2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-專題1 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)-第2講 基本初等函數(shù)、函數(shù)的應(yīng)用【課件】

第2講基本初等函數(shù)、函數(shù)的應(yīng)用專題一2025內(nèi)容索引0102必備知識(shí)?精要梳理關(guān)鍵能力?學(xué)案突破必備知識(shí)?精要梳理(4)對(duì)數(shù)值符號(hào)規(guī)律:已知a>0,且a≠1,b>0,則logab>0?(a-1)(b-1)>0,logab<0?(a-1)(b-1)<0.1.指數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)運(yùn)算的常用結(jié)論

2.指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

(1)函數(shù)y=k·amx+n+p(a>0,且a≠1)的圖象經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)為,根據(jù)a0=1推知

根據(jù)loga1=0推知

函數(shù)y=k·loga(mx+n)+p(a>0,且a≠1)的圖象所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)為

(2)函數(shù)y=loga|x|(a>0,且a≠1)是偶函數(shù),圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,當(dāng)a>1時(shí),在區(qū)間(-∞,0)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增;當(dāng)0<a<1時(shí),在區(qū)間(-∞,0)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.(3)函數(shù)y=|logax|(a>0,且a≠1)是非奇非偶函數(shù),圖象在x軸上方及x軸上,在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.底數(shù)0<a<1與a>1時(shí)結(jié)論相同

3.函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題(1)函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)=g(x)的根,即函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=g(x)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo).(2)確定函數(shù)零點(diǎn)的常用方法:①直接解方程法;②利用零點(diǎn)存在性定理;③數(shù)形結(jié)合,利用兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)求解.溫馨提示函數(shù)的零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù),而不是幾何圖形.4.應(yīng)用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟

關(guān)鍵能力?學(xué)案突破突破點(diǎn)一指數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算[例1-1]已知2a=5,log83=b,則4a-3b=(

)C[例1-2]青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問(wèn)題,視力情況可借助視力表測(cè)量.通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù),五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿足L=5+lgV.已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為(≈1.259)(

)A.1.5 B.1.2

C.0.8

D.0.6C解析

由題意L=5+lg

V,當(dāng)L=4.9時(shí),有4.9=5+lg

V,lg

V=-0.1,規(guī)律總結(jié)指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算的常用方法與技巧(1)將指數(shù)式與對(duì)數(shù)式進(jìn)行互化,構(gòu)造同底數(shù)的對(duì)數(shù)或指數(shù)式.(2)逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),將同底數(shù)對(duì)數(shù)的和、差、倍化簡(jiǎn).(3)當(dāng)對(duì)數(shù)的底數(shù)不同但真數(shù)相同時(shí),可以取倒數(shù),將其化為同底數(shù)的對(duì)數(shù)再進(jìn)行運(yùn)算.(4)運(yùn)用換底公式,轉(zhuǎn)化對(duì)數(shù)的底數(shù),再進(jìn)行化簡(jiǎn).對(duì)點(diǎn)練1深度學(xué)習(xí)是人工智能的一種具有代表性的實(shí)現(xiàn)方法,它是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點(diǎn)的.在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中,指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為

,其中L表示每一輪優(yōu)化時(shí)使用的學(xué)習(xí)率,L0表示初始學(xué)習(xí)率,D表示衰減系數(shù),G表示訓(xùn)練迭代輪數(shù),G0表示衰減速度.已知某個(gè)指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)習(xí)率為0.5,衰減速度為22,且當(dāng)訓(xùn)練迭代輪數(shù)為22時(shí),學(xué)習(xí)率衰減為0.45,則學(xué)習(xí)率衰減到0.05以下(不含0.05)所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為(

)(參考數(shù)據(jù):lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)A.11 B.22

C.227

D.481D突破點(diǎn)二基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)[例2-1]當(dāng)0<a<1時(shí),在同一平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)y=a-x+1與y=-loga(x-1)的圖象大致是(

)B解析

由于0<a<1,所以y=a-x=在R上單調(diào)遞增,且其圖象過(guò)點(diǎn)(0,1),將其圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,得y=a-x+1的圖象;y=-logax在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,且其圖象過(guò)點(diǎn)(1,0),將其圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,得y=-loga(x-1)的圖象,故選B.[例2-2](多選題)已知函數(shù)f(x)=log2(1+4x)-x,則下列說(shuō)法正確的是(

)A.函數(shù)f(x)是偶函數(shù)B.函數(shù)f(x)是奇函數(shù)C.函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0]內(nèi)單調(diào)遞增D.函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇1,+∞)AD則f(-x)=log2(2-x+2x)=f(x),所以f(x)是偶函數(shù),因此A選項(xiàng)正確,B選項(xiàng)錯(cuò)誤;令g(x)=2x+2-x,則g'(x)=2xln

2-2-xln

2=ln

2(2x-2-x),當(dāng)x≤0時(shí),g'(x)≤0且不恒為零,所以g(x)在區(qū)間(-∞,0]內(nèi)單調(diào)遞減,于是f(x)=log2g(x)在區(qū)間(-∞,0]內(nèi)單調(diào)遞減.故C選項(xiàng)錯(cuò)誤;技巧點(diǎn)撥基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)應(yīng)用技巧(1)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象分別經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(0,1)和(1,0),在進(jìn)行圖象識(shí)別與判斷中注意對(duì)圖象所經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的分析.(2)與指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的奇偶性,在利用定義判斷時(shí),注意對(duì)f(-x)表達(dá)式的變形與轉(zhuǎn)化,以便得出f(x)與f(-x)的關(guān)系.(3)由指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與其他函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù),其性質(zhì)的研究往往通過(guò)換元法轉(zhuǎn)化為兩個(gè)基本初等函數(shù)的有關(guān)性質(zhì),然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)與相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)之間的關(guān)系進(jìn)行判斷.對(duì)點(diǎn)練2(1)已知

,b=log910,c=lg11,則(

)A.b>c>a B.c>b>aC.b>a>c D.c>a>bAA.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽B.函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)C.函數(shù)f(x)的值域?yàn)?-3,+∞)D.函數(shù)f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)AC解析

對(duì)于選項(xiàng)A,由已知可得函數(shù)定義域?yàn)镽,故A正確;對(duì)于選項(xiàng)B,當(dāng)x<1時(shí),函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x≥1時(shí),函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,但41-3=1>ln

1=0,所以函數(shù)在R上不單調(diào),故B錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)x<1時(shí),-3<f(x)<1,當(dāng)x≥1時(shí),f(x)≥0,所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)?-3,+∞),故C正確;對(duì)于選項(xiàng)D,當(dāng)x<1時(shí),令4x-3=0,解得x=log43,當(dāng)x≥1時(shí),令ln

x=0,解得x=1,故函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),所以D錯(cuò)誤.故選AC.突破點(diǎn)三函數(shù)的零點(diǎn)及其應(yīng)用命題角度1確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)或范圍[例3-1]函數(shù)f(x)=ex+x-2的零點(diǎn)所在區(qū)間為(

)A.(-1,0)

B.(0,1)C.(1,2)

D.(2,3)BB[例3-2]已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),f(x)=x,f(1+x)=f(1-x),令g(x)=f(x)-lgx,則函數(shù)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(

)A.4 B.5C.6 D.7B解析

由f(1+x)=f(1-x)可得,f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱.因?yàn)閒(1+x)=f(1-x),f(x)是定義在R上的奇函數(shù),所以f(2+x)=f(-x)=-f(x),所以f(4+x)=-f(2+x)=f(x),所以函數(shù)f(x)以4為周期,在同一直角坐標(biāo)系中作出f(x),y=lg

x的圖象如下.

g(x)=f(x)-lg

x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即方程f(x)=lg

x的根的個(gè)數(shù),也即f(x)的圖象與y=lg

x圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).因?yàn)閘g

9<1,lg

10=1,所以數(shù)形結(jié)合可得f(x)的圖象與y=lg

x圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為5.方法點(diǎn)撥函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法(1)直接法求零點(diǎn):令f(x)=0,如果能求出解,則方程有幾個(gè)解,函數(shù)f(x)就有幾個(gè)零點(diǎn).(2)零點(diǎn)存在性定理:若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的曲線,且f(a)·f(b)<0,則結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)即可確定函數(shù)f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù):將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差,畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象,看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值,就有幾個(gè)不同的零點(diǎn).(4)形如f(g(x))的函數(shù),可采用換元法,先令g(x)=t,求得當(dāng)f(t)=0時(shí)t的值,然后根據(jù)函數(shù)g(x)的圖象及性質(zhì)確定當(dāng)g(x)=t時(shí)x的值的個(gè)數(shù)即為f(g(x))的零點(diǎn)的個(gè)數(shù),解答時(shí)注意數(shù)形結(jié)合,注意對(duì)函數(shù)f(x)與g(x)圖象及性質(zhì)的分析.對(duì)點(diǎn)練3B圖1圖2(2)已知函數(shù)f(x)=2x+x+1,g(x)=log2x+x+1,h(x)=x3+x+1的零點(diǎn)分別為a,b,c,則(

)A.f(a)>f(b)>f(c)

B.f(b)>f(c)>f(a)C.f(c)>f(a)>f(b)

D.f(b)>f(a)>f(c)B解析

由f(x)=2x+x+1=0,得2x=-x-1,所以a為y=2x與y=-x-1圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo).由g(x)=log2x+x+1,得log2x=-x-1,所以b為y=log2x與y=-x-1圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo).由h(x)=x3+x+1=0,得x3=-x-1,所以c為y=x3與y=-x-1圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo).在同一直角坐標(biāo)系中分別作出y=2x,y=log2x,y=x3和y=-x-1的圖象,由圖象可得a<c<b,因?yàn)閥=2x和y=x+1在R上單調(diào)遞增,所以f(x)=2x+x+1在R上單調(diào)遞增.所以f(b)>f(c)>f(a).故選B.命題角度2根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍D解析

由函數(shù)y=f(x)-a有兩個(gè)零點(diǎn),可得y=f(x)的圖象與直線y=a有兩個(gè)不同的交點(diǎn).方法點(diǎn)睛已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根),求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法(1)直接法.直接求解方程得到方程的根,再通過(guò)解不等式確定參數(shù)的取值范圍.(2)分離參數(shù)法.先將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題進(jìn)行求解.(3)數(shù)形結(jié)合法.先對(duì)解析式變形,進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù),然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象,利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.對(duì)點(diǎn)練4D解析

由題意可知x=0為g(x)的一個(gè)零點(diǎn).函數(shù)g(x)=f(x)-|kx2-2x|(k∈R)恰有4個(gè)零點(diǎn),即函數(shù)f(x)與h(x)=|kx2-2x|(k∈R)的圖象有4個(gè)交點(diǎn),其中(0,0)為一個(gè)交點(diǎn).當(dāng)x>0時(shí),由x3=|kx2-2x|可得x2=|kx-2|;當(dāng)x<0時(shí),由-x=|kx2-2x|可得1=|kx-2|.令φ(x)=

(x)=|kx-2|,即函數(shù)φ(x)與μ(x)的圖象有3個(gè)交點(diǎn).圖1圖2突破點(diǎn)四函數(shù)模型及其應(yīng)用[例4]長(zhǎng)江流域水庫(kù)群的修建和聯(lián)合調(diào)度,極大地降低了洪澇災(zāi)害風(fēng)險(xiǎn),發(fā)揮了重要的防洪減災(zāi)效益.每年洪水來(lái)臨之際,為保證防洪需要、降低防洪風(fēng)險(xiǎn),水利部門需要在原有蓄水量的基礎(chǔ)上聯(lián)合調(diào)度,統(tǒng)一蓄水,用蓄滿指數(shù)(蓄滿指數(shù)=(水庫(kù)實(shí)際蓄水量)÷(水庫(kù)總蓄水量)×100)來(lái)衡量每座水庫(kù)的水位情況.假設(shè)某次聯(lián)合調(diào)度要求如下:a.調(diào)度后每座水庫(kù)的蓄滿指數(shù)仍屬于區(qū)間[0,100];b.調(diào)度后每座水庫(kù)的蓄滿指數(shù)都不能降低;c.調(diào)度前后,各水庫(kù)之間的蓄滿指數(shù)排名不變.②④

方法總結(jié)函數(shù)模型應(yīng)用問(wèn)題的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)正確理解題意,明確問(wèn)題的實(shí)際背景,然后進(jìn)行抽象概括,將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題.(2)合理建立函數(shù)模型,選取恰當(dāng)?shù)淖兞?尋找變量之間的內(nèi)在聯(lián)系,用恰當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式表示變量之間的關(guān)系,然后利用函數(shù)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題,從而解決實(shí)際問(wèn)題.對(duì)點(diǎn)練5中國(guó)茶文化博大精深,茶