2.5是指懸浮在空氣中的空氣動力學當量直徑小于或等于2.5微米的可入肺顆粒物.根據(jù)現(xiàn)行國家標準GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級；在35微克/立方米～75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標.從某自然保護區(qū)2016年全年每天的PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機地抽取10天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測值頻數(shù)如下表所示：PM2.5日均值(微克/立方米)[25,35](35,45](45,55](55,65](65,75](75,85]頻數(shù)311113(1)從這10天的PM2.5日均值監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機抽出3天，求恰有一天空氣質(zhì)量達到一級的概率；記“從10天的PM2.5日均值監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機抽出3天，恰有一天空氣質(zhì)量達到一級”為事件A，解答(2)從這10天的數(shù)據(jù)中任取3天數(shù)據(jù)，記ξ表示抽到PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)超標的天數(shù)，求ξ的概率分布.解答依據(jù)條件，ξ服從超幾何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，且隨機變量ξ的可能取值為0,1,2,3.故ξ的概率分布為(1)超幾何分布的兩個特點①超幾何分布是不放回抽樣問題；②隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù).(2)超幾何分布的應用條件①兩類不同的物品(或人、事)；②已知各類對象的個數(shù)；③從中抽取若干個個體.思維升華跟蹤訓練3某大學志愿者協(xié)會有6名男同學，4名女同學.在這10名同學中，3名同學來自數(shù)學學院，其余7名同學來自物理、化學等其他互不相同的七個學院.現(xiàn)從這10名同學中隨機選取3名同學，到希望小學進行支教活動.(每位同學被選到的可能性相同)(1)求選出的3名同學來自互不相同學院的概率；解答(2)設X為選出的3名同學中女同學的人數(shù)，求隨機變量X的概率分布.解答隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3.故隨機變量X的概率分布是典例某射手有5發(fā)子彈，射擊一次命中概率為0.9.如果命中就停止射擊，否則一直到子彈用盡，求耗用子彈數(shù)ξ的概率分布.離散型隨機變量的概率分布現(xiàn)場糾錯系列15錯解展示現(xiàn)場糾錯糾錯心得(1)隨機變量的概率分布，要弄清變量的取值，還要清楚變量的每個取值對應的事件及其概率.(2)驗證隨機變量的概率和是否為1.返回解

P(ξ＝1)＝0.9，P(ξ＝2)＝0.1×0.9＝0.09，P(ξ＝3)＝0.1×0.1×0.9＝0.009，P(ξ＝4)＝0.13×0.9＝0.0009，P(ξ＝5)＝0.14＝0.0001.∴ξ的概率分布為ξ12345P0.90.090.0090.00090.0001返回課時作業(yè)1.(2016·揚州模擬)某射手射擊所得環(huán)數(shù)X的概率分布為X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22根據(jù)X的概率分布知，所求概率為0.28＋0.29＋0.22＝0.79.則此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)大于7”的概率為_____.0.79答案解析123456789101112132.設X是一個離散型隨機變量，其概率分布為X－101P1－2qq2則q＝________.答案解析1234567891011121312345678910111213由概率分布的性質(zhì)知，則a＝5，3.(2016·泰州模擬)已知隨機變量X的概率分布為P(X＝i)＝(i＝1,2,3,4)，則P(2<X≤4)＝____.答案解析123456789101112134.設隨機變量ξ的概率分布為P(ξ＝i)＝a()i，i＝1,2,3，則實數(shù)a的值為_____.答案解析123456789101112135.從裝有3個白球，4個紅球的箱子中，隨機取出3個球，則恰好是2個白球，1個紅球的概率是____.答案解析如果將白球視為合格品，紅球視為不合格品，則這是一個超幾何分布問題，123456789101112136.(2016·鹽城模擬)一實驗箱中裝有標號為1,2,3,3,4的5只白鼠，若從中任取1只，記取到的白鼠的標號為Y，則隨機變量Y的概率分布是________.答案解析12345678910111213∴隨機變量Y的概率分布為123456789101112137.甲、乙兩隊在一次對抗賽的某一輪中有3個搶答題，比賽規(guī)定：對于每一個題，沒有搶到題的隊伍得0分，搶到題并回答正確的得1分，搶到題但回答錯誤的扣1分(即得－1分)；若X是甲隊在該輪比賽獲勝時的得分(分數(shù)高者勝)，則X的所有可能取值是__________.答案解析－1,0,1,2,312345678910111213X＝－1，甲搶到一題但答錯了，而乙搶到了兩個題都答錯了，X＝0，甲沒搶到題，乙搶到題答錯至少2個題或甲搶到2題，但答時一對一錯，而乙答錯一個題，X＝1，甲搶到1題且答對，乙搶到2題且至少答錯1題或甲搶到3題，且1錯2對，X＝2，甲搶到2題均答對，X＝3，甲搶到3題均答對.123456789101112138.隨機變量X的概率分布如下：X－101Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，則P(|X|＝1)＝___，公差d的取值范圍是________.答案解析12345678910111213∵a，b，c成等差數(shù)列，∴2b＝a＋c.123456789101112139.設離散型隨機變量X的概率分布為答案解析X01234P0.20.10.10.3m若隨機變量Y＝|X－2|，則P(Y＝2)＝___.0.512345678910111213由概率分布的性質(zhì)，知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.由Y＝2，即|X－2|＝2，得X＝4或X＝0，∴P(Y＝2)＝P(X＝4或X＝0)＝P(X＝4)＋P(X＝0)＝0.3＋0.2＝0.5.1234567891011121310.(2016·南通模擬)口袋中有5只球，編號為1,2,3,4,5，從中任取3只球，以X表示取出的球的最大號碼，則X的概率分布為______________.答案解析X345P0.10.30.612345678910111213X的取值為3,4,5.所以X的概率分布為X345P0.10.30.61234567891011121311.(2015·山東改編)若n是一個三位正整數(shù)，且n的個位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱n為“三位遞增數(shù)”(如137,359,567等).在某次數(shù)學趣味活動中，每位參加者需從所有的“三位遞增數(shù)”中隨機抽取1個數(shù)，且只能抽取一次.得分規(guī)則如下：若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個數(shù)字之積不能被5整除，參加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分.(1)寫出所有個位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)”

；解答個位數(shù)是5的“三位遞增數(shù)”有1