高考數(shù)學(xué)模擬大題規(guī)范訓(xùn)練(17)含答案及解析

高三數(shù)學(xué)大題規(guī)范訓(xùn)練（17）15.如圖，已知多面體均垂直于平面．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．16.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿足，令，求證：．17.已知拋物線，直線垂直于軸，與交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)且平行于軸直線與直線交于點(diǎn)，記動點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）點(diǎn)在直線上運(yùn)動，過點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，在平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)，使得？若存在，請求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．18.現(xiàn)有甲、乙、丙三個(gè)工廠生產(chǎn)某種相同的產(chǎn)品進(jìn)入市場，已知甲、乙、丙三個(gè)工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品能達(dá)到優(yōu)秀等級的概率分別為，，，現(xiàn)有某質(zhì)檢部門，對該產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測，首先從三個(gè)工廠中等可能地隨機(jī)選擇一個(gè)工廠，然后從該工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品抽取一件進(jìn)行檢測.（1）若該質(zhì)檢部門的一次抽檢中，測得的結(jié)果是該件產(chǎn)品為優(yōu)秀等級，求該件產(chǎn)品是從乙工廠抽取的概率；（2）因?yàn)槿齻€(gè)工廠的規(guī)模大小不同，假設(shè)三個(gè)工廠進(jìn)入市場的產(chǎn)品的比例為2∶1∶1，若該質(zhì)檢部門從已經(jīng)進(jìn)入市場的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品進(jìn)行檢測，求能達(dá)到優(yōu)秀等級的產(chǎn)品的件數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.19.數(shù)學(xué)歸納法是一種數(shù)學(xué)證明方法，通常被用于證明某個(gè)給定命題在整個(gè)（或者局部）自然數(shù)范圍內(nèi)成立．證明分為下面兩個(gè)步驟：1．證明當(dāng)（）時(shí)命題成立；2．假設(shè)（，且）時(shí)命題成立，推導(dǎo)出在時(shí)命題也成立．用模取余運(yùn)算：表示“整數(shù)除以整數(shù)，所得余數(shù)為整數(shù)”．用帶余除法可表示為：被除數(shù)＝除數(shù)×商＋余數(shù)，即，整數(shù)是商．如，則；再如，則．當(dāng)時(shí)，則稱整除．現(xiàn)從序號分別為，，，，…，的個(gè)人中選出一名幸運(yùn)者，為了增加趣味性，特制定一個(gè)遴選規(guī)則：大家按序號圍成一個(gè)圓環(huán)，然后依次報(bào)數(shù)，每報(bào)到（）時(shí)，此人退出圓環(huán)；直到最后剩1個(gè)人停止，此人即為幸運(yùn)者，該幸運(yùn)者的序號下標(biāo)記為．如表示當(dāng)只有1個(gè)人時(shí)幸運(yùn)者就是；表示當(dāng)有6個(gè)人而時(shí)幸運(yùn)者是；表示當(dāng)有6個(gè)人而時(shí)幸運(yùn)者是．（1）求；（2）當(dāng)時(shí)，，求；當(dāng)時(shí)，解釋上述遞推關(guān)系式的實(shí)際意義；（3）由（2）推測當(dāng)（）時(shí)，的結(jié)果，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

高三數(shù)學(xué)大題規(guī)范訓(xùn)練（17）15.如圖，已知多面體均垂直于平面．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）證明見解答；（Ⅱ）.【解答】【分析】（Ⅰ）方法一：通過計(jì)算，根據(jù)勾股定理得,再根據(jù)線面垂直的判定定理得結(jié)論；（Ⅱ）方法一：找出直線AC1與平面ABB1所成的角，再在直角三角形中求解即可.【詳解】（Ⅰ）［方法一］：幾何法由得，所以，即有.由，得，由得，由，得，所以，即有，又，因此平面.［方法二］：向量法如圖，以AC的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以射線OB，OC為x，y軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.由題意知各點(diǎn)坐標(biāo)如下：因此,由得；由得，所以平面.（Ⅱ）［方法一］：定義法如圖，過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，連結(jié).由平面得平面平面，由得平面，所以是與平面所成的角.由得，所以，故.因此，直線與平面所成的角的正弦值是.［方法二］：向量法設(shè)直線與平面所成的角為.由(I)可知,設(shè)平面的法向量.由即，可取，所以.因此，直線與平面所成的角的正弦值是.［方法三］：【最優(yōu)解】定義法+等積法設(shè)直線與平面所成角為，點(diǎn)到平面距離為d（下同）．因?yàn)槠矫?，所以點(diǎn)C到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離．由條件易得，點(diǎn)C到平面的距離等于點(diǎn)C到直線的距離，而點(diǎn)C到直線的距離為，所以．故．［方法四］：定義法+等積法設(shè)直線與平面所成的角為，由條件易得，所以，因此．于是得，易得．由得，解得．故．［方法五］：三正弦定理的應(yīng)用設(shè)直線與平面所成的角為，易知二面角的平面角為，易得，所以由三正弦定理得．［方法六］：三余弦定理的應(yīng)用設(shè)直線與平面所成的角為，如圖2，過點(diǎn)C作，垂足為G，易得平面，所以可看作平面的一個(gè)法向量．結(jié)合三余弦定理得．［方法七］：轉(zhuǎn)化法＋定義法如圖3，延長線段至E，使得．聯(lián)結(jié)，易得，所以與平面所成角等于直線與平面所成角．過點(diǎn)C作，垂足為G，聯(lián)結(jié)，易得平面，因此為在平面上的射影，所以為直線與平面所成的角．易得，，因此．［方法八］：定義法＋等積法如圖4，延長交于點(diǎn)E，易知，又，所以，故面．設(shè)點(diǎn)到平面的距離為h，由得，解得．又，設(shè)直線與平面所成角為，所以．【整體點(diǎn)評】（Ⅰ）方法一：通過線面垂直的判定定理證出，是該題的通性通法；方法二：通過建系，根據(jù)數(shù)量積為零，證出；（Ⅱ）方法一：根據(jù)線面角的定義以及幾何法求線面角的步驟，“一作二證三計(jì)算”解出；方法二：根據(jù)線面角的向量公式求出；方法三：根據(jù)線面角的定義以及計(jì)算公式，由等積法求出點(diǎn)面距，即可求出，該法是本題的最優(yōu)解；方法四：基本解題思想同方法三，只是求點(diǎn)面距的方式不同；方法五：直接利用三正弦定理求出；方法六：直接利用三余弦定理求出；方法七：通過直線平移，利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和線面角的定義解出；方法八：通過等價(jià)轉(zhuǎn)化以及線面角的定義，計(jì)算公式，由等積法求出點(diǎn)面距，即求出．16.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿足，令，求證：．【答案】（1）（2）證明見解答【解答】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為，公差為，由題意可得，解方程求出，即可求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，由累乘法可求出bn的通項(xiàng)公式，再由裂項(xiàng)相消法求解即可.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為，公差為．由，得，解得：，所以．【小問2詳解】由（1）知，，即，，，……，，利用累乘法可得：，也符合上式，所以．17.已知拋物線，直線垂直于軸，與交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)且平行于軸的直線與直線交于點(diǎn)，記動點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）點(diǎn)在直線上運(yùn)動，過點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，在平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)，使得？若存在，請求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）存在定點(diǎn)【解答】【分析】（1）由相關(guān)點(diǎn)代入法求軌跡方程即可；（2）先由特殊位置確定定點(diǎn)在軸上，設(shè)定點(diǎn)，由相切求出切點(diǎn)滿足的關(guān)系式，再由垂直的坐標(biāo)條件求解.【小問1詳解】設(shè)，則，由題意線垂直于軸，與交于兩點(diǎn)，知，過點(diǎn)且平行于軸的直線方程為：，直線的方程為：，令，得，即，由得，因?yàn)樵趻佄锞€上，即，則，化簡得，由題意知不重合，故，所以曲線的方程為【小問2詳解】由（1）知曲線的方程為，點(diǎn)在直線上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)在特殊位置時(shí)，兩個(gè)切點(diǎn)關(guān)于軸對稱，故要使得，則點(diǎn)在軸上．故設(shè)，曲線的方程為，求導(dǎo)得，所以切線的斜率，直線的方程為，又點(diǎn)在直線上，所以，整理得，同理可得，故和是一元二次方程的根，由韋達(dá)定理得，，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以存在定點(diǎn)，使得恒成立．18.現(xiàn)有甲、乙、丙三個(gè)工廠生產(chǎn)某種相同的產(chǎn)品進(jìn)入市場，已知甲、乙、丙三個(gè)工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品能達(dá)到優(yōu)秀等級的概率分別為，，，現(xiàn)有某質(zhì)檢部門，對該產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測，首先從三個(gè)工廠中等可能地隨機(jī)選擇一個(gè)工廠，然后從該工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品抽取一件進(jìn)行檢測.（1）若該質(zhì)檢部門的一次抽檢中，測得的結(jié)果是該件產(chǎn)品為優(yōu)秀等級，求該件產(chǎn)品是從乙工廠抽取的概率；（2）因?yàn)槿齻€(gè)工廠的規(guī)模大小不同，假設(shè)三個(gè)工廠進(jìn)入市場的產(chǎn)品的比例為2∶1∶1，若該質(zhì)檢部門從已經(jīng)進(jìn)入市場的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品進(jìn)行檢測，求能達(dá)到優(yōu)秀等級的產(chǎn)品的件數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）（2）分布列見解答；【解答】【分析】（1）根據(jù)題意，利用全概率公式與貝葉斯公式即可得解；（2）利用全概率公式求得從市場中任抽一件產(chǎn)品達(dá)到優(yōu)秀等級的概率，再利用二項(xiàng)分布的概率公式與數(shù)學(xué)期望公式即可得解.【小問1詳解】設(shè)“抽的產(chǎn)品是優(yōu)秀等級”，“產(chǎn)品是從甲工廠生產(chǎn)”，“產(chǎn)品是從乙工廠生產(chǎn)”，“產(chǎn)品是從丙工廠生產(chǎn)”，則，，則，則所以該件產(chǎn)品是從乙工廠抽取的概率為.【小問2詳解】依題意，設(shè)從市場中任抽一件產(chǎn)品達(dá)到優(yōu)秀等級的概率為，則，由題意可知，則，則的分布列為：012345678910故19.數(shù)學(xué)歸納法是一種數(shù)學(xué)證明方法，通常被用于證明某個(gè)給定命題在整個(gè)（或者局部）自然數(shù)范圍內(nèi)成立．證明分為下面兩個(gè)步驟：1．證明當(dāng)（）時(shí)命題成立；2．假設(shè)（，且）時(shí)命題成立，推導(dǎo)出在時(shí)命題也成立．用模取余運(yùn)算：表示“整數(shù)除以整數(shù)，所得余數(shù)為整數(shù)”．用帶余除法可表示為：被除數(shù)＝除數(shù)×商＋余數(shù)，即，整數(shù)是商．如，則；再如，則．當(dāng)時(shí)，則稱整除．現(xiàn)從序號分別為，，，，…，的個(gè)人中選出一名幸運(yùn)者，為了增加趣味性，特制定一個(gè)遴選規(guī)則：大家按序號圍成一個(gè)圓環(huán)，然后依次報(bào)數(shù)，每報(bào)到（）時(shí)，此人退出圓環(huán)；直到最后剩1個(gè)人停止，此人即為幸運(yùn)者，該幸運(yùn)者的序號下標(biāo)記為．如表示當(dāng)只有1個(gè)人時(shí)幸運(yùn)者就是；表示當(dāng)有6個(gè)人而時(shí)幸運(yùn)者是；表示當(dāng)有6個(gè)人而時(shí)幸運(yùn)者是．（1）求；（2）當(dāng)時(shí)，，求；當(dāng)時(shí)，解釋上述遞推關(guān)系式的實(shí)際意義；（3）由（2）推測當(dāng)（）時(shí)，的結(jié)果，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．【答案】（1）（2），答案見解答（3），證明見解答【解答】【分析】（1）用模取余法可求結(jié)論；（2）由，，可求；從個(gè)人中選出一個(gè)幸運(yùn)者時(shí)，幸運(yùn)者的序號下標(biāo)為，從個(gè)人中選出一個(gè)幸運(yùn)者時(shí)，幸運(yùn)者的序號下標(biāo)為，后者的圓環(huán)可以認(rèn)為是前者的圓環(huán)退出一人而形成的，可推得結(jié)論；（3）取時(shí)，分別求得，，，；可得當(dāng)（）時(shí)，，進(jìn)而利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．【小問1詳解】因?yàn)?，所以．【小?詳解】因?yàn)?，且，所以，故．?dāng)時(shí)，遞推關(guān)系式的實(shí)際意義：當(dāng)從個(gè)人中選出一個(gè)幸運(yùn)者時(shí)，幸運(yùn)者的序號下標(biāo)為，而從個(gè)人中選出一個(gè)幸運(yùn)者時(shí)，幸運(yùn)者的序號下標(biāo)為．如果把二者關(guān)聯(lián)起來，后者的圓環(huán)可以認(rèn)為是前者的圓環(huán)退出一人而形成的，當(dāng)然還要重新排序，由于退出來的是，則原環(huán)的就成了新環(huán)的，也就是說原環(huán)序號下標(biāo)要比新環(huán)的大，原環(huán)的就成了新環(huán)的．需要注意，新環(huán)序號后面一直到，如果下標(biāo)加上，就會超過．如新環(huán)序號對應(yīng)的是原環(huán)中的，…，新環(huán)序號對應(yīng)的是原環(huán)中的．也就是說，得用新環(huán)的序號下標(biāo)加上再減去，才能在原環(huán)中找到對應(yīng)的序號，這就需要用模取余，即．【小問3詳解】由題設(shè)可知，由（2）知：；；；