2019屆江蘇專(zhuān)用高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第六章數(shù)列6.3等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和講義理蘇教版

§6.3等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)課時(shí)作業(yè)題型分類(lèi)深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)1.等比數(shù)列的定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列___________________________________________

，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的

，通常用字母

表示(q≠0).2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，則它的通項(xiàng)an＝

.3.等比中項(xiàng)如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的

.知識(shí)梳理從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)公比qa1·qn－1等比中項(xiàng)4.等比數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am·

(n，m∈N*).(2)若{an}為等比數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則

.(3)若{an}，{bn}(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則{λan}(λ≠0)，

仍是等比數(shù)列.5.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠0)，其前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝qn－mak·al＝am·an6.等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)公比不為－1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為

.qn等比數(shù)列{an}的單調(diào)性(4)當(dāng)q<0時(shí)，{an}為擺動(dòng)數(shù)列.知識(shí)拓展思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)滿足an＋1＝qan(n∈N*，q為常數(shù))的數(shù)列{an}為等比數(shù)列.(

)(2)G為a，b的等比中項(xiàng)?G2＝ab.(

)(3)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列，bn＝a2n－1＋a2n，則數(shù)列{bn}也是等比數(shù)列.(

)(4)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則數(shù)列{ln

an}是等差數(shù)列.(

)××××考點(diǎn)自測(cè)1.(教材改編)等比數(shù)列{an}中，a2＝2，a5＝

，則公比q＝___.答案解析a2＝a1q＝2，a5＝a1q4＝

，2.(教材改編)下列關(guān)于“等比中項(xiàng)”的說(shuō)法中，正確的是____(填序號(hào)).①任何兩個(gè)實(shí)數(shù)都有等比中項(xiàng)；②兩個(gè)正數(shù)的等比中項(xiàng)必是正數(shù)；③兩個(gè)負(fù)數(shù)的等比中項(xiàng)不存在；④同號(hào)兩數(shù)必存在互為相反數(shù)的兩個(gè)等比中項(xiàng).答案解析④①一正數(shù)、一負(fù)數(shù)沒(méi)有等比中項(xiàng)；②兩個(gè)正數(shù)的等比中項(xiàng)有兩個(gè)，它們一正、一負(fù)；③兩個(gè)負(fù)數(shù)a，b的等比中項(xiàng)為±；所以①、②、③錯(cuò)誤，易知④正確.3.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S2＝3，S4＝15，則S6＝____.根據(jù)題意知，等比數(shù)列{an}的公比不是－1.由等比數(shù)列的性質(zhì)，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63.答案解析634.(教材改編)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝1，S6＝4S3，則a4＝___.由S6＝4S3，答案解析3所以q3＝3(q3＝1不合題意，舍去)，所以a4＝a1·q3＝1×3＝3.5.設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，8a2＋a5＝0，則

＝_____.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，∵8a2＋a5＝0，∴8a1q＋a1q4＝0.∴q3＋8＝0，∴q＝－2，答案解析－11題型分類(lèi)深度剖析題型一等比數(shù)列基本量的運(yùn)算例1

(1)(2015·課標(biāo)全國(guó)Ⅱ)已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝

，a3a5＝4(a4－1)，則a2＝____.由{an}為等比數(shù)列，得a3a5＝

，又a3a5＝4(a4－1)，所以

＝4(a4－1)，解得a4＝2.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則由a4＝a1q3，得2＝

，解得q＝2，所以a2＝a1q＝.答案解析(2)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＋a3＝

，a2＋a4＝

，則

＝______.答案解析2n－1解得q＝

，代入①得a1＝2，等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類(lèi)基本問(wèn)題，數(shù)列中有五個(gè)量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過(guò)列方程(組)可迎刃而解.思維升華跟蹤訓(xùn)練1

(1)設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和.已知a2a4＝1，S3＝7，則S5＝___.答案解析顯然公比q≠1，由題意得(2)(2015·湖南)設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差數(shù)列，則an＝_____.由3S1,2S2，S3成等差數(shù)列知，4S2＝3S1＋S3，可得a3＝3a2，所以公比q＝3，故等比數(shù)列通項(xiàng)an＝a1qn－1＝3n－1.答案解析3n－1題型二等比數(shù)列的判定與證明例2

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)設(shè)bn＝an＋1－2an，證明：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，得a1＋a2＝S2＝4a1＋2.∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.證明由①－②，得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)，∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1(n≥2)，故{bn}是首項(xiàng)b1＝3，公比為2的等比數(shù)列.∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2).(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，解答故an＝(3n－1)·2n－2.引申探究若將例2中“Sn＋1＝4an＋2”改為“Sn＋1＝2Sn＋(n＋1)”，其他不變，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.由已知得n≥2時(shí)，Sn＝2Sn－1＋n.∴Sn＋1－Sn＝2Sn－2Sn－1＋1，∴an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，n≥2， (*)又a1＝1，S2＝a1＋a2＝2a1＋2，即a2＋1＝2(a1＋1)，∴當(dāng)n＝1時(shí)(*)式也成立，故{an＋1}是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，∴an＋1＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n－1.解答(1)證明一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項(xiàng)法，其他方法只用于填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可.(2)利用遞推關(guān)系時(shí)要注意對(duì)n＝1時(shí)的情況進(jìn)行驗(yàn)證.思維升華跟蹤訓(xùn)練2已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝3an＋1.(1)證明：{an＋}是等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式；證明由an＋1＝3an＋1，得an＋1＋

＝3(an＋).所以{an＋}是首項(xiàng)為

，公比為3的等比數(shù)列.證明因?yàn)楫?dāng)n≥1時(shí)，3n－1≥2×3n－1，題型三等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用例3

(1)若等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a10a11＋a9a12＝2e5，則ln

a1＋ln

a2＋…＋ln

a20＝____.因?yàn)閍10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，所以a10a11＝e5.所以ln

a1＋ln

a2＋…＋ln

a20＝ln(a1a2…a20)＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]＝ln(a10a11)10＝10ln(a10a11)＝10lne5＝50lne＝50.答案解析50(2)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若

，則

＝____.答案解析方法一∵S6∶S3＝1∶2，∴{an}的公比q≠1.方法二∵{an}是等比數(shù)列，且

，∴公比q≠－1，∴S3，S6－S3，S9－S6也成等比數(shù)列，即(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)，等比數(shù)列常見(jiàn)性質(zhì)的應(yīng)用等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用可以分為三類(lèi)：(1)通項(xiàng)公式的變形.(2)等比中項(xiàng)的變形.(3)前n項(xiàng)和公式的變形.根據(jù)題目條件，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問(wèn)題的突破口.思維升華跟蹤訓(xùn)練3

(1)已知在等比數(shù)列{an}中，a1a4＝10，則數(shù)列{lg

an}的前4項(xiàng)和等于____.前4項(xiàng)和S4＝lg

a1＋lg

a2＋lg

a3＋lg

a4＝lg(a1a2a3a4)，又∵等比數(shù)列{an}中，a2a3＝a1a4＝10，∴S4＝lg100＝2.答案解析2(2)(2016·南通一調(diào))設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S2＝3，S4＝15，則S6的值為_(kāi)____.答案解析方法一由等比數(shù)列的性質(zhì)得，q2＝

＝4，所以q＝±2.方法二由S2，S4－S2，S6－S4成等比數(shù)列可得(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，所以S6＝63.63典例

(14分)已知首項(xiàng)為

的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，且－2S2，S3，4S4成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(1)利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出等比數(shù)列的公比，寫(xiě)出通項(xiàng)公式.(2)求出前n項(xiàng)和，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明.分類(lèi)討論思想在等比數(shù)列中的應(yīng)用思想與方法系列13規(guī)范解答思想方法指導(dǎo)(1)解

設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因?yàn)椋?S2，S3,4S4成等差數(shù)列，所以S3＋2S2＝4S4－S3，即S4－S3＝S2－S4，可得2a4＝－a3，于是q＝＝. [2分]又a1＝

，所以等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為(2)證明

由(1)知，Sn＝

，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn＋

隨n的增大而減小，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn＋

隨n的增大而減小，課時(shí)作業(yè)1.(教材改編){an}，{bn}都是等比數(shù)列，那么下列正確的序號(hào)是______.①{an＋bn}，{an·bn}都一定是等比數(shù)列；②{an＋bn}一定是等比數(shù)列，但{an·bn}不一定是等比數(shù)列；③{an＋bn}不一定是等比數(shù)列，但{an·bn}一定是等比數(shù)列；④{an＋bn}，{an·bn}都不一定是等比數(shù)列.{an＋bn}不一定是等比數(shù)列，如an＝1，bn＝－1，因?yàn)閍n＋bn＝0，所以{an＋bn}不是等比數(shù)列.設(shè){an}，{bn}的公比分別為p，q，答案解析③所以{an·bn}一定是等比數(shù)列.12345678910111213142.(2016·江蘇東海中學(xué)月考)在由正數(shù)組成的等比數(shù)列{an}中，若a4a5a6＝3，log3a1＋log3a2＋log3a8＋log3a9的值為_(kāi)__.答案解析∴l(xiāng)og3a1＋log3a2＋log3a8＋log3a9＝log3a1a2a8a912345678910111213143.在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，則n＝_____.答案解析14設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，可得q9＝3，an－1anan＋1＝

＝324，因此q3n－6＝81＝34＝q36，所以n＝14.1234567891011121314*4.(2015·福建改編)若a，b是函數(shù)f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且a，b，－2這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則p＋q的值等于_____.由題意知：a＋b＝p，ab＝q，∵p＞0，q＞0，∴a＞0，b＞0.在a，b，－2這三個(gè)數(shù)的6種排序中，成等差數(shù)列的情況有a，b，－2；b，a，－2；－2，a，b；－2，b，a；成等比數(shù)列的情況有a，－2，b；b，－2，a.答案解析∴p＝5，q＝4，∴p＋q＝9.912345678910111213145.已知數(shù)列{an}滿足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，則

(a5＋a7＋a9)的值是____.答案解析由log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，得log3an＋1－log3an＝1，即

＝1，解得

＝3，所以數(shù)列{an}是公比為3的等比數(shù)列.因?yàn)閍5＋a7＋a9＝(a2＋a4＋a6)q3，所以a5＋a7＋a9＝9×33＝35.所以－512345678910111213146.(2017·鹽城檢測(cè))在由正數(shù)組成的等比數(shù)列{an}中，若a3a4a5＝3π，則sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)的值為_(kāi)____.答案解析log3a1＋log3a2＋…＋log3a7＝log3(a1a2…a7)所以sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)＝.12345678910111213147.設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知3S3＝a4－2，3S2＝a3－2，則公比q＝_____.答案解析4由①－②，得3a3＝a4－a3，即4a3＝a4，12345678910111213148.(2016·南京調(diào)研)設(shè)公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S3＝

，且S1，S2，S4成等比數(shù)列，則a10＝_____.答案解析設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，因?yàn)镾1，S2，S4成等比數(shù)列，所以

＝S1S4，從而(2a1＋d)2＝a1(4a1＋6d)，整理得2a1d－d2＝0，因?yàn)閐≠0，所以d＝2a1，又因?yàn)镾3＝

，所以3a1＋3d＝(a1＋d)2，將d＝2a1代入上式得3a1＋6a1＝(a1＋2a1)2，即9a1＝

，解之得a1＝1(a1＝0舍)，從而d＝2，所以a10＝1＋9×2＝19.191234567891011121314*9.已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}滿足a2015＝2a2013＋a2014，若存在兩項(xiàng)am，an，使得

＝4a1，則

的最小值為_(kāi)___.答案解析設(shè){an}的公比為q(q>0)，由正項(xiàng)等比數(shù)列{an}滿足a2015＝2a2013＋a2014，可得a2013·q2＝2a2013＋a2013·q，∴q2－q－2＝0，∵q>0，∴q＝2.123456789101112131410.(2016·蘇錫常鎮(zhèn)一調(diào))設(shè)數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差不為零的等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若S1，S2，S4成等比數(shù)列，則數(shù)列{an}的公差為_(kāi)___.設(shè)公差為d，其中d≠0，則S1，S2，S4分別為1,2＋d,4＋6d.由S1，S2，S4成等比數(shù)列，得(2＋d)2＝4＋6d，即d2＝2d.因?yàn)閐≠0，所以d＝2.答案解析21234567891011121314*11.(2016·蘇北四市期末)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且滿足anSn＋1－an＋1Sn＋an－an＋1＝λanan＋1(λ≠0，n∈N*).(1)若a1，a2，a3成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)λ的值；解答令n＝1，得a2＝.令n＝2，得a2S3－a3S2＋a2－a3＝λa2a3，因?yàn)棣恕?，所以λ＝1.1234567891011121314(2)若λ＝

，求Sn.解答1234567891011121314當(dāng)λ＝

時(shí)，anSn＋1－an＋1Sn＋an－an＋1＝

anan＋1，所以數(shù)列{}是以2為首項(xiàng)，

為公差的等差數(shù)列，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＋1＝(＋1)an－1，

②1234567891011121314123456789101112131412.已知{an}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，Sn表示{an}的前n項(xiàng)和.(1)求an及Sn；因?yàn)閧an}是首項(xiàng)a1＝1，公差d＝2的等差數(shù)列，所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.故Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)解答1234567891011121314(2)設(shè){bn}是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，公比q滿足q2－(a4＋1)q＋S4＝0，求{bn}的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和Tn.由(1)得a4＝7，S4＝16.因?yàn)閝2－(a4＋1)q＋S4＝