高考數(shù)學總復習《導數(shù)解答題》專項測試卷（含答案）

第第頁高考數(shù)學總復習《導數(shù)解答題》專項測試卷（含答案）學校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________【知識點1切線方程的求法】1.求曲線“在”某點的切線方程的解題策略：①求出函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導數(shù)，即曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處切線的斜率；②在已知切點坐標和切線斜率的條件下，求得切線方程為y=y0+f'(x0)(x-x0).2.求曲線“過”某點的切線方程的解題通法：①設出切點坐標T(x0,f(x0))(不出現(xiàn)y0)；②利用切點坐標寫出切線方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)；③將已知條件代入②中的切線方程求解.【知識點2導數(shù)中函數(shù)單調性問題的解題策略】1.含參函數(shù)的單調性的解題策略：(1)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調性，要依據(jù)參數(shù)對不等式解集的影響進行分類討論.(2)若導函數(shù)為二次函數(shù)式，首先看能否因式分解，再討論二次項系數(shù)的正負及兩根的大小；若不能因式分解，則需討論判別式△的正負，二次項系數(shù)的正負，兩根的大小及根是否在定義域內.2.根據(jù)函數(shù)單調性求參數(shù)的一般思路：(1)利用集合間的包含關系處理：y=f(x)在(a,b)上單調，則區(qū)間(a,b)是相應單調區(qū)間的子集.(2)f(x)為增(減)函數(shù)的充要條件是對任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)內的任一非空子區(qū)間上，f'(x)不恒為零，應注意此時式子中的等號不能省略，否則會漏解.(3)函數(shù)在某個區(qū)間上存在單調區(qū)間可轉化為不等式有解問題.【知識點3函數(shù)的極值與最值問題的解題思路】1.運用導數(shù)求函數(shù)f(x)極值的一般步驟：(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)求導數(shù)f'(x)；(3)解方程f'(x)=0，求出函數(shù)定義域內的所有根；(4)列表檢驗f'(x)在f'(x)=0的根x0左右兩側值的符號；(5)求出極值.2.根據(jù)函數(shù)極值求參數(shù)的一般思路：

已知函數(shù)極值，確定函數(shù)解析式中的參數(shù)時，要注意：根據(jù)極值點的導數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解.3.利用導數(shù)求函數(shù)最值的解題策略：(1)利用導數(shù)求函數(shù)f(x)在[a,b]上的最值的一般步驟：①求函數(shù)在(a,b)內的極值；②求函數(shù)在區(qū)間端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)；③將函數(shù)f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.(2)求函數(shù)在無窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值的一般步驟：求函數(shù)在無窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調性，并通過單調性和極值情況，畫出函數(shù)的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數(shù)的最值.【知識點4導數(shù)的綜合應用】1．導數(shù)中的函數(shù)零點（方程根）問題利用導數(shù)研究含參函數(shù)的零點（方程的根）主要有兩種方法：(1)利用導數(shù)研究函數(shù)f(x)的最值，轉化為f(x)圖象與x軸的交點問題，主要是應用分類討論思想解決.(2)分離參變量，即由f(x)=0分離參變量，得a=g(x)，研究y=a與y=g(x)圖象的交點問題.2．導數(shù)中的不等式證明(1)一般地，要證f(x)>g(x)在區(qū)間(a，b)上成立，需構造輔助函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)，通過分析F(x)在端點處的函數(shù)值來證明不等式．若F(a)＝0，只需證明F(x)在(a，b)上單調遞增即可；若F(b)＝0，只需證明F(x)在(a，b)上單調遞減即可.(2)在證明不等式中，若無法轉化為一個函數(shù)的最值問題，可考慮轉化為兩個函數(shù)的最值問題．3．導數(shù)中的恒成立、存在性問題解決不等式恒（能）成立問題有兩種思路：(1)分離參數(shù)法解決恒（能）成立問題，根據(jù)不等式的性質將參數(shù)分離出來，得到一個一端是參數(shù)，另一端是變量表達式的不等式，構造函數(shù)，直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題，即可解決問題．(2)分類討論法解決恒（能）成立問題，將恒成立問題轉化為最值問題，此類問題關鍵是對參數(shù)進行分類討論，在參數(shù)的每一段上求函數(shù)的最值，并判斷是否滿足題意，據(jù)此進行求解即可.4．導數(shù)中的雙變量問題破解雙參數(shù)不等式的方法：一是轉化，即由已知條件入手，尋找雙參數(shù)滿足的關系式，并把含雙參數(shù)的不等式轉化為含單參數(shù)的不等式；二是巧構函數(shù)，再借用導數(shù)，判斷函數(shù)的單調性，從而求其最值；三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應用到雙參不等式，即可證得結果．5．極值點偏移的相關概念所謂極值點偏移，是指對于單極值函數(shù)，由于函數(shù)極值點左右的增減速度不同，使得函數(shù)圖像沒有對稱性．極值點偏移的定義：對于函數(shù)在區(qū)間內只有一個極值點，方程的解分別為，且.(1)若，則稱函數(shù)在區(qū)間上極值點偏移；(2)若，則函數(shù)在區(qū)間上極值點左偏，簡稱極值點左偏；(3)若，則函數(shù)在區(qū)間上極值點右偏，簡稱極值點右偏．【題型1函數(shù)的切線問題】【例1】（2023·河南·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)fx(1)當a=1時，求fx的圖象在點(1,f(1))(2)當a≥1時，證明：fx【變式1-1】（2023·四川雅安·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)f(x)=aex+bx+c在x=ln2時有極小值.曲線y=f(x)(1)求a,b,c的值；(2)若對任意實數(shù)x,f(x)≥(e?2)x+m恒成立，求實數(shù)【變式1-2】（2023·廣東·東莞市校聯(lián)考一模）函數(shù)f(x)=2x+lnx(1)求?(x)；(2)已知13<a<1，過(a,b)可作f(x)的三條切線，證明：【變式1-3】（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)fx(1)當a=4時，求fx的極值及曲線y=fx在點(2)若函數(shù)fx有兩個零點，求實數(shù)a【題型2（含參）函數(shù)的單調性問題】【例2】（2023·海南·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)fx(1)當a=1時，討論函數(shù)fx(2)若不等式fx>ae【變式2-1】（2023·黑龍江·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)fx(1)求函數(shù)fx(2)若過點P1,tt∈R可以作曲線y=f【變式2-2】（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)fx(1)討論函數(shù)fx(2)當a=e時，求證：f【變式2-3】（2023·河北邢臺·寧晉中學?？寄M預測）已知函數(shù)f(x)=aex+(1)討論函數(shù)f(x)的單調性；(2)當a>0時，若f(x)?1≥x2在R上恒成立，求實數(shù)【題型3函數(shù)的極值、最值問題】【例3】（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)fx(1)當t=0時，討論函數(shù)fx(2)若Fx=fx【變式3-1】（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預測）已知奇函數(shù)fx=ax(1)求fx(2)求fx在?4,3【變式3-2】（2023·寧夏固原·寧夏回族自治區(qū)西吉中學?？寄M預測）已知實數(shù)a>0，函數(shù)fx=xln(1)當a=e時，求函數(shù)f(2)求證：fx存在極值點x0，并求【變式3-3】（2023·吉林長春·東北師大附中?？级＃┮阎瘮?shù)fx(1)討論函數(shù)fx(2)若m>0，fx的最小值是1+lnm【題型4函數(shù)零點（方程根）問題】【例4】（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)f(x)=2x+a(1)當a=1時，求曲線f(x)在點(1,f(1))處的切線方程．(2)若f(x)有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍．【變式4-1】（2023·廣東廣州·廣東廣雅中學?？级＃┮阎瘮?shù)fx(1)求函數(shù)fx(2)若gx=x【變式4-2】（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)fx(1)判斷函數(shù)fx(2)若fx=1有兩個不相等的實根x1,x【變式4-3】（2023·廣西·模擬預測）已知函數(shù)fx=2ln(1)求m的取值范圍；(2)記三個零點為x1,x2,【題型5不等式的證明】【例5】（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)fx(1)求函數(shù)fx(2)求證：fx【變式5-1】（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)fx(1)討論fx(2)若存在不相等的實數(shù)x1，x2，使得fx【變式5-2】（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)fx=ex?asinx(1)求實數(shù)a的值；(2)若x1是fx的最大的極小值點，x2是f【變式5-3】（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)fx(1)當m≥12時，討論fx(2)已知x1,x2是【題型6

\t"/gzsx/zsd28297/_blank"\o"利用導數(shù)研究不等式恒成立問題"利用導數(shù)研究不等式恒成立問題】【例6】（2023·四川內江·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)f(x)=1(1)當a=1時，求f(x)的極值；(2)若不等式f(x)≥x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【變式6-1】（2023·全國·模擬預測）已知fx=ae(1)討論函數(shù)fx(2)令a=2，對?x≥0，均有fx≥kx+2恒成立，求【變式6-2】（2023·云南紅河·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)f(x)=mx?ln(1)討論函數(shù)f(x)的單調性；(2)若關于x的不等式ex?1+aln【變式6-3】（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)fx=ae(1)若fx為偶函數(shù)，求此時fx在點(2)設函數(shù)g(x)=f(x)?(a+1)x，且存在x1,x（?。┣髮崝?shù)a的取值范圍；（ⅱ）若a∈(0,1)，且gx1+kg【題型7\t"/gzsx/zsd28298/_blank"\o"利用導數(shù)研究能成立問題"利用導數(shù)研究能成立問題】【例7】（2023·寧夏銀川·?？寄M預測）已知函數(shù)f(x)=kx?ln(1)當k=1時，求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程；(2)如果存在x0∈(0,+∞)，使得當x∈0,【變式7-1】（2023·河北·模擬預測）已知函數(shù)fx(1)討論函數(shù)fx(2)若存在實數(shù)a，使得關于x的不等式fx≤λa恒成立，求實數(shù)【變式7-2】（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預測）已知fx=x?a?1(1)討論fx(2)若a=?1，且存在x∈0,+∞，使得fx【變式7-3】（2023·北京海淀·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)f(x)=e(1)當a=1時，求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程；(2)求f(x)的單調區(qū)間；(3)若存在x1,x2∈[?1,1]【題型8雙變量問題】【例8】（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)fx(1)當t=0時，討論函數(shù)fx(2)已知Fx=fx?ex，函數(shù)Fx【變式8-1】（2023·四川自貢·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)fx=aex?(1)求a的取值范圍；(2)若x2≥3x1時，不等式【變式8-2】（2023·河南·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)fx=1(1)討論fx(2)當m>0時，若對于任意的x1∈0,+∞，總存在x2【變式8-3】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)fx=x(1)當a=1時，求fx(2)若函數(shù)gx=fx?x【題型9\t"/gzsx/zsd165726/_blank"\o"導數(shù)中的極值偏移問題"導數(shù)中的極值點偏移問題】【例9】（2023·貴州畢節(jié)·校考模擬預測）已知函數(shù)fx(1)當x≥1時，fx≥0(2)若函數(shù)fx有兩個極值點x1,【變式9-1】（2023·四川綿陽·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)fx(1)求a的取值范圍；(2)記兩個極值點為x1,x2，且x1【變式9-2】（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)f(1)若函數(shù)fx在定義域上單調遞增，求a(2)若函數(shù)fx在定義域上有兩個極值點x1和x2，若x2>【變式9-3】（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)fx=x(1)求函數(shù)fx(2)若函數(shù)fx在x=e處取得極值，f′x是函數(shù)fx的導函數(shù)，且【題型10導數(shù)與三角函數(shù)結合問題】【例10】（2023·四川雅安·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)fx(1)若a=0，判斷fx在?(2)當a>0，探究fx在0,π【變式10-1】（2023·四川成都·成都七中?？家荒＃┰O函數(shù)Fx=1?λ(1)若λ=1，討論Fx在a,(2)當x∈a,π2時，不等式F【變式10-2】（2023·四川雅安·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)fx=ax(1)若a=?12,x∈(2)探究fx在?【變式10-3】（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)f(x)=ex((1)求函數(shù)f(x)的圖象在點0,f0(2)若x>?1，求證：f(x)>0．【題型11導數(shù)與數(shù)列不等式的綜合問題】【例11】（2023·山東濟南·?？寄M預測）設函數(shù)f(x)=emxx+1(1)求實數(shù)m的值；(2)若數(shù)列{?an?}滿足a【變式11-1】（2023·海南·?？谛Ｂ?lián)考模擬預測）已知函數(shù)f(x)x+1(1)若函數(shù)f(x)在[1,+∞)上只有一個零點，求(2)若an=23,n=11n+1,n≥2，記數(shù)列【變式11-2】（2023·重慶沙坪壩·重慶八中?？寄M預測）已知函數(shù)fx(1)證明：當x<0時，fx<1；當x>0時，(2)正項數(shù)列xn滿足：exn+1（i）數(shù)列xn（ii）i=1n【變式11-3】（2023·上海浦東新·華師大二附中校考模擬預測）設函數(shù)fn(1)求函數(shù)f3x在點(2)證明:對每個n∈N*，存在唯一的xn(3)證明:對于任意p∈N?，由（2）中xn構成的數(shù)列x1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)fx(1)當a=?1時，求曲線y=fx在點1,f(2)若函數(shù)fx在0,+∞單調遞增，求2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)fx(1)當a=1時，討論fx(2)若fx+sin3．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）設函數(shù)f(x)=x?x3eax+b，曲線y=f(x)在點(1)求a,b的值；(2)設函數(shù)g(x)=f′(x)(3)求f(x)的極值點個數(shù)．4．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)f(x)=1(1)當a=?1時，求曲線y=fx在點1,f(2)是否存在a，b，使得曲線y=f1x關于直線x=b對稱，若存在，求a，(3)若fx在0,+∞存在極值，求5．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)fx(1)求曲線y=fx在x=2(2)當x>0時，證明：fx(3)證明：566．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)fx(1)討論fx(2)證明：當a>0時，fx7．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）（1）證明：當0<x<1時，x?x（2）已知函數(shù)fx=cosax?ln1?x8．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）已知a，b∈R(1)求函數(shù)y=fx在0,f(2)若y=fx和y=g（i）當a=0時，求b的取值范圍；（ii）求證：a29．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)f(x)=ax?1(1)當a=0時，求f(x)的最大值；(2)若f(x)恰有一個零點，求a的取值范圍．10．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)f(x)=e(1)求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程；(2)設g(x)=f′(x)，討論函數(shù)g(x)(3)證明：對任意的s,t∈(0,+∞)，有11．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)fx(1)若fx≥0，求(2)證明：若fx有兩個零點x1,12．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)f(x)=ex?ax(1)求a；(2)證明：存在直線y=b，其與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列．參考答案【題型1函數(shù)的切線問題】【例1】（2023·河南·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)fx=aex?1?lnx.(1)當a=1時，求fx的圖象在點(1,f(1))(2)當a≥1時，證明：fx【解題思路】（1）分別求出f1（2）利用作差法并構造函數(shù)gx=e【解答過程】（1）當a=1時，fx=所以f′1=故所求切線方程為y?e?1=（2）因為fx的定義域是0,+所以當a≥1時，f設gx=e設?x=g′x所以?x在0,+∞上是增函數(shù)，則又因為?π4=eπ又因為4π+sin所以?x在13,π4上存在唯一零點x所以?x0=當0<x<x0時，g′x<0當x>x0時，g′x>0所以g由于0<x0<π4，所以1所以gxmin=g所以當a≥1時，fx?sin【變式1-1】（2023·四川雅安·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)f(x)=aex+bx+c在x=ln2時有極小值.曲線y=f(x)(1)求a,b,c的值；(2)若對任意實數(shù)x,f(x)≥(e?2)x+m恒成立，求實數(shù)【解題思路】（1）對函數(shù)求導，利用在x=ln2時有極小值和在點(0,f(0))處的切線方程，即可求出（2）將函數(shù)代入不等式并分離參數(shù)，轉化成ex?ex?1≥m對任意實數(shù)x恒成立問題，構造函數(shù)【解答過程】（1）由題意，x∈R，在f(x)=aex+bx+c在x=ln2時有極小值.曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為∴f0=0f∴f(x)=ex?2x?1當x>ln2時，f′當x<ln2時，f′當x=ln2時，f′故a=1,b=?2,c=?1符合題意，即為所求.（2）由題意及（1）得，x∈R，在f(x)=aex+bx+c中，f(x)≥(e?2)x+m設g(x)=ex?當x>1時，ex?e>0，則g′當x<1時，ex?e<0，則g′當x=1時，ex?e故x=1時g(x)有極小值，也就是g(x)的最小值g1故m≤?1即為所求.【變式1-2】（2023·廣東·東莞市校聯(lián)考一模）函數(shù)f(x)=2x+lnx(1)求?(x)；(2)已知13<a<1，過(a,b)可作f(x)的三條切線，證明：【解題思路】（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義即可求解；（2）先求出過(a,b)的切線方程，根據(jù)過(a,b)可作三條切線，得到所證不等式.【解答過程】（1）f(x)的定義域0,+∞，f所以f′(4)=1則f(x)在x=4處的切線方程為y?1即?(x)=1（2）設切點Qt,2則切線方程為y?2又過點(a,b)，所以b?2即b=2即b=4令gt則g′=?=t?4因為t∈0,+∞，且13<a<1，所以gt在區(qū)間0,a且get趨向+∞時gt趨向于又因為過(a,b)可作f(x)的三條切線，所以b與gt所以g4又g4根據(jù)（1）?(x)=18x+2又ga所以?(a)<b<f(a).【變式1-3】（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)fx(1)當a=4時，求fx的極值及曲線y=fx在點(2)若函數(shù)fx有兩個零點，求實數(shù)a【解題思路】（1）求導得到單調區(qū)間，計算極值，再計算切線方程得到答案.（2）求導得到導函數(shù)，確定f′1=0，考慮a≥2，1<a<2，a=1，0<a<1【解答過程】（1）當a=4時，fx則f′令f′x>0，得0<x<1；令ffx在0,1上單調遞增，在1,+故fx在x=1處取得極大值ff1=0，f′1=0，故曲線y=f（2）f′x=ax①當a≥2時，2?ax?a<0當0<x<1時，f′x>0當x>1時，f′x<0所以fx≤f1②當1<a<2時，a2?a>1，令f′x>0，得x∈0,1∪所以fx在0,1上單調遞增，在1,a2?a因為f1=0，所以fa2?a<0則fx1=a所以fa2?a?fx1所以由零點存在定理，得存在唯一x0∈a又f1=0，此時，函數(shù)③當a=1時，f′x=x?12則fx④當0<a<1時，0<a2?a<1令f′x>0，得x∈0,a所以fx在0,a2?a上單調遞增，在a因為f1=0，所以fa2?a>0取0<x2<e=?2e則fx2<0，所以fx2所以由零點存在定理，可得存在唯一x3∈0,又f1=0，此時，函數(shù)⑤當a≤0時，2?ax?當0<x<1時，f′x<0當x>1時，f′x>0所以fx≥f1綜上所述：實數(shù)a的取值范圍為0,1∪【題型2（含參）函數(shù)的單調性問題】【例2】（2023·海南·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)fx(1)當a=1時，討論函數(shù)fx(2)若不等式fx>ae【解題思路】（1）當a=1時，對fx求導，令mx=f′x=lnx+1?2x,x>0，討論m（2）由題意可得a<xlnx?x2+xe【解答過程】（1）當a=1時，fx=xln令mx可得m′當x∈0,12當x∈12,+所以當x=12時，mx所以f′x<0，所以f（2）由fx>ae即a<xlnx?令?x=x令φx=x?2?ln令φ′x>0令φ′x<0所以φx在0,1單調遞減，在1,+又φeφφ所以在e?3,1中存在唯一的x1在1,4中存在唯一的x2使得φ即有x1因為φx在0,1單調遞減，在1,+所以當0<x<x1時，φx>0；當當1<x<x2時，φx<0；當又?′x=所以當0<x<x1時，?′x<0當1<x<x2時，?′x<0所以?x在0,x1在1,x2單調遞減，在所以x∈0,1時，??x∈1,+∞時，?因為x1可得x1?ln即ex1代入lnx1=則有?x1=同理可得?x所以?x所以?(x)所以a<?1e2，即實數(shù)a【變式2-1】（2023·黑龍江·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)fx(1)求函數(shù)fx(2)若過點P1,tt∈R可以作曲線y=f【解題思路】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，解不等式，即可求得函數(shù)單調區(qū)間；（2）設切點坐標為x0,y0，利用導數(shù)的幾何意義求出切線方程，推出方程【解答過程】（1）函數(shù)fx的定義域為R，f令f′x>0，解得x>?1，所以函數(shù)f令f′x<0，解得x<?1，所以函數(shù)（2）由題意可得f′設切點坐標為x0,y所以切線方程為y?x將P1,t代入得t=因為存在三條切線，即方程t=e方程t=ex0設gx=?當x∈?2,1時，g′x在?∞,?2和1,+∞上，g′xg?2=?5當x<1?52或x>1+52時，當x→?∞時，gx→0；當x→+∞時，畫出gx要使函數(shù)y=t,y=ex0即?5e2<t<0，即實數(shù)【變式2-2】（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)fx(1)討論函數(shù)fx(2)當a=e時，求證：f【解題思路】（1）求導，然后分a≤0和a>0討論分別求單調性；（2）當x≤0時，通過證明x+1?cosx≤0可得結論；當x>0時，轉化為證明【解答過程】（1）由已知f′當a≤0時，f′x>0恒成立，函數(shù)f當a>0時，若f′x>0，得x>若f′x<0，得x<綜上所述：當a≤0，函數(shù)fx在R當a>0時，函數(shù)fx在lna2（2）由a=e，fx>即證2e①當x≤0時，設函數(shù)kx則k′x=1+sinx≥0所以k所以2e②當x>0時，要證2e即證2設函數(shù)?x=2e則?′當?′x<0時，0<x<1當?′x>0時，x>1所以?x≥?1設gx=1?則g′x=sinx?1≤0所以gx<g0所以2e綜上：fx【變式2-3】（2023·河北邢臺·寧晉中學?？寄M預測）已知函數(shù)f(x)=aex+(1)討論函數(shù)f(x)的單調性；(2)當a>0時，若f(x)?1≥x2在R上恒成立，求實數(shù)【解題思路】（1）對函數(shù)求導，討論a<0、a>0研究函數(shù)的單調性；（2）問題化為a≥x2+2【解答過程】（1）由題設f′當a<0，若x∈(?∞,0)時f′(x)>0，即f(x)遞增，若x∈(0,+∞當a>0，若x∈(?∞,0)時f′(x)<0，即f(x)遞減，若x∈(0,+∞綜上，a<0則f(x)在(?∞,0)上遞增，在a>0則f(x)在(?∞,0)上遞減，在（2）由題設a≥x2+2令g(x)=x2+2令φ(x)=(x2+2x+2)所以φ(x)單調遞減，且φ(0)=0，故(?∞,0)上φ(x)>0，(0,+∞所以(?∞,0)上g′(x)>0，即g(x)遞增，(0,+∞所以g(x)≤g(0)=1，故a≥1.【題型3函數(shù)的極值、最值問題】【例3】（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)fx(1)當t=0時，討論函數(shù)fx(2)若Fx=fx【解題思路】（1）求導，利用導數(shù)判斷原函數(shù)的單調性和極值；（2）根據(jù)題意可得F′x有兩個不同的變號零點，整理得elnx+lnx=【解答過程】（1）當t=0時，fx=xlnx?x，則fx在0,1上，f′x<0在1,+∞上，f′x所以fx的極小值為f（2）由題意可知：Fx=xln因為Fx有兩個不同的極值點，則函數(shù)F可知方程lnx+t=此方程可變形為lnx+x=ex?t設函數(shù)gx=e又因為y=ex,y=x在R內單調遞增，則g可得lnx=x?t，即t=x?設?x=x?lnx，則直線可知?x的定義域為0,+∞，且在0,1上，?′x<0在1,+∞上，?′x則?xmin=?1=1，當x→0+若直線y=t與曲線y=?x有兩個不同的交點，則t>1故t的取值范圍為1,+∞【變式3-1】（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預測）已知奇函數(shù)fx=ax(1)求fx(2)求fx在?4,3【解題思路】（1）利用函數(shù)奇偶性可得b=0，再由fx在x=1上取得極大值2可求得a=?1,c=3（2）由（1）中解析式求導可得其在?4,3上的單調性，得出極值并比較端點處的函數(shù)值即可求出其最值.【解答過程】（1）易知函數(shù)fx的定義域為x∈因為fx是奇函數(shù)，所以f?x=?f由fx=ax因為fx在x=1所以f'1經(jīng)經(jīng)檢驗當a=?1,c=3時，fx在故fx（2）由（1）可知，f′當x∈?1,1時，f當x∈?4,?1和1,3時，f即函數(shù)fx在x=?1處取得極小值f?1=?2，在x=1又因為f?4所以fx在?4,3上的最大值為52，最小值為?18【變式3-2】（2023·寧夏固原·寧夏回族自治區(qū)西吉中學?？寄M預測）已知實數(shù)a>0，函數(shù)fx=xln(1)當a=e時，求函數(shù)f(2)求證：fx存在極值點x0，并求【解題思路】（1）f(x)求導，根據(jù)f′（2）根據(jù)導數(shù)的分母正，需要分子有變號零點，轉變?yōu)殡p變量函數(shù)的恒成立和有解問題，利用導數(shù)再次確定新函數(shù)單調性和最值即可求解.【解答過程】（1）當a=e時，f(x)=x?則f令f′(x)>0，得x>e；令f所以，函數(shù)y=g(x)的單調增區(qū)間為(e,+∞（2）f令t(x)=2x2+(所以方程2x2+(又因為x1x2=?ax0,xxf-0+f減極小值增所以f(x)存在極值點x0.所以存在x0使得所以存在x0使得2所以存在x0使得a?x0因此需要討論等式左邊的關于a的函數(shù)，記u(t)=t?x0ln當0<t<x0時，u′(t)<0,u(t)單調遞減；當所以當t=x0時，u(t)=t?x所以需要2x02即需要2x0因為v(t)=2t+lnt?(2e+1)在所以需要x0故x0的最小值是e【變式3-3】（2023·吉林長春·東北師大附中?？级＃┮阎瘮?shù)fx(1)討論函數(shù)fx(2)若m>0，fx的最小值是1+lnm【解題思路】（1）求出fx的導數(shù)，按m≤e和（2）利用（1）中信息，按m≤e和m>e探討，利用導數(shù)研究函數(shù)【解答過程】（1）函數(shù)fx的定義域為0,+所以f′令ux=e令u′x<0，可得0<x<1，令u所以ux在0,1上單調遞減，在1,+故ux①m≤e時，uxmin≥0，則ux令f′x>0所以fx在0,1上單調遞減，在1,+∞上單調遞增，所以fx②m>e時，u因為令?x=e當x>0時，?′x>0，則?當x<0時，?′x<0，則?故?x≥?0=0，所以當x<1m?1<1此時?x1∈令vx=ex?φ′x=ex?2>0，即有v′x>0，即v即vx>v1當x>m>e時，ux>x2因此x∈0,x1，fx∈x1,1，fx∈1,x2，fx∈x2,+∞，所以fx由3所以當m≤e時，fx恰有1個極值點；當m>e時，f（2）由（1）知，當0<m≤e時，fx在0,1上單調遞減，在所以fx所以1e=lnmm函數(shù)gx在0,e上單調遞增，gx當m>e時，?x1∈0,1，使得u所以fx在0,x1上單調遞減，在x1,1其中exixi?m=0而fxi=綜上可得，實數(shù)m的取值范圍為mm≥【題型4函數(shù)零點（方程根）問題】【例4】（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)f(x)=2x+a(1)當a=1時，求曲線f(x)在點(1,f(1))處的切線方程．(2)若f(x)有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍．【解題思路】（1）利用導數(shù)的幾何意義求得切點與切線的斜率，從而得解；（2）利用參變分離，構造函數(shù)g(x)=x【解答過程】（1）當a=1時，f(x)=2x+lnxxf′(x)=2+1?2故曲線f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y?3=3(x?1)，即3x?y=0．（2）由f(x)=2x+a得方程2x+ax2當a=0時，顯然方程沒有正實數(shù)解，所以a≠0．則方程?2a=令g(x)=x2+顯然φ(x)=1?x2?3lnx所以當x∈(0,1)時，g′(x)>0；當x∈(1,+∞所以g(x)在(0,1)上單調遞增，在(1,+∞)上單調遞減，且當x=1e時，g(x)=e31要使方程?2a=則g(x)與y=?2a的圖象在結合圖象可知0<?2a<1綜上，實數(shù)a的取值范圍為(?∞【變式4-1】（2023·廣東廣州·廣東廣雅中學校考二模）已知函數(shù)fx(1)求函數(shù)fx(2)若gx=x【解題思路】（1）求出定義域，求導，得到函數(shù)單調性，進而得到最值；（2）化簡得到gx=x2lnx+ax2?a，令φx=lnx+ax2?a，求出【解答過程】（1）由題意得fx的定義域為0,+且f′當0<x<1時，f′x<0；當x>1故fx在0,1上單調遞減，fx在所以fx在x=1所以f(x)（2）gx令φx=ln因為gx=x2φx的定義域為所以下面研究函數(shù)y=φx在0,+由φx=ln當a≤0時，φ′x>0所以φx在x∈又φ1=0，故此時當a>0時，φ′令φ′x<0(x>0)，得0<x<2a，令所以φx在0,2a上單調遞減，在所以φ(x)令2a=t>0，則a=令mt=ln易得mt在0,1上單調遞增，在1,+又m1=0，所以當t∈0,1①當2a=1，即a=12此時φx有唯一零點x=②當0<2a<1，即0<a<1因為φ1=0，所以φx在2aφa令a1?a=k(k<1)，則所以φk=lnk+1所以φx在a1?a,所以φx在0,2a上有唯一的零點故φx在0,+③當2a>1，即a>12由函數(shù)零點存在定理可得y=φx在2a故φx在0,綜上，當a≤0或a=12時，函數(shù)當a>0且a≠12時，函數(shù)【變式4-2】（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)fx(1)判斷函數(shù)fx(2)若fx=1有兩個不相等的實根x1,x【解題思路】（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，再分a≤0、a>0兩種情況討論，分別求出函數(shù)的單調區(qū)間；（2）依題意可得x1+1=alnx1x2+1=alnx2【解答過程】（1）由題意知，函數(shù)fx的定義域為0,+由fx=x+1?aln當a≤0時，f′x>0，所以f當a>0時，令f′x=0當x∈0,a時，f′x<0；當所以當a≤0時，fx在0,+當a>0時，fx在0,a上單調遞減，在a,+（2）由（1）可知a>0，x2>x1>0根據(jù)題意可得x1+1=aln因為0<x1<x2要證x1+x2>a，即證x構造函數(shù)?t=t+1?′構造函數(shù)gt=ln所以?′t在所以?′t≥?′所以當t>1時，?t>?1=0，即【變式4-3】（2023·廣西·模擬預測）已知函數(shù)fx=2ln(1)求m的取值范圍；(2)記三個零點為x1,x2,【解題思路】（1）由題意首先對fx（2）構造函數(shù)?x=fx?f?x【解答過程】（1）函數(shù)fx的定義域為?1,+∞f′x=2x+1且x∈?1,0時，f′x>0，x∈0,1，f所以fx在?1,0上單調遞增，0,1上單調遞減，1,+當x=0時，函數(shù)fx取極大值，當x=1時，函數(shù)f又f0=m，因為函數(shù)有三個零點，且x→+∞,f(x)→+∞，x→?1,f(x)→?∞，所以f1解得0<m<32?2ln2（2）由（1）可知?1<x設?x=fx?f?x所以函數(shù)?x單調遞增，所以?x>?即fx1>f?x設gx=fx所以函數(shù)gx所以gx<g1fx2<f所以x3<2?x又?x1?【題型5不等式的證明】【例5】（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)fx(1)求函數(shù)fx(2)求證：fx【解題思路】（1）利用導數(shù)與函數(shù)單調性的關系即可得解；（2）構造函數(shù)?x=2e【解答過程】（1）因為fx=2e當x∈?∞,1?ln2當x∈1?ln2,+∞時，所以fx的單減區(qū)間為?∞,1?（2）設函數(shù)?x則?′x=2易得?′x在0,+∞所以當x∈0,1，?′x當x∈1,+∞，?′所以?xmin=?1=0即fx≥e因為1≥cosx，所以由于上述不等式取等條件不能同時成立，所以fx【變式5-1】（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)fx(1)討論fx(2)若存在不相等的實數(shù)x1，x2，使得fx【解題思路】（1）由已知條件求出f′（2）由（1）可判斷出m>0，結合fx1=fx2，得出mlnx2?lnx1=【解答過程】（1）函數(shù)fx的定義域為0,+∞，當m≤0時，f′x>0，所以f當m>0時，由f′x>0得x>m，所以f由f′x<0得0<x<m，所以f故m≤0時，所以fx在0,+當m>0時，fx在m,+∞上單調遞增，在（2）證明：fx=x?mln由（1）可知，當m≤0時，fx在0,+故不存在不相等的實數(shù)x1,x2，使得由fx1=fx2不妨設0<x1<x2要證m<x1+即證x2?x令t=x2x1>1令gt=ln所以gt在1,+∞上是增函數(shù)，所以從而lnt?t?1t+1【變式5-2】（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)fx=ex?asinx(1)求實數(shù)a的值；(2)若x1是fx的最大的極小值點，x2是f【解題思路】（1）利用導數(shù)的幾何意義，求切線方程，再與拋物線方程聯(lián)立，結合Δ=0（2）利用極值點的定義，結合零點存在性定理，求得極值點的范圍，再代入函數(shù)值，即可求解.【解答過程】（1）∵f′x=又f0=1，所以y=fx在0,f因為切線與y=2x?x2相切，聯(lián)立y=1?a由Δ=a+12?4=0及（2）由（1）得fx=e當x∈0,+∞時，f′x>0當x∈?π2,0時，令gx又g′?π所以存在x0∈(?π4,0)當x∈(?π2,x0)時，g′x<0又g(所以當x∈(x0,0)時，g所以x1=0是fx∵g?π2所以存在x2∈(?π2,?當x∈(?π2,x2)時，所以x2是fx的極大值點，也是因為fx在(x2,0)f(x所以2<f(x【變式5-3】（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)fx(1)當m≥12時，討論fx(2)已知x1,x2是【解題思路】（1）導函數(shù)放縮得f′（2）整理變形得lnx1x1?【解答過程】（1）f′令g(x)=lnx+1?x，則g′(x)=1?xx，則當x∈(0,1)時，當x∈(1,+∞)時，g′(x)<0，所以g(x)≤g(1)=0，即f′(x)≤0，所以f(x)在（2）由f(x)=xlnx?mx2?1=0則lnx1x要證x1x2>6即證m(x)=lnxx則m′(x)=3則n′(x)=3x2?則當x∈0,e43，n′n(x)在(0,e43所以n(x)≥n(e43)=0，即所以m(x)=lnxx+x【題型6

\t"/gzsx/zsd28297/_blank"\o"利用導數(shù)研究不等式恒成立問題"利用導數(shù)研究不等式恒成立問題】【例6】（2023·四川內江·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)f(x)=1(1)當a=1時，求f(x)的極值；(2)若不等式f(x)≥x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【解題思路】（1）對f(x)=12x（2）根據(jù)條件，分離常量得到12a≥x+lnx【解答過程】（1）當a=1時，f(x)=12x由f′(x)=0，得到x=1，又x>0，當x∈(0,1)時，f′(x)<0，所以f(x)=12x2?（2）由f(x)≥x恒成立，得到12ax又x>0，所以12令g(x)=1x+令?(x)=?2lnx?x+1(x>0)，則即?(x)=?2lnx?x+1在區(qū)間又?(1)=?2ln1?1+1=0，所以當x∈(0,1)時，?(x)>0，x∈(1,+∞即x∈(0,1)時，g′(x)>0，x∈(1,+∞所以g(x)=1x+lnx故g(x)≤g(1)=1，所以12a≥1，即所以，實數(shù)a的取值范圍為a≥2.【變式6-1】（2023·全國·模擬預測）已知fx=ae(1)討論函數(shù)fx(2)令a=2，對?x≥0，均有fx≥kx+2恒成立，求【解題思路】（1）直接對fx求得，分a≥0,a<0兩種情況討論，在a<0時，令?x（2）首先對fx進行切線放縮即：證明fx≥3x+2【解答過程】（1）由題得x∈?1,+∞，當a≥0時，f′x>0，∴f當a<0時，令?x=a則?′x=aex且當x→?1時，?x→+∞，當x→+∴?x在?1,+設該零點為x0，即f∴fx在?1,x0上單調遞增，f（2）當a=2時，fx=2ex+f′x=2所以fx在x=0處的切線方程為y=3x+2先證明當x≥0時，fx令Fx=fx即Fx則F′x=2ex則g′x=2ex∴gx≥g0=0，∴∴Fx≥F0=0，∴當x>0時，由fx≥kx+2，得則k≤f又fx?2x∴k的取值范圍是?∞【變式6-2】（2023·云南紅河·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)f(x)=mx?ln(1)討論函數(shù)f(x)的單調性；(2)若關于x的不等式ex?1+aln【解題思路】（1）先求得f′x，然后對m進行分類討論，從而求得（2）將要證明的不等式轉化為eln【解答過程】（1）由題可知，f(x)的定義域為(0,+∞f當m≤0時，mx?1<0在(0,+∞所以f′(x)<0在(0,+∞)上恒成立，即當m>0時，令f′(x)>0解得x>1m，令所以f(x)在0,1m上單調遞減，在（2）由ex?1得x?alnx≤令g(x)=ex由（1）得，當m=1時f(x)≥f(1)=0所以lnx≤x?1在(0,+若g(lnx)≤g(x?1)在則需g(x)=ex?ax所以g′(x)=ex?a≥0在R上恒成立，即a≤所以實數(shù)a的取值范圍是(?∞【變式6-3】（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)fx=ae(1)若fx為偶函數(shù)，求此時fx在點(2)設函數(shù)g(x)=f(x)?(a+1)x，且存在x1,x（?。┣髮崝?shù)a的取值范圍；（ⅱ）若a∈(0,1)，且gx1+kg【解題思路】（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義，求出a的值，然后利用導數(shù)求切線方程.（2）（?。(x)進行求導，將g(x)既存在極大值，又存在極小值轉化成g(x)=0必有兩個不等的實數(shù)根，利用導數(shù)得到g(x)的單調性和極值，進而即可求解；（ⅱ）對g(x)進行求導，利用導數(shù)分析g(x)的極值，將gx1+kg【解答過程】（1）f(x)為偶函數(shù)，有f(?x)=ae?x?所以f(x)=?ex所以f(0)=?2，f所以f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y+2=0.（2）（?。ゞ(x)=f(x)?(a+1)x=aeg′因為函數(shù)g(x)既存在極大值，又存在極小值，則g′(x)=0必有兩個不等的實根，則令g′(x)=0可得x=0或所以?lna≠0，解得a>0且令m=min0,?lnx(?m(m,n)n(n,+g+0?0+g(x)↗極大值↘極小值↗可知g(x)分別在x=m和x=n取得極大值和極小值，符合題意.綜上，實數(shù)a的取值范圍是(0,1)∪(1,+∞（ⅱ）由a∈(0,1)，可得?ln所以x1=0，x2=?lna，由題意可得a?1+k1?a+(a+1)lna由于此時gx2<g所以ka+1lna>令?(x)=lnx?1?則?′令x2+2①當Δ≤0，即k≤?1時，?′(x)≥0，?(x)所以?(x)<?(1)=0，即lna<（2）當Δ>0，即?1<k<0設方程x2+2kx+1=0的兩根分別為x則x3+x4=?則當x3<x<1時，?′(x)<0，則所以當x3<x<1時，?(x)>?(1)=0，即綜上所述，k的取值范圍是(?∞【題型7\t"/gzsx/zsd28298/_blank"\o"利用導數(shù)研究能成立問題"利用導數(shù)研究能成立問題】【例7】（2023·寧夏銀川·?？寄M預測）已知函數(shù)f(x)=kx?ln(1)當k=1時，求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程；(2)如果存在x0∈(0,+∞)，使得當x∈0,【解題思路】（1）把k=1代入，求出函數(shù)f(x)的導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義求解作答.（2）變形不等式，構造函數(shù)g(x)=x2?kx+ln(x+1),x∈(0,【解答過程】（1）當k=1時，f(x)=x?ln(1+x)，求導得：f′(x)=1?1所以曲線y=fx在點0,f0處的切線方程為（2）f(x)<x因為存在x0∈0,+∞，使得當則存在x0∈0,+∞，使得當令g(x)=x2?kx+ln(x+1),x∈(0,求導得g′(x)=2x?k+1x+1，令因此函數(shù)?(x)，即函數(shù)g′(x)在(0,x當1?k≥0，即0<k≤1時，g′(x)>g′(0)≥0?x∈(0,x0)，g(x)>g(0)=0當k>1時，g′(0)=1?k<0，g′(k)=k+1當0<x<x1時，g′(x)<0，函數(shù)g(x)在(0,x所以k的取值范圍是(0,1].【變式7-1】（2023·河北·模擬預測）已知函數(shù)fx(1)討論函數(shù)fx(2)若存在實數(shù)a，使得關于x的不等式fx≤λa恒成立，求實數(shù)【解題思路】（1）求導以后對導數(shù)中的參數(shù)進行分類討論，根據(jù)不同的分類判斷函數(shù)的單調性；（2）根據(jù)第1問的結論，將恒成立問題轉化為函數(shù)的最大（?。┲祮栴}，構造新函數(shù)，求出λ的范圍.【解答過程】（1）函數(shù)fx=e?ae當e?a≥0，即a≤e時，f′(x)>0恒成立，即當e?a<0，即a>e時，令f′x(??(?f+0?f(x)↗極大值↘綜上所述，當a≤e是，f(x)在R當a>e時，f(x)在(?∞,?（2）f(x)≤λa等價于(e?a)e當a≤e時，?(1+λa)=(e?a)當a>e時，f(x)≤λa等價于λa≥f由（1）可知f(x)所以λa≥?1?ln(a?e)，對a>e因此原命題轉化為存在a>e，使得λ≥令u(a)=?ln(a?e)?1u′令φ(a)=ln(a?e所以φ(a)在(e,+∞所以當e<a<2e時，φ(a)<0，u′(a)<0，故當a>2e時，φ(a)>0，u′(a)>0，故u(a)所以u(a)min=u(2即實數(shù)λ的取值范圍是?1【變式7-2】（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預測）已知fx=x?a?1(1)討論fx(2)若a=?1，且存在x∈0,+∞，使得fx【解題思路】（1）分a≤0和a>0討論即可；（2）代入a值，分離參數(shù)得b≥xex【解答過程】（1）因為f(x)=(x?a?1)e所以f′若a≤0,ex?a>0,x∈(?∞,a)時,f′(x)<0,f(x)若a>0,由f′(x)=0得x=a或設g(a)=a?lna(a>0),則a∈(0,1)時,g′a∈(1,+∞)時,所以g(a)≥g(1)=1>0，所以a>ln所以x∈(lna,a)時,x∈(?∞,lna)，x∈(a,+∞綜上得,當a≤0時,f(x)在(?∞,a)上單調遞減,在當a>0時,f(x)在(lna,a)上單調遞減,在(?∞（2）當a=?1時,f(x)=xe存在x∈(0,+∞),使得即xex?設?(x)=xex設m(x)=x2ex+lnx且m(1)=e所以存在x0∈1所以x令y=xex,x>0，y'=(x+1)ex所以ex0=1xx∈x0,+∞時,所以?(x)≥?x所以b≥1,即b的取值范圍是[1,+∞【變式7-3】（2023·北京海淀·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)f(x)=e(1)當a=1時，求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程；(2)求f(x)的單調區(qū)間；(3)若存在x1,x2∈[?1,1]【解題思路】（1）當a=1時，求出函數(shù)f(x)的導數(shù)，求出曲線y=f(x)在點(0,f(0))處切線的斜率，然后求解切線的方程即可；（2）先求出函數(shù)f(x)的導數(shù)，分a≤0和a>0兩種情況討論即可得到單調區(qū)間；（3）將題中條件轉化為若?x∈?1,1，使得f(x)≥3成立，再結合函數(shù)放縮得到若?x∈?1,1，使得f(x)max≥3成立，再根據(jù)（2）中的單調情況可知f(x)max為【解答過程】（1）當a=1時，f(x)=ex?x得f(0)=1，f′所以曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=1．（2）由f(x)=eax?x當a≤0時，f′(x)<0恒成立，此時f(x)在當a>0時，令f′(x)=0，解得此時f(x)與f′x???f

-0+f(x)↘極小值↗由上表可知，f(x)的減區(qū)間為?∞,?ln綜上，當a≤0時，f(x)的減區(qū)間為?∞當a>0時，f(x)的減區(qū)間為?∞,?ln（3）將f(x)在區(qū)間?1,1上的最大值記為f(x)max，最小值記為因為存在x1,x所以?x∈?1,1，使得f(x)≥3成立，即f(x)當x∈?1,1時，f(x)=若?x∈?1,1，使得f(x)≥3成立，只需由（2）可知f(x)在區(qū)間?1,1上單調或先減后增，故f(x)max為f(?1)與所以只需當f(?1)≥3或f(1)≥3即可滿足題意，即只需f(?1)=e?a+1≥3解得a≤?ln2或a≥綜上所述，a的取值范圍是?∞【題型8雙變量問題】【例8】（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)fx(1)當t=0時，討論函數(shù)fx(2)已知Fx=fx?ex，函數(shù)Fx【解題思路】（1）求出導函數(shù)，確定單調性得極值；（2）求導數(shù)F′(x)，得極值點是F′(x)的零點，然后構造函數(shù)gx=lnx+x，由g(x)的單調性得出x+t=ex，則t=ex?x．再構造函數(shù)?x=ex?x，已知轉化為直線y=t與函數(shù)【解答過程】（1）當t=0時，fx=xln當x∈0,1時，f′x當x∈1,+∞時，f′∴fx的極小值為f（2）解法一

Fx∴F′x=lnx+t+t?e∴F′x有兩個變號零點x1，x2，即方程lnx+t即方程lnx+t+x+t=lnex設gx=lnx+x，則gx+t∴x+t=ex，則t=ex?x．設?∵?′x=ex?1，∴當當x∈0,+∞時，?′不妨設x1<x2，則x1∵?x在0,+∞上單調遞增，∴即證即證?x1<?則m′∴mx在?∞,0∵x1<0，∴mx1<0解法二

Fx=x+t∵Fx有兩個極值點x1，x2即方程lnx+t+t=ex有兩個不相等的實根即方程lnx+t+x+t=x+ex有兩個不相等的實根即方程lnx+t+elnx+t設gx=x+ex，易知gx∴l(xiāng)nx1+t=x則x1由對數(shù)平均不等式得x1+tx2+t<x1+t∴l(xiāng)nx1+tx2【變式8-1】（2023·四川自貢·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)fx=aex?(1)求a的取值范圍；(2)若x2≥3x1時，不等式【解題思路】（1）由f′x=0可得a=2xex，令ux=2x（2）由已知可得出aex1=2x1>0，aex2=2x2>0，將這兩個等式相除可得ex2?【解答過程】（1）解：因為fx=aex?因為函數(shù)fx有兩個極值點，所以，方程f則方程a=2x令ux=2xex，其中x∈R，則x?11,+u+0?u增極大值減所以，函數(shù)ux的極大值為u且當x<0時，ux=2xex如下圖所示：由圖可知，當0<a<2e時，直線y=a與函數(shù)ux的圖象有兩個交點，且交點橫坐標為x當x<x1或x>x2時，f′此時，函數(shù)fx因此，實數(shù)a的取值范圍是0,2（2）證明：由（1）可知，函數(shù)fx的兩個極值點x1、x2且0<a<2e，0<x1<1<等式aex1=2x1與等式由x1+λx即x2?x因為x2≥3x1，則x2x1令gt=2lnt令?t=3?4t+所以，函數(shù)?t在3,+∞上單調遞減，則即g′t<0，所以，函數(shù)g所以，當t≥3時，gtmax=g因此，實數(shù)λ的最小值為ln3?【變式8-2】（2023·河南·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)fx=1(1)討論fx(2)當m>0時，若對于任意的x1∈0,+∞，總存在x2【解題思路】（1）首先求函數(shù)的導數(shù)并化簡，討論m≤0和m>0兩種情況下函數(shù)的單調性；（2）根據(jù)題意將不等式轉化為fx【解答過程】（1）f′x=mx+m?1?當m≤0時，f′x<0恒成立，f當m>0時，由f′x>0，解得x∈1m由f′x<0，解得x∈0,1（2）當m>0時，由（1）知fxg′x=2x+12e?x>0，由題意知fxmin≥g設?m=lnm+1?1又?e=2?1即m的取值范圍是e,+【變式8-3】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)fx=x(1)當a=1時，求fx(2)若函數(shù)gx=fx?x【解題思路】（1）將a=1代入后得fx（2）由題意得lnx1=ax1,lnx2【解答過程】（1）當a=1時，fx=x則f′因為x>0，則ex>1>0，所以當0<x<1時，f′x>0，則fx單調遞增；當x>1時，所以fx的單調遞增區(qū)間為0,1，單調遞減區(qū)間為1,+（2）若函數(shù)gx=fx即lnx1=ax1要證x1?x2>e2只須證lnx2?lnx令t=x2x1，則由0<x令?t=ln當t>1時，?′t>0，所以?所以當t>1時，?t>?1故原不等式x1【題型9\t"/gzsx/zsd165726/_blank"\o"導數(shù)中的極值偏移問題"導數(shù)中的極值點偏移問題】【例9】（2023·貴州畢節(jié)·校考模擬預測）已知函數(shù)fx(1)當x≥1時，fx≥0(2)若函數(shù)fx有兩個極值點x1,【解題思路】（1）參變分離可得a≥3x?2xlnx3+lnx在（2）求出函數(shù)的導函數(shù)，依題意可得函數(shù)y=a與函數(shù)?(x)=x?2xlnx，x∈0,+∞的圖象有兩個交點，利用導數(shù)說明?x的單調性，不妨設0<x1<1【解答過程】（1）當x≥1時，f(x)≥0?a≥3x?2xlnx令g(x)=3x?2xlnx則g′∴函數(shù)g(x)在1,+∞∴gx∴a≥1，∴a的取值范圍是1,+∞（2）函數(shù)f(x)=(2x+a)lnx?3(x?a)，則f′∵函數(shù)f(x)有兩個極值點x1，x∴f′x=0有兩個正實數(shù)解?方程a=x?2xlnx有兩個正實數(shù)解?函數(shù)?′x=1?2?2lnx=?2當0<x<1e時?′x>0，則?x單調遞增，當∴函數(shù)?(x)的極大值即最大值為?1又0<x<1e時?x=x1?2lnx∴0<a<2不妨設0<x要證明x1+x令F(x)=?x??2e?x所以F=?2ln當且僅當x=2e?x∴函數(shù)F(x)在x∈0,∵F1e=0，∴F(x)<0因此x1【變式9-1】（2023·四川綿陽·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)fx(1)求a的取值范圍；(2)記兩個極值點為x1,x2，且x1【解題思路】（1）將lnx?ax=0在(0,+∞)有兩個不同根轉化為方程a=lnxx在(0,+∞（2）兩邊取對數(shù)，將證明x1?x2λ【解答過程】（1）由題意知，函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞)，方程f′(x)=0在即方程lnx?ax=0在(0,+即方程a=lnxx令g(x)=lnxx，x∈(0,+則當0<x<e時，g′x>0，則函數(shù)g(x)=lnxx在(0,所以g(x)又因為g(1)=0，當x>1時，g(x)>0，當0<x<1時，g(x)<0，所以a的取值范圍為0,1（2）要證e1+λ<x由（1）可知x1，x2分別是方程即lnx1所以原式等價于1+λ<ax1+λax2所以原式等價于要證明a>1+λ又由lnx1=ax1，ln所以原式等價于lnx1x2x則不等式lnt<(1+λ)(t?1)t+λ令?(t)=lnt?(1+λ)(t?1)又?′當λ≥1時，可見t∈(0,1)時，?′所以?(t)在t∈(0,1)上單調增，又?(1)=0，?(t)<0，所以lnx1x【變式9-2】（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)f(1)若函數(shù)fx在定義域上單調遞增，求a(2)若函數(shù)fx在定義域上有兩個極值點x1和x2，若x2>【解題思路】（1）求出f′x，由題意可知，對任意的x>0，f′x≥0，可得出a≤x?（2）設x2x1=t>1，由極值點的定義可得出x1?lnx1+1?a=0x【解答過程】（1）解：因為fx=x+1則f′因為函數(shù)fx在0,+∞上單調遞增，對任意的x>0，x?ln令gx=x?lnx+1，其中x>0，則由g′x<0可得0<x<1，由g所以，函數(shù)gx的單調遞減區(qū)間為0,1，單調遞增區(qū)間為1,+所以，gxmin=g1=1?ln1+1=2（2）解：由題意可知，x2>x由f′x1=0f可得x1=lntt?1，x2=所以，?′令pt=λ+t?λt?1?因為λ=ee?2>1，由p′t<0所以，函數(shù)pt在1,λ上單調遞減，在λ,+∞上單調遞增，且又因為pe=e所以，當1<t<e時，pt<0當t>e時，pt>0所以，函數(shù)?t在1,e上單調遞減，在所以，?t【變式9-3】（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)fx=x(1)求函數(shù)fx(2)若函數(shù)fx在x=e處取得極值，f′x是函數(shù)fx的導函數(shù)，且【解題思路】（1）求導，由導函數(shù)的正負即可確定fx（2）構造函數(shù)tx=g2?x?gx,x∈0,1，求導得t(x)的單調性，即可證明x【解答過程】（1）函數(shù)f(x)=x2(f令f′x=0，所以ln當x∈0,e3a?12，f′故函數(shù)f(x)遞減區(qū)間為0,e3a?12（2）因為函數(shù)f(x)在x=e所以x=e3a?12所以f(x)=x2(令g(x)=2x(ln因為g′(x)=2lnx，當所以函數(shù)g(x)在x∈0,1單調遞減，在x∈且當x∈0,e時,gx=2xln故0<x1先證x1+x因為x2>1,2?x設tx則t′x故tx在0,1上為增函數(shù),故t所以tx1=g所以2?x1<下面證明：x令gx1=gx2=m，當所以?2x1>g當x∈1,e時，記所以x∈1,e時?′x=2所以m=gx2>2所以x1綜上，2<x【題型10導數(shù)與三角函數(shù)結合問題】【例10】（2023·四川雅安·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)fx(1)若a=0，判斷fx在?(2)當a>0，探究fx在0,π【解題思路】（1）求f(x)的導函數(shù)，根據(jù)x∈(?π（2）求f(x)的導函數(shù)，將探究f(x)的極值點個數(shù)問題，轉化為探究f′(x)的變號零點個數(shù)，再求f′(x)的導函數(shù)，對【解答過程】（1）a=0時，f(x)=2sinx?xcosx，f′(x)=cosx+xsin（2）由f(x)=ax3+2依題意，只要探究f′(x)=3ax令g(x)=3ax2+cosx+x(Ⅰ)當6a≥1，即a≥16時，6a+cosx>0，此時則g(x)即f′(x)單調遞增，f′(x)>ff(x)在0,π(Ⅱ)當0<6a<1，即0<a<1?x0∈(0,π)當0<x<x0，g′(x)>0；當所以g(x)即f′(x)在0,x由于f′(0)=1，若3aπ2?1≥0，即13πf(x)在0,π若3aπ2?1<0，即0<a<13f(x)在0,π綜上所述，當a≥13π2時，當0<a<13π2時，【變式10-1】（2023·四川成都·成都七中?？家荒＃┰O函數(shù)Fx=1?λ(1)若λ=1，討論Fx在a,(2)當x∈a,π2時，不等式F【解題思路】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，結合三角函數(shù)性質，判斷導數(shù)正負，即可得結論；（2）求出函數(shù)的導數(shù)，構造函數(shù)再次求導，根據(jù)其結構特征，討論λ≤12或12<λ<1或【解答過程】（1）當λ=1時，F(xiàn)x=cos令G(x)=(x?a)cosx?(sinx?sin故G(x)在a,π2上單調遞增，則故Fx在a,（2）設f(x)=[(1?λ)cosx+λcosf′設m(x)=λ(cos則m′當λ≤12時，由知f′(x)在a,π故f(x)在a,π2上單調遞減，則f(x)<f(a)=0，即當12<λ<1時，對于x∈a,取b=minπ2,a+2λ?1則f′(x)在a,b上單調遞增，故故f(x)在a,b上單調遞增，則f(x)>f(a)=0，即Fx當λ≥1時，對于x∈a,π2故f(x)在a,π2上單調遞增，則f(x)>f(a)=0，即綜上可知，僅當當λ≤1故實數(shù)λ的取值范圍為(?∞【變式10-2】（2023·四川雅安·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)fx=ax(1)若a=?12,x∈(2)探究fx在?【解題思路】（1）利用導數(shù)求出函數(shù)的單調區(qū)間，證明fx（2）求導f′x=3ax2+cosx+xsinx，fx在?π,π上的極值點個數(shù)即為函數(shù)【解答過程】（1）若a=?12，則f′令gx=?3因為x∈0,π2所以g′所以函數(shù)gx在0,即函數(shù)f′x=?又g0故存在x0∈0,則當x∈0,x0時，g當x∈x0,π2所以函數(shù)fx在0,x0又f0所以fx（2）f′fx在?即為函數(shù)f′x在因為f′0=1≠0，所以0當x≠0時，令f′x=3a令?x因為??x所以函數(shù)?x?′令φx則φ′所以函數(shù)φx在0,所以φx即?′所以函數(shù)?x在0,又x∈0,π，當x→0時，?x如圖，作出函數(shù)?x

由圖可知，當?3a≤?1π2，即a≥所以函數(shù)fx在?當?3a>?1π2函數(shù)f′x=3a所以函數(shù)fx在?π,綜上所述，當a≥13π2時，函數(shù)當a<13π2時，函數(shù)fx【變式10-3】（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)f(x)=ex((1)求函數(shù)f(x)的圖象在點0,f0(2)若x>?1，求證：f(x)>0．【解題思路】（1）利用導數(shù)的幾何意義可求曲線的切線方程；（2）要證f(x)>0，只需證exx+1>sinx【解答過程】（1）因為f=e又f(0)=1+2，f所以函數(shù)f(x)的圖象在點0,f0處的切線方程為y?(1+即2x?y+1+（2）當x>?1時，要證f(x)>0，只需證ex∵cosx+2>0，x+1>0，令?(x)=exx+1當x∈(?1,0)時，?′(x)<0，當x∈(0,+∞)時，?′∴當且僅當x=0時，?(x)取得最小值，且最小值為?(0)=e令k=sinxcosx+2即sin(x?φ)=得2k1+k2≤1又當x=0時，k=0<1=?(0)；當x≠0時，?(x)>1≥k，∴e綜上所述，當x>?1時，f(x)>0成立．【題型11導數(shù)與數(shù)列不等式的綜合問題】【例11】（2023·山東濟南·?？寄M預測）設函數(shù)f(x)=emxx+1(1)求實數(shù)m的值；(2)若數(shù)列{?an?}滿足a【解題思路】(1)不等式化為emx?x?1≥0，構造新函數(shù)g(x)=emx?x?1，結合g(0)=0，得到g′(0)=0(2)根據(jù)條件把不等式轉化為證明|e【解答過程】（1）由題意可知，f(x)=emxx+1設g(x)=emx?x?1，則g(x)≥0注意到g(0)=0，故x=0是函數(shù)g(x)的最小值點，也是極小值點，則g′(0)=0，因為所以g′(0)=m?1=0，所以下面證明當m=1時，g(x)?≥?g(x)=ex?x?1令g′(x)=令g′(x)=e所以g(x)在(?1?，?0)上單調遞減，在故g(x)?所以實數(shù)m的值為1．（2）由（1）知當x>?1時，f(x)?因為an+1=lnf(a所以an因為a1=1?ln故要證|ean因為an∈(?因為an+1=ln故只需證：f(?an只需證：(a設φ(x)=(?故只需證：當x∈(?0?，?因為φ′所以φ(x)在(?所以φ(x)>φ(0)=0，得證；所以原不等式成立．【變式11-1】（2023·海南·?？谛Ｂ?lián)考模擬預測）已知函數(shù)f(x)x+1(1)若函數(shù)f(x)在[1,+∞)上只有一個零點，求(2)若an=23,n=11n+1,n≥2，記數(shù)列【解題思路】（1）由題意可知x=1為函數(shù)f(x)的一個零點，然后利用導數(shù)判斷函數(shù)在[1,+∞（2）由（1）可知x>1時，lnx>2(x?1)x+1，由此的ln1+2【解答過程】（1）根據(jù)題意得，f(x)=(x+1)lnx?a(x?1),x∈[1,+∞則x=1為函數(shù)f(x)的一個零點．f′(x)=ln則g′(x)=1x?故f′(x)在[1,+∞當a≤2時，f′(x)≥f′(1)≥0故f(x)≥f(1)=0恒成立，當且僅當x=1時等號成立，故a≤2時，函數(shù)f(x)僅有x=1這一個零點．當a>2時，由于f′(1)=2?a<0，根據(jù)零點存在性定理，必存在t∈1,ea由于f′(x)在[1,+∞)上單調遞增，故當x∈(1,t)時，此時f(x)<f(1)=0，取x1∈(1,t)，則fx1<0故函數(shù)f(x)還有一個在x1綜上所述，a的取值范圍為a|a≤2．（2）證明：依題意，2S當n=1時，因為e4<63,∴當n≥2時，由（1）可知，當x>1時，(x+1)ln即x>1時，lnx>則ln1+2n因為k=1nln=ln3×4k=1n故lnn2+3n+2綜合以上可知2S【變式11-2】（2023·重慶沙坪壩·重慶八中校考模擬預測）已知函數(shù)fx(1)證明：當x<0時，fx<1；當x>0時，(2)正項數(shù)列xn滿足：exn+1（i）數(shù)列xn（ii）i=1n【解題思路】（1）先證明ex（2）（i）要證數(shù)列xn遞減，只證exn+1<exn，即證e【解答過程】（1）設g(x)=e則g′令g′(x)=e令g′(x)=e所以g(x)在?∞,0上單調遞減，在則g(x)>g(0)=0，即ex則當x<0時，ex?1xx>0時，ex?1x（2）（i）因為數(shù)列xn要證數(shù)列xn遞減，只需證明0<即證exn+1<所以即證ex令t=x不等式化為et設g(t)=e則g′故g(t)=et?則g(t)>g(0)=0恒成立，即et?t?1則原命題得證.（ii）先證明：fx即證ex設?(則?=ex?所以?(x)在0,+∞則?(x)>?(0)=0，則所證不等式fx又xn>0，所以xn+1>x所以x2>x12>1則當n≥2時，i=1n又當n=1時，x1故i=1n【變式11-3】（2023·上海浦東新·華師大二附中?？寄M預測）設函數(shù)fn(1)求函數(shù)f3x在點(2)證明:對每個n∈N*，存在唯一的xn(3)證明:對于任意p∈N?，由（2）中xn構成的數(shù)列x【解題思路】（1）求出導函數(shù)，然后求解導數(shù)值即切線斜率，代入點斜式方程即可求解；（2）根據(jù)f′x>0，得函數(shù)fx在0,（3）由fn+1x在0,+∞上單調遞增，可得x【解答過程】（1）f3x=?1+x+所以f3′1所以函數(shù)f3x在點1,f3（2）對每個n∈N*，當由函數(shù)fn可得f′x=1+x2由于f11=0，當n≥2時，f又fn23根據(jù)函數(shù)的零點的判定定理，可得存在唯一的xn∈2（3）對于任意p∈N?，由（1）中xn構成數(shù)列x∵fn+1x由fn+1x在0,+∞上單調遞增，可得x即對任意的n、p∈N?由于fnxfn+px用（1）減去（2）并移項，利用0<xn+p<n+p綜上可得，對于任意p∈N?，由（1）中xn構成數(shù)列x1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)fx(1)當a=?1時，求曲線y=fx在點1,f(2)若函數(shù)fx在0,+∞單調遞增，求【解題思路】（1）由題意首先求得導函數(shù)的解析式，然后由導數(shù)的幾何意義確定切線的斜率和切點坐標，最后求解切線方程即可；（2）原問題即f′x≥0在區(qū)間0,+∞上恒成立，整理變形可得gx=ax【解答過程】（1）當a=?1時，fx則f′據(jù)此可得f1所以函數(shù)在1,f1處的切線方程為y?0=?ln2（2）由函數(shù)的解析式可得f′滿足題意時f′x≥0令?1x2令gx=ax2則g′當a≤0時，由于2ax≤0,lnx+1>0，故g′x此時gx令?x=g當a≥12，2a≥1時，由于1x+1<1，所以即g′x在區(qū)間所以g′x>g′0=0當0<a<12時，由?'當x∈0,12a?1時，?′注意到g′0=0，故當x∈0,1由于g0=0，故當x∈0,綜上可知：實數(shù)a得取值范圍是a|a≥12．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)fx(1)當a=1時，討論fx(2)若fx+sin【解題思路】（1）代入a=1后，再對fx求導，同時利用三角函數(shù)的平方關系化簡f（2）法一：構造函數(shù)gx=fx+sinx，從而得到gx<0，注意到g0法二：先化簡并判斷得sinx?sinxcos2x<0恒成立，再分類討論a=0【解答過程】（1）因為a=1，所以fx則f=cos令t=cosx，由于x∈0,所以cos3x+cos因為t2+2t+2=t+12+1>0所以f′x=所以fx在0,（2）法一：構建gx則g′若gx=fx則g′0=a?1+1=a≤0當a=0時，因為sinx?又x∈0,π2，所以0<sinx<1所以fx當a<0時，由于0<x<π2，顯然所以fx綜上所述：若fx+sin所以a的取值范圍為?∞法二：因為sinx?因為x∈0,π2，所以0<故sinx?sinx所以當a=0時，fx當a<0時，由于0<x<π2，顯然所以fx當a>0時，因為fx令gx=ax?sin注意到g′若?0<x<π2，g′x>0注意到g0=0，所以gx若?0<x0<π2所以在0,π2上最靠近x=0處必存在零點x1此時g′x在0,x1上有g′則在0,x1上有gx綜上：a≤0.3．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）設函數(shù)f(x)=x?x3eax+b，曲線y=f(x)在點(1)求a,b的值；(2)設函數(shù)g(x)=f′(x)(3)求f(x)的極值點個數(shù)．【解題思路】（1）先對fx求導，利用導數(shù)的幾何意義得到f(1)=0，f′(1)=?1（2）由（1）得gx的解析式，從而求得g′x，利用數(shù)軸穿根法求得g′x（3）結合（2）中結論，利用零點存在定理，依次分類討論區(qū)間?∞,0，0,x1，x1,x【解答過程】（1）因為f(x)=x?x3e因為fx在(1,f(1))處的切線方程為y=?x+1所以f(1)=?1+1=0，f′則1?13×所以a=?1,b=1.（2）由（1）得gx則g′令x2?6x+6=0，解得x=3±3，不妨設x1=3?易知e?x+1所以令g′x<0，解得0<x<x1或x>x2所以gx在0,x1，x2,+即gx的單調遞減區(qū)間為0,3?3和3+3,+∞（3）由（1）得f(x)=x?x3e由（2）知f′x在0,x1，x2當x<0時，f′?1=1?4e所以f′x在?∞,0上存在唯一零點，不妨設為此時，當x<x3時，f′x<0，則fx單調遞減；當所以fx在?當x∈0,x1時，f則f′x1