湖北省“新高考聯(lián)考協(xié)作體”2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷 含答案

高考資源網(wǎng)(）您身邊的高考專家（AI教學(xué)）訂購熱線：188110597022024-2025學(xué)年湖北省“新高考聯(lián)考協(xié)作體”高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題?一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知直線，直線，則直線的傾斜角為

A. B. C. D.2.雙曲線的漸近線方程為，則

A. B. C. D.23.已知數(shù)列滿足：，，則所有可能的取值的集合為

A. B. C. D.4.如圖，在正四面體中，過點(diǎn)A作平面PBC的垂線，垂足為點(diǎn)H，點(diǎn)M滿足，則

A. B.

C. D.5.已知事件A，B滿足，，則

A.若A與B相互獨(dú)立，則

B.若A與B互斥，

C.因?yàn)椋訟與B相互對立

D.若，則6.已知圓上的所有點(diǎn)都在第一象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

A. B. C. D.7.已知是等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為，且滿足，，則等于

A. B. C. D.8.已知雙曲線與直線相交于A，B兩點(diǎn)，其中AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則該雙曲線的離心率為

A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9.記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則

A.的前10項(xiàng)和為50 B.是遞增數(shù)列

C.當(dāng)時(shí)，取得最小值 D.若，則n的最小值為1110.如圖，在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為棱，的中點(diǎn)，則

A.直線BE與CD所成角的余弦值為 B.平面

C.點(diǎn)F到直線BE的距離為1 D.在上的投影向量為11.已知直線l經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F，且與C交于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作直線的垂線，垂足依次為，，若AB長的最小值為4，則下列結(jié)論正確的有(

)A.

B.若AB的傾斜角為，點(diǎn)A在第一象限，則C.若，則AB的斜率為1

D.若點(diǎn)M，N在C上，且，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.橢圓上的點(diǎn)P到直線的最短距離為

.13.已知圓，圓，其中a，，若兩圓外切，則的取值范圍為

.14.在長方體如圖中，已知，，上底面繞著其中心旋轉(zhuǎn)得到一個十面體如圖，則該十面體的外接球的體積為

.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.本小題13分拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，將兩次得到的點(diǎn)數(shù)分別記為a，求是奇數(shù)的概率;求直線與雙曲線有公共點(diǎn)的概率.16.本小題15分已知圓關(guān)于直線的對稱圓的圓心為D，直線l過點(diǎn)若直線l與圓C相切，求直線l的方程;若直線l與圓D交于A，B兩點(diǎn)，，求直線l的方程.17.本小題15分

如圖，在五棱錐中，平面平面AED，，

證明：平面AED；若四邊形ABCD為正方形，且，，N為邊BC的中點(diǎn)，，當(dāng)取何值時(shí)，直線DN與平面SAD所成的角最小.18.本小題17分已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且求數(shù)列的通項(xiàng)公式.設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和在與之間插入n個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在3項(xiàng)，，其中m，k，p成等差數(shù)列成等比數(shù)列?若存在，求出這樣的3項(xiàng);若不存在，請說明理由.19.本小題17分已知點(diǎn)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換的作用下，點(diǎn)對應(yīng)到點(diǎn)，稱為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換.如：在變換的作用下得到已知曲線在的作用下得到曲線，求的方程;已知橢圓在變換下保持位置關(guān)系不變性，即點(diǎn)H在曲線上，在變換下點(diǎn)也在曲線上;直線l與相切，在變換下直線與曲線也相切.已知點(diǎn)是上一動點(diǎn)，直線l是在H處的切線.用上述結(jié)論求l的方程；已知直線與曲線在第四象限的交點(diǎn)為，在處的切線被所截得的弦長記為，求答案和解析1.【答案】A

【解析】【分析】本題考查傾斜角與斜率的關(guān)系，兩條直線垂直的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

由兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出直線的斜率，再由，求出，利用傾斜角與斜率的關(guān)系可得.【解答】

解：，

的斜率，

又，的斜率，

因?yàn)橹本€傾斜角的范圍為

的傾斜角為

故選：2.【答案】D

【解析】【分析】本題考查雙曲線的性質(zhì)及幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線方程得出雙曲線的漸近線為，即可求得參數(shù).【解答】

解：因?yàn)殡p曲線方程為，所以，，

所以漸近線方程為，即得，所以故選：3.【答案】C

【解析】【分析】本題主要考查數(shù)列的遞推關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

由遞推關(guān)系式逐項(xiàng)求解得出所有可能的取值.【解答】

解：由，，

則

數(shù)列為2，1，4三數(shù)的循環(huán)，

故所有可能的取值的集合為

故選：4.【答案】B

【解析】【分析】本題考查空間向量的加減運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)已知條件，結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算，即可求解.【解答】

解：延長PH與BC交于點(diǎn)N，則點(diǎn)N為BC中點(diǎn)，且，

故選：5.【答案】D

【解析】【分析】本題考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，概率的基本性質(zhì)，屬于中檔題.

根據(jù)題意，由對立事件的定義得，由計(jì)算即可判斷A，由互斥事件的定義分析B，舉反例判斷C，根據(jù)事件的包含關(guān)系分析【解答】

解：對于A，由，得，又，A與B相互獨(dú)立，

則，故A錯誤；對于B，若A與B互斥，則，故B錯誤；對于C，假若事件A為“從標(biāo)號為的10張卡片中任取一張卡片除標(biāo)號外無差別，標(biāo)號為1”，事件B為“從標(biāo)號為的10張卡片中任取一張卡片除標(biāo)號外無差別，標(biāo)號不大于9”，則，而事件A，B可能同時(shí)發(fā)生，A與B不是對立事件，故C錯誤；

對于D，

若，則，故D正確.

故選：6.【答案】A

【解析】【分析】本題考查圓的方程中的參數(shù)求解問題，屬于基礎(chǔ)題.

首先將圓的方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，然后結(jié)合題意和圓的性質(zhì)得出參數(shù)不等式進(jìn)行求解即可.【解答】

解：由，

得，

所以圓心坐標(biāo)為，半徑為3，

因?yàn)閳A上所有點(diǎn)都在第一象限，

所以，得

故選：7.【答案】C

【解析】【分析】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的求和公式，屬于中檔題.

首先求出，然后判斷出也為等比數(shù)列，即可求出和.【解答】

解：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由題意可知，

由已知得，解得

，

，

，故是以為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，

故選：8.【答案】B

【解析】【分析】本題主要考查求雙曲線的離心率，直線與雙曲線的位置關(guān)系及其應(yīng)用，屬于中檔題.

首先求出AB中點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線方程，作差，根據(jù)AB兩點(diǎn)的斜率，求出的值，進(jìn)而求出離心率的范圍.【解答】

解：AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，代入直線，

求得AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為，

設(shè)，，

則，，

則，

兩式相減，得，

即，

即，

又因?yàn)锳B斜率為1，

所以，

，

故選：9.【答案】ABD

【解析】【分析】本題考查的是等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，屬于中檔題.

根據(jù)已知條件，結(jié)合等差數(shù)列的公式，求出首項(xiàng)和公差，再結(jié)合等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，即可求解.【解答】

解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，，，

則，解得，

數(shù)列的前10項(xiàng)和為：，故A正確；

因?yàn)?，所以是遞增數(shù)列，故B正確;

，

當(dāng)時(shí)，取得最小值，故C錯誤；

，則，解得或舍去，

要使，則n的最小值為11，故D正確.

故選：10.【答案】BC

【解析】【分析】本題考查線面平行的判定，利用空間向量求線線、線面和面面的夾角，利用空間向量求點(diǎn)、線、面之間的距離，屬于中檔題.

建系，利用空間向量求異面直線夾角、點(diǎn)到線的距離；利用線面平行的判定定理及投影向量的定義得出結(jié)論.【解答】

解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，，

且E，F(xiàn)分別為棱，的中點(diǎn)，可知，，

可得，，，

對于選項(xiàng)因?yàn)椋?/p>

所以直線BE與CD所成角的余弦值為，故A錯誤；

對于選項(xiàng)B：因?yàn)椋矫?，平面?/p>

所以平面，故B正確；

對于選項(xiàng)因?yàn)樵诜较蛏系耐队跋蛄康哪ｉL為，且，

所以點(diǎn)F到直線BE的距離為，故C正確；

對于選項(xiàng)D：是等邊三角形，所以在上的投影向量為，故D錯誤.

故選：11.【答案】ABD

【解析】【分析】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線位置關(guān)系及其應(yīng)用，拋物線中的弦長問題，向量與拋物線的綜合問題，屬于較難題.

根據(jù)題意可得拋物線的方程為，設(shè)直線AB的方程為，，，聯(lián)立拋物線的方程，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系可得，，，，由拋物線的定義可得，，，逐一分析選項(xiàng)，即可得出答案.【解答】

解：由題意得拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，

因?yàn)锳B長的最小值為4，

所以，解得，故A正確；

所以拋物線的方程為，

設(shè)直線AB的方程為，，，

聯(lián)立，得，

所以，，

所以，

，

由拋物線的定義可得，，

，

對于若AB的傾斜角為，則，

所以，，

所以，，

所以，，所以，，

所以，故B正確；

對于若，則，

所以，

所以，所以，

所以，解得，

所以直線AB的斜率為1或，故C錯誤；

對于設(shè)，，

由，得F為的重心，

所以，，

所以，故D正確.

故選：12.【答案】

【解析】【分析】本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系，兩平行直線間的距離，屬于基礎(chǔ)題．

先設(shè)出與直線l平行且與橢圓相切的直線方程為：，聯(lián)立此直線與橢圓的方程，由得出k，從而由平行線之間的距離公式求出答案.【解答】

解：顯然直線與橢圓相離，直線在橢圓的右上方，

設(shè)與直線l平行且與橢圓相切的直線方程為：，

聯(lián)立，得，

則由，得，

由題意要求橢圓上的點(diǎn)到直線l的最短距離，則取，

所以最短距離為

故答案為：13.【答案】

【解析】【分析】本題考查圓與圓的位置關(guān)系及判定，直線與圓的位置關(guān)系及判定，屬于中檔題.

利用圓與圓外切求出，結(jié)合表示的幾何意義，由直線與圓的位置關(guān)系即可求解.【解答】

解：圓的圓心為，半徑為1，

圓的圓心為，半徑為1，

因?yàn)閳A與圓外切，

則，即，

所以表示圓圓心為，半徑為上動點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，

設(shè)直線MP的方程為，即，

當(dāng)直線與圓相切時(shí)，，解得，

可知，

即的取值范圍為：

故答案為：14.【答案】

【解析】【分析】本題考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，球的接切問題，屬于基礎(chǔ)題.

研究幾何的特征，找出其外接球的球心，求出其半徑即可.【解答】

解：該十面體的外接球的球心是上下底面中心連線的中點(diǎn)，

該點(diǎn)到該十面體每個頂點(diǎn)的距離均為，

所以這個十面體的外接球的半徑為，

從而其體積

故答案為：15.【答案】解：總的事件的個數(shù)為：，記“是奇數(shù)”，

則事件A包含的基本事件有：，，，，，，，，，

，，，，，，，，，共18個，；

設(shè)“直線與雙曲線有公共點(diǎn)”為事件B，

因?yàn)殡p曲線的漸近線為，

要使直線與雙曲線有公共點(diǎn)，

則，即，

則事件B包含的基本事件有，，，，，，

，，，，，，，，共15個，

故

【解析】本題考查古典概型的計(jì)算與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

記“是奇數(shù)”，列舉法求出樣本空間總的基本事件數(shù)和A事件，即可求解；

設(shè)“直線與雙曲線有公共點(diǎn)”為事件B，要使直線與雙曲線有公共點(diǎn)，則，列舉法求出B事件的基本事件數(shù)，利用古典概型概率公式即可求得.16.【答案】解：由題意可知圓的圓心坐標(biāo)，半徑，

當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，

因?yàn)橹本€l過點(diǎn)，所以直線l的方程為，

此時(shí)直線l與圓相切，符合題意；

當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，

設(shè)斜率為k，因?yàn)橹本€l過點(diǎn)，

設(shè)直線l的方程為，化為一般式：，

直線l與圓C相切，則，解得，

所以直線l的方程為：，即

綜上，當(dāng)直線l與圓C相切，直線l的方程為或；

圓關(guān)于直線對稱的圓的方程為，

圓心D的坐標(biāo)為，半徑為4，

當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為，

此時(shí)圓心D到直線l的距離為1，，符合題意；

當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，

設(shè)直線l的方程為，即，因?yàn)?，所以圓心D到直線l的距離為，

所以，解得，

此時(shí)直線l的方程為，即

綜上，直線l的方程為或

【解析】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

求得圓C的圓心坐標(biāo)與半徑，然后分直線l的斜率存在與不存在求解，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線方程為，滿足題意;當(dāng)直l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，即，根據(jù)直線與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑關(guān)系列式求得k，即可求得直線l的方程;

由題意求得D的坐標(biāo)，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線方程為，滿足題意;當(dāng)直l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，即，由圓心到直線的距離列式求得k，則直線方程可求.17.【答案】解：證明：因?yàn)槠矫嫫矫鍭ED，，平面AED，

平面平面，

所以平面SAE，

又平面SAE，所以，

又因?yàn)?，，且AD，平面AED，

所以平面AED；

由知EA，ED，ES兩兩垂直，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，以EA，ED，ES所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

由，

則，，，

可得CD與y軸夾角為，

所以，

，，

，，

設(shè)平面SAD的法向量為，

由，得，

令，得，，

故平面SAD的一個法向量為，

設(shè)直線DN與平面SAD所成的角為，

所以

，

即，

即時(shí)，直線DN與平面SAD的所成成的角最小.

【解析】本題考查利用空間向量求線線、線面和面面的夾角，線面垂直的判定，屬于中檔題.

由題意可證，，由線面垂直的判定定理可證平面AED；

建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量數(shù)量積表示直線DN與平面SAD所成的角，求出最小值.18.【答案】解：由可得，

，

設(shè)等比數(shù)列的公比為，

則有，解得，

所以；

由，，

則

①，

則②，

①-②可得，

，

所以；由知，，所以，

設(shè)，，

則，，，

令，

即，

顯