高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.1.2橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)備課北師大版選修

§1.2橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

做一個(gè)橢圓的人，太圓會(huì)讓人厭惡，太方容易傷人。而橢圓恰到好處。

做一個(gè)橢圓的人，向前滾動(dòng)得既不太快也不太慢，走得太快容易摔跤，走得太慢容易失敗。

做一個(gè)橢圓的人，爭(zhēng)取當(dāng)一個(gè)離心率e為黃金分割比的優(yōu)美橢圓，太趾高氣昂容易招怨，太默默無(wú)聞容易被忽略。

做一個(gè)橢圓的人，其實(shí)就是追求一種中庸之道，水滿則溢，月盈則虧。

做一個(gè)橢圓的人，也是保持一種適度之美，凡事不可太過(guò)。中庸即為美?；仡櫯f知（1）橢圓的定義是什么？

平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的集合叫作橢圓。兩個(gè)定點(diǎn)叫作橢圓的焦點(diǎn)。即

（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？

當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（3）橢圓中，的關(guān)系是什么？

獨(dú)立思考，合作交流，探究新知和它的圖像的研究，歸納橢圓的性質(zhì)。通過(guò)對(duì)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程思考1如何根據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)判斷兩點(diǎn)是否關(guān)于

軸，軸，原點(diǎn)對(duì)稱？探究一橢圓的對(duì)稱性提示：若兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，則兩點(diǎn)關(guān)于

軸對(duì)稱；若兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，則兩點(diǎn)關(guān)于

軸對(duì)稱；若兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，則兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。yxOP（x，y）P3（-x，-y）P1（-x，y）P2（x，-y）結(jié)論：橢圓關(guān)于

軸、

軸、原點(diǎn)對(duì)稱。從圖形上分析:從方程上分析：（1）把

換成方程不變，圖像關(guān)于

軸對(duì)稱；（2）把

換成方程不變，圖像關(guān)于

軸對(duì)稱；（3）把

換成，同時(shí)把換成方程不變，圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱。對(duì)稱性橢圓是以軸、軸為對(duì)稱軸的_______圖形，且是以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的_________圖形，這個(gè)對(duì)稱中心稱為橢圓的中心。軸對(duì)稱中心對(duì)稱思考2橢圓與對(duì)稱軸有幾個(gè)交點(diǎn)，如何求出其交點(diǎn)坐標(biāo)？探究二橢圓的頂點(diǎn)提示：有四個(gè)交點(diǎn)；設(shè)

，可求得與

軸的交點(diǎn)；設(shè)，可求得與

軸的交點(diǎn)。

oyB2B1A1A2F1F2cab令得

說(shuō)明橢圓與

軸的交點(diǎn)。令

得說(shuō)明橢圓與

軸的交點(diǎn)。頂點(diǎn)坐標(biāo)__________________________________長(zhǎng)軸:________短軸：________短半軸長(zhǎng)長(zhǎng)半軸長(zhǎng)線段A1A2線段B1B2x思考3：若要畫一個(gè)橢圓的草圖，需先確定哪些量才能畫出橢圓的草圖？提示：首先確定橢圓的范圍，可利用橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，及焦點(diǎn)位置用弧線畫出橢圓的草圖。思考4點(diǎn)

是橢圓上的任意一點(diǎn)，那么能取任意實(shí)數(shù)嗎？為什么？提示：不可以取任意實(shí)數(shù)。如圖，橢圓上的點(diǎn)都位于圖中的矩形框及其內(nèi)部。yB1

oB2A1A2F1F2探究三橢圓的范圍橢圓上所有的點(diǎn)都位于直線圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足yB1

oB2A1A2F1F2探究二橢圓的范圍思考5觀察下圖思考橢圓的“扁的程度”與哪些量有關(guān)？能不能用一個(gè)量來(lái)表示其“扁的程度”？提示：由圖形可知，橢圓中，

的大小可反映橢圓的“扁的程度”；可以用離心率來(lái)表示。Oxy探究四橢圓的離心率離心率：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)度的比，用

表示，即（1）

越接近1，

就越接近

，從而

就越小,橢圓就越扁；對(duì)離心率的兩點(diǎn)說(shuō)明1.范圍：2.離心率對(duì)橢圓形狀的影響（2）

越接近0，

就越接近0，從而

就越大,橢圓就越圓；（3）

與

的關(guān)系：【提升總結(jié)】橢圓的幾何性質(zhì)焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在

軸上焦點(diǎn)在

軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)稱性對(duì)稱軸_________，對(duì)稱中心_______軸和

軸(0，0)焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在

軸上焦點(diǎn)在

軸上頂點(diǎn)范圍

軸長(zhǎng)長(zhǎng)軸長(zhǎng)短軸長(zhǎng)焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在

軸上焦點(diǎn)在

軸上焦點(diǎn)焦距離心率

幾何意義長(zhǎng)半軸長(zhǎng)：短半軸長(zhǎng)：半焦距：例1求橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)及焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo)。熟悉新知，初步應(yīng)用答案：橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，短軸長(zhǎng)為2；焦點(diǎn)坐標(biāo)為頂點(diǎn)坐標(biāo)為解決此類問(wèn)題的方法是先將所給方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，然后根據(jù)方程判斷出橢圓的焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上，再利用之間的關(guān)系和定義，就可以得到橢圓相應(yīng)的幾何性質(zhì)。反思與感悟例2求滿足下列各條件的的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

（1）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，其離心率為焦距為8；

鞏固深化，掌握理解答案：（1）（2）已知橢圓的離心率為短軸長(zhǎng)為答案：（2）或者在求橢圓方程時(shí)，要注意根據(jù)題目條件判斷焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸，從而確定方程的形式；若不能確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸，則應(yīng)進(jìn)行討論，然后列方程（組）確定反思與感悟課堂小結(jié)基礎(chǔ)知識(shí)：橢圓的幾個(gè)簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)（對(duì)稱性、頂點(diǎn)坐標(biāo)、范圍、離心率等）?；炯寄芎头椒ǎ豪脵E圓的方程研究它的性質(zhì)。根據(jù)幾何條件求出橢圓方程（先定焦點(diǎn)位置，再定量的大?。?。基本思想：類比、數(shù)形結(jié)合等。

做一個(gè)橢圓的人，太圓會(huì)讓人厭惡，太方容易傷人。而橢圓恰到好處。

做一個(gè)橢圓的人，向前滾動(dòng)得既不太快也不太慢，走得太快容易摔跤，走得太慢容易失敗。

做一個(gè)橢圓的人，爭(zhēng)取當(dāng)一個(gè)離心率e為黃金分割比的優(yōu)美橢圓，太趾高氣昂容易招怨，太默默無(wú)聞容易被忽略。

做一個(gè)橢圓的人，其實(shí)就是追求一種中庸之道，水滿則溢，月盈則虧。

做一個(gè)橢圓的人，也是保持一種適度之美，凡事不可太過(guò)。中庸即為美。必做題橢圓過(guò)點(diǎn)離心率

求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。選做題在平面直角坐標(biāo)系中，是橢圓

的右焦點(diǎn)，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且求橢圓的離心率。

思考題我國(guó)第一顆人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地心（地球的中